高三数学第一轮复习：空间向量苏教

高三数学第一回复习：空间向量苏教版【本讲义教育信息】1 .教育内容：空间向量2 .教育目标：1 .理解空间向量的概念，掌握空间向量的相加、减法和乘数。2 .了解空间向量的基本定理3 .把握空间向量数量乘积的定义及其性质4 .理解直线向量、平面法线向量、向量在平面内的投影等概念。5、把握空间向量的平行、垂直条件和3个向量的同一面和4点的同一面的条件。3 .知识要点：1 .空间向量的概念：在空间中，把具有大小和方向的量称为向量。注：空间的一个平移是一个向量。矢量一般用有向线段表示。 各向同性长的有向线段表示相同或等效向量。空间的两个向量可以用同一平面内的两个有向线段表示。2 .空间向量的运算空间向量的相加、减法、乘数向量运算：运算律：加法交换律：加法结合律：乘方分配法：3 .平面向量共线定理方向相同或相反的非零向量称为平行向量。 平行向量也称为同一直向量，因为所有平行向量集都可以在同一条直线上平移。 由于仅有一个实数，矢量与非零矢量的共线的充分条件为=。4 .共线矢量在表示空间向量的有向线段所位于的直线相互平行或重叠的情况下，将这些向量称为共线向量或者平行向量。 平行于记录。矢量、共线(或/)是指具有有向线的直线可以是同一直线也可以是平行直线。5 .共线向量定理：空间中的任意两个向量，(，/的满足条件是存在实数，并且设为=)。推论：通过已知点a，是与已知零以外的矢量平行的直线时，对于任意点o，点p在直线上的充分条件是实数t满足式子。的双曲馀弦值。 这个向量称为直线的方向向量。6 .空间直线的矢量参数表达式：或者中点表达式：7 .向量平行于平面：知道平面和向量，如果直线平行于或平行于平面，则向量平行于平面，其描述如下： 通常，我们将平行于同一平面的向量称为共面量。说明：空间的任意两个向量是齐平的。8 .共同向量定理：如果2个向量不是共同线，则向量和共同面的充分条件存在实数使用。推论：空间的一点在平面内的充分必要条件是存在有序的实数对()或空间的任何一点都有或上式称为平面的矢量式。9 .空间向量的基本定理：如果三个向量不是齐平的，则对于空间的任何向量，仅存在有序的实际阵列。如果3个向量不是同一个面，我们将被称为空间的一个基称为基向量，空间的任何3个非同一面的向量都可以构成空间的一个基。推论：作为非平面的4点，在空间的任何一点上，只有3个有序的实数存在。10 .空间向量的角度及其表示：知道两个非零向量，取空间的任意点，作成时称为与向量的角度，作成，如果明显，则称为相互垂直，记述如下。11 .向量的类型：那么，有向线段的长度称为向量的长度或类型。12 .向量的数积：如果是已知的向量，则记作的数积。13 .空间向量数积的性质：(1)。 (2)。 (3)。14 .空间向量数积运算法：(1) (结合律)。 (2) (交换律)。(3) (分配律)。【典型例题】例1 .足以证明在空间中没有任何三点共线的四个点a、b、c、d共面的条件是=x y z，因为对于空间中的任何点o，实数x、y、z存在并且x y z=1。分析：求出四点a、b、c、d共面的充分条件，自然考虑共面定量定理。解：根据问题意识，如果b、c、d这3点不是共线，则根据共面量定理的推论，4点a、b、c、d朝向空间中的任一点o，如果取=x1 y1=x1(-) y1(-)=(1-x1-y1) x1 y1、x=1-x1-y1、y=x1、z=y1，则为=x y z且x y z=1点评：向量的基本定理明确了向量间的线性关系。 即，每个向量都用基向量的唯一线性表现来表现，为向量的坐标表现奠定了基础。 共(线)向量的基本定理可以用作给出向量共(线)面的充分条件，证明点共(线)面的问题的结论，并且可以用作证明空间的四点共面的定理。例2 .在平行四边形ABCD中，AB=AC=1、ACD=90，将其沿着对角线AC折叠，将AB和CD设为60角，求出b、d之间的距离。解：上图为ACD=90所以=0。同样，=0。因为AB和CD成60角是60或120。=222222222222222222652因此，2=2 2 2 2 2 2=2 2 2 2=3 211cos ；=2或因此|=2或也就是说，b、d之间的距离是2或。例3 .正方体长度为1的立方体ABCDA1B1C1D1，BD1交叉平面AC1位于点e处，并求证明(1)BD1平面AC1；(2)BE=ED1。证明： (证明BD1AC。=222222222222222222222=(2222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡653=-=|2-|2=1-1=0。BD1AC能够证明BD1AB1，所以BD1平面ACB1.(2)使底面的正方形对角线AC、BD与点m相交=，即2=。2222222卡卡卡卡卡卡卡卡咖啡虾653因此，D1B与平面ACB1的交点e是D1B与MB1的交点。从2=可以看出，876，D1EEB=21BE=ED1。点评：利用空间向量，可解决立体几何中线垂直、线平行、四点齐平、求长度、求角度等问题。例4 .以下命题中，不正确的命题数为如果a、b、c、d是空间的任意4点，则=；|-|=| |是共线的充分条件若为共线，则与某直线平行对于空间任意点o和非共线的3点a、b、c，=x y z (其中，x、y、zR )，p、a、b、c这4点共面A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解：容易理解的只有，对于，如果是o平面ABC，则不是、共面，而是根据空间向量的基本定理，p可以是空间的任意点，因此p、a、b、c这4点不一定是共面。答案： c例5 .如图所示，在棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，ca=CB=1，873 BCA=90，棱部AA1=2，m，n分别是A1B1、A1A的中点。(1)求得的长度(2)cos，求出“”的值(3)寻求证据： A1BC1M。(1)解：如图制作坐标系，根据问题得到b (0，1，0 )，n (1，0，1 )2222222222222222222(2)解： a1(1，0，2 )，b (0，1，0 )，c (0，0，0 )，b1(0，1，2 )=(1，- 1，2 )、=(0，1，2 )2222222222222卡卡卡卡卡卡卡653222222222222222222226(3)证明：c1(0，0，2 )，m (，2 )=(-1，1，-2)，=(，0 )=0，8756； a1bc1m。例6 .如图所示，在立方体ABCDA1B1C1D1中，e、f分别是BB1、CD的中点。(证明ADD1F(2)求出AE与D1F所成的角(3)证明面AED面A1D1F .解：以d为原点，将DA、DC、DD1设为与x轴、y轴、z轴正交坐标系，将立方体的奥萨马长度设为2a (2，0，0 )、a1(2，0，2 )、d1(0，0，2 )、e (2，2，1 )和f (0，1，0 )。(1)=(2，0，0 ) (0，1，-2)=0，8756； add1f .(2)=(0，2，1 ) (0，1，-2)=0AED1F，即AE和D1F构成90角。(3)=(2，2，1 ) (0，1，-2)=0222222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡6d1f面A1D1F，8756； 面AED面A1D1F点评：确立空间正交坐标系，用三维坐标表示点，用坐标表示向量，进行向量的运算，简单地解决立体几何问题，不需要追加辅助线。 需要经过严密推论论证的问题取代了这种简单的机器运算。正题是高考题，标准解答的解法复杂，运用代数向量求解简单，充分显示了代数化方法研究几何图形的优势，这是立体几何复习的一个要点，即用坐标法计算数量积证明垂直，求角度、距离是高考的要点。例7 .在正四面体ABCD中，e是AD的中点，求出直线CE与平面BCD所成的角的正弦值。分析：求线面角的关键是寻找斜线在平面内的投影，即寻找垂直面，有垂直面时在垂直面内做交线的垂线，做线面角，然后转换成三角形求解。解法1 :取BC的中点f，连接AF、DF。正四面体ABCDBCaf，BCDFBC面AFDBC平面BCD为面AFD面BCD过e把EHDF调成hDF平面BCD是EH面BCDech是CE与面BCD所成的角。在RtCEH中，sinECH=。解法2 :图像以三角形BCD的中心o为原点，按照OD、OA的顺序，使y轴、z轴、x轴与BC平行。将正四面体ABCD的奥萨马长度法则。2220e是AD的中点，e2220平面BCD的法向量即，满足CE与平面BCD所成的角：的双曲馀弦值。评价：求线面角的两种方法。总结： 1、应用向量知识解决几何问题时，一方面选择合适的基向量，另一方面熟练进行向量运算。2、空间中的任何向量都可以用非平面的三个向量来线性表示，这三个向量也称为一个基础，当证明这两个向量求平行、垂直或角度时，它们通常用相同的基础来表示，并且达到解决问题的目的。3、为了用向量法解决问题，判断位置或长度所成的角的向量一般用关系明确的向量表现，或者容易用坐标表现。 否则，你应该考虑用别的方法解答。【模拟问题】1、以下四个公式中有正确的、()(-)、|=|A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个2、矢量、共面的话，以下的集合是空间的一个基础A. ，-，B. ，-，C. ，-，D. ，3、在长方体abcd-abcd 中，向量、或a .具有相同起点的向量b .长度相等的向量c .共同指向量d .非共同指向量4、长方体ABCDA1B1C1D1，m为AC与BD的交点，若=，则在下式中相等a.- b .C. - D. -5、o、a、b、c是空间的四个点，是空间的一个基A. O、a、b、c四点共面，但不共线B. O、a、b、c四点不共线C. O、a、b、c这4点中，任意3点不共线D. O、a、b、c四点不共面6、在已知的四边形ABCD中，如果=-2、=5 6-8、对角线AC、BD的中点分别为e、f，则如果您知道7、3和7-5是垂直的，而-4和7-2是垂直的，那么.8 .试向量证明三垂线定理及其逆定理。9、空间四边形ABCD，求证明：=0。10、图、ABCD是边长为a的菱形，BAD=60、PAD是正三角形，面PAD面ABCD。(1)求cos、“”的值(2)如果e是AB的中点，f是PD的中点，则求出|的值(3)求出二面角PBCD的大小。【问题的答案】1、解析：根据数量积的定义，由于是实数，没有意义的实数和向量没有数量积，(| os:|，OS:| )只有(-)是正确的。 答案： a2、分析：从已知和向量的共面定理中，容易得到、-、共面，因此选择c作为空间的一个基础。 答案： c3、分析：122222222222卡卡卡卡卡卡卡卡答案： c4、分析：=()=-=-请选择a。 答案： a5、分析：从基本的意义上来说，的三个向量虽然不是齐平的，但是a、b、c的三种情况有可能变成齐平的。 必须选择d，因为只有d可以使这三个向量成为非平面。 答案： d6、分析：=22222222222222222222加上2式，则为2=() ()。e是AC的中点，因此=。同样，是。2=(-2) (5 6-8)=6 6-10。=3 3-5。 答案：3 3-57、分析：条件通知(3)(7-5)=7|2-15|2 16=0，以及(-4)(7-2)=7|2 8|2-30=0。二式的减法是46=23|2将=|2代入以上两个表达式之一，可以得到|=|表达式2222222222222222222262222222222222卡卡卡653答案： 608、PO、PA分别是平面垂线和斜线，OA是PA在内的投影，求证：PAOA .证明：应设定直线上非零向量，证明、pa、OA即证=0=0。-，=0是=()=。=0=0，即PAOA。点评：矢量的数积为零是证明空间直线是垂直的重要工具，需要通过加法、减法来变换矢量。 当然，变换的方向有利于计算向量的数积。9、证明法1 :分解后重组220=()=() ()=()=0。证明法2:=，=，=，=，则220=(-) (-) (-)=- -=0。10、解： (1)若将ad中点o作为原点，对有