高三数学第一轮复习：线性规化；圆的方程理人教

高三数学第一轮复习：线性规化；圆的方程（理）人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：线性规化；圆的方程二. 本周教学重、难点：1. 了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义，并会简单地应用。2. 掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念（2006年理科考试大纲新增加），理解圆的参数方程。（2006年文科考试大纲新增加）。【典型例题】例1 某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解：设投资人分别用x万元，y万元投资甲、乙两个项目。由题意知目标函数上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域。作直线：，并作平行于直线的一组直线，。与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线的距离最大，这里M点是直线和的交点。解方程组得，此时（万元） 当时取得最大值答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大。 例2 若实数x、y满足且的最大值等于34，则正实数的值等于（ ） A. B. C. D. 解：在坐标系中画出已知不等式组所表示的平面区域MPA，其中直线的位置不确定，但它经过定点A（1，0），斜率为。又由于，且的最大值等于34，所以平面区域MPA中的点到原点的最大距离等于，又，所以点P（）到原点的距离最大，故有，解得，选B。例3 实系数方程的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：（1）的值域；（2）的值域；（3）的值域。解：由题意如图所示，A（）、B（）、C（）又由所要求的量的几何意义知其值域分别为（1）（）；（2）（8，17）；（3）（）例4 求圆心在直线上，并且与直线：相切于点P（）的圆的方程。解：设所求圆的方程为依题意有 解得 所求圆的方程为例5 已知圆与直线相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OPOQ，求实数m的值。解：设点P、Q的坐标分别为，由OPOQ，得 由消去y并整理，得 又 P、Q在直线上 将代入有解得，适合 例6 已知实数满足方程，求（1）的最大值和最小值；（2）的最小值；（3）的最大值和最小值。解：（1）如图，方程表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆设，即当圆心（2，0）到的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值由，解得 所以（也可由平面几何知识，有，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为，解之，即得）（2）设，则，仅当直线与圆切于第四象限时，纵轴截距取最小值。由点到直线的距离公式，得，即故（3）是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于，则，。例7 已知圆C过点A（）（）且在x轴上截得的弦MN的长为。（1）求圆心C的轨迹方程；（2）设，求的最大值及此时圆C的方程。 解析：（1）设圆C的圆心C为（x，y），半径为 圆C过点A（） 又 圆C在x轴上截得的弦MN的长为 点在圆C上即于是有，即 圆C的圆心C的轨迹方程为（2）设 又 当时，取最大值 点C的坐标为故的最大值为，此时圆C的方程为或例8 已知圆C：。（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有，求使最小的点P的坐标。解析：（1） 切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等 可设切线的方程为 由有唯一解，得 由有唯一解，得或 由有唯一解，得或 所求的切线方程为或或或或（2）圆C的方程可化为 圆心C的坐标为，半径又 ，设P的坐标为 即于是知点P在直线上 的最小值也就是的最小值而的最小值为原点到直线的距离由得 所求点P的坐标为【模拟试题】一. 选择题：1. 满足不等式的点所表示的区域为（ ）2. 设动点坐标（x，y）满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 103. 已知x，y满足则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4. 过点P（1，2）的直线将圆分成两个弓形，当大小两个弓形的面积之差最大时，直线的方程为（ ）A. B. C. D. 5. 方程（）表示圆方程，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 6. 已知直线（）与圆相切，则三条边长分别为的三角形（ ） A. 是锐角三角形 B. 是直角三角形 C. 是钝角三角形 D. 不存在7. 已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为（ ）A. B. C. D. 8. 曲线C： 与直线：有两个交点时，实数的取值范围是（ ）A. B. C.（0，） D.（）二. 解析题：1. 设O为坐标原点，曲线上有两点P、Q，满足关于直线对称，又满足。（1）求m的值；（2）求直线PQ的方程。2. 已知定点A（0，1）、B（）、C（1，0），动点P满足（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；（2）当时，求的最大值和最小值。3. 在圆上有一定点A（2，0）和两个动点B、C（A、B、C按逆时针排列），当B、C两点保持时，求的重心G的轨迹方程。【试题答案】一. 1. B 解析：画出直线和，将点（1，0）代入，不适合不等式，代入，适合不等式，故选B。2. D 解析：数形结合可知当，时，的最小值为10。3. D解析：作出满足条件的区域，如图中的阴影部分（包括边界），则的最小值为点（）到直线的距离，即，故选D。4. D 解析：由直线过定点，当大小两个弓形面积之差最大时，小弓形弧长达到最小，这时圆心O（2，0）与点P的连线与直线垂直，由， ，代入P点可求得。5. C 解析：由，得，即6. B 解析：由题意得，即， 由构成的三角形为直角三角形。7. C解析：由于圆关于直线对称，其半径不变，只求出新的圆心即可。而关于直线对称，则横、纵坐标变换位置并取相反数。由圆的圆心为（1，0），知对称圆的圆心为，故选C。8. A 解析：曲线C为圆的上半部分（含两个端点），直线：恒过定点（2，4），数形结合可求得。二.1. 解：（1）曲线方程为表示圆心为，半径为3的圆 点P、Q在圆上且关于直线对称 圆心在直线上，代入得（2） 直线PQ与直线垂直 设P（）、Q（），PQ方程为将直线代入圆方程，得，得由韦达定理得 即 解得 所求的直线方程为2. 解：（1）设动点的坐标为P（）