高三数学：直击之第十二章随机变量及其分布

第十二章 随机变量及其分布知识网络第1讲：离散型随机变量及其分布列 知 识 梳理 1随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做_.常用希腊字母、等表示答案: 随机变量2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做_.答案:离散型随机变量3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做_.答案:连续型随机变量 4.分布列:设离散型随机变量可能取得值为 x1，x2，x3，取每一个值xi（i=1，2，）的概率为，则称表x1x2xiPP1P2Pi为随机变量的_，简称的分布列 答案:概率分布5. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：_. _.答案：Pi0，i1，2，； P1+P2+=1特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即 重 难 点 突 破 1.重点：了解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量及离散型随机变量的分布列的意义，2.难点：会求某些简单的离散型随机变量的分布列；掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质及简单运用。3.重难点：.问题1: 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 点拨：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，=0，表示正面向上，=1，表示反面向上（2）若是随机变量，是常数，则也是随机变量 热 点 考 点 题 型 探 析考点一：离散型随机变量及其分布列的计算题型1. 离散型随机变量的取值例1 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数； (2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数 解题思路： 注意事件与数字间的对应关系。解析： (1) 可取3，4，5 =3，表示取出的3个球的编号为1，2，3； =4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5（2）可取0，1，,n，=i，表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,【名师指引】离散型随机变量的取值可以一一列举，当可取值较多时也可采用类似（2）的表示方法。【新题导练】1抛掷两颗骰子，所得点数之和为，那么=4表示的随机试验结果是A.一颗是3点，一颗是1点B.两颗都是2点C.两颗都是4点D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点答案：D 解析：对A、B中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而D是 =4代表的所有试验结果.掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键.2.随机变量的所有等可能取值为，若，则（ ）A；B；C；D不能确定答案：C 题型2。离散型随机变量分布列的计算例2 (2008广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考）旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.求选择甲线路旅游团数的分布列.解题思路：求3个旅游团选择3条不同的线路的概率, 再按定义求红球的分布列.解析： 设选择甲线路旅游团数为，则=0，1，2，3 P（=0）= P（=1）=P（=2）= P（=3）= 的分布列为：0123P 【名师指引】 求离散型随机变量分布列时，应明确随机变量可能取哪些值，然后计算其相应的概率填入相应的表中即可。【新题导练】1. (安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作. 规定：至少正确完成其中2题的便可提高通过. 已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列；解：设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为、，则取值分别为1，2，3；取值分别为0，1，2，3。2分，。考生甲正确完成题数的概率分布列为1232(广东省五校2008年高三上期末联考)一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望.解： 可取1，2，3，4. ， ； 8分 故的分布列为1234P考点二: 离散型随机变量分布列的性质题型1: 离散型随机变量分布列的性质的应用01230.10.1 例3 (四川省乐山市2008届第一次调研考试)某一随机变量的概率分布如下表，且，则的值为（）A.0.2；B.0.2；C.0.1；D.0.1解题思路： 由离散型随机变量分布列的性质可得解析：由，又，可得答案：B【名师指引】离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：Pi0，i1，2，； P1+P2+=1【新题导练】1设随机变量的分布列为，则a的值为( )A .1； B.9/13； C.11/13； D.27/13答案：D2设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求的值101P12解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以解得。 抢 分 频 道 基础巩固训练1. 如果是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. 取每一个可能值的概率都是非负数；B. 取所有可能值的概率之和为1；C. 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和答案：D2. 下列表中能成为随机变量的分布列的是A.101P0.30.40.4B.123P0.40.70.1C.101P0.30.40.3D.123P0.30.40.4答案：C 解析：A、D不满足分布列的基本性质，B不满足分布列的基本性质.3袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是A.5 B.9 C.10 D.25答案：B 解析：号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9种.4(河北省正定中学高2008届一模)随机变量的概率分布规律为P(n)(n1，2，3，4)，其中a是常数，则P()的值为 ABCD答案：D5一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则（ ） A. B. C. D. 答案：D解析：设二级品有个， 一级品有个，三级品有个，总数为个。 分布列为 6某一射手射击所得的环数的分布列如下：45678910P0.020.040.060.090.280.290.22求此射手“射击一次命中环数7”的概率_答案：根据射手射击所得的环数的分布列，有 P(=7)0.09，P(=8)0.28，P(=9)0.29，P(=10)0.22.所求的概率为 P(7)0.09+0.28+0.29+0.220.88综合拔高训练7设随机变量的分布列为，则的值为_答案：8设随机变量X的分布列是X123P1/31/21/6求（1）P（X1）（2）P（）解：（1）P（X1）1/3（2）P（）1/2+1/6=2/39有六节电池，其中有2只没电，4只有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求的分布列。解：2，3，4，5 表示前2只测试均为次品， 表示前两次中一好一坏，第三次为坏， 表示前四只均为好，或前三只中一坏二好，第四个为坏， 表示前四只三好一坏，第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好 分布列为2345P10在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：（1）不放回抽样时，抽到次品数的分布列；（2）放回抽样时，抽到次品数的分布列.剖析：随机变量可以取0，1，2，也可以取0，1，2，3，放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析.解：（1）P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，所以的分布列为012P（2）P（=k）=C0.83k0.2k（k=0，1，2，3），所以的分布列为0123PC0.83C0.820.2C0.80.22C0.23备选取147.n个独立事件同时发生的概率 P(A1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An)148.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率149.离散型随机变量的分布列的两个性质：（1）；（2）.150.数学期望151.数学期望的性质（1）.（2）若,则.(3) 若服从几何分布,且，则.152.方差153.标准差=.154.方差的性质(1)；(2）若，则.(3) 若服从几何分布,且，则.155.方差与期望的关系.156.正态分布密度函数，式中的实数，（0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差；当时得到标准正态分布密度函数：.157.对于，取值小于x的概率.第2讲 二项分布与超几何分布 知 识 梳理 1条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。特别提醒： 0P（B|A）1；P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A)。2. 相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。特别提醒：如果事件A、B是相互独立事件，那么，A与、与B、与都是相互独立事件两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。我们把两个事件A、B同时发生记作AB，则有P（AB）= P（A）P（B）推广：如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：P（A1A2An）= P（A1）P（A2）P(An)3.独立重复试验: 在同样的条件下，重复地、各次之间_的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有_结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.答案: 相互独立地进行, 两种4.如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率计算公式：_答案:Pn（k）=CPk（1P）nk,其中，k=0,1,2，,n.5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是，（k0,1,2,，n，）于是得到随机变量的概率分布如下：01knP由于恰好是二项展开式中的各项的值，所以称这样的随机变量服从_，记作B(n，p)，其中n，p为参数，并记b(k；n，p)答案:二项分布6. 两点分布： X 0 1 P 1p p 特别提醒： 若随机变量X的分布列为两点分布, 则称X服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.7. 超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则其中，。称分布列 X 0 1 m P 为超几何分布列， 称X服从_答案: 超几何分布。 重 难 点 突 破 1.重点：理解超几何分布及其导出过程.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，能理解n次独立重复实验的模型及二项分布. 2.难点：能利用超几何分布, 二项分布及n次独立重复实验解决一些简单的实际问题3.重难点：.(1) “互斥”与“独立”混同问题1: 甲投篮命中率为O8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少? 错解 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)： 点拨: 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和 正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件AB，于是P(AB)=P(A)P(B)= （2）“条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(AB)”混同问题2:袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率 错解 记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以P(C)=P(B/A)=.点拨：本题错误在于P(AB)与P(B/A)的含义没有弄清, P(AB)表示在样本空间S中,A与B同时发生的概率；而P（B/A）表示在缩减的样本空间SA中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率。正确答案：P（C）= P(AB)=P（A）P（B/A）=。 热 点 考 点 题 型 探 析考点一： 条件概率,相互独立事件和独立重复试验题型1. 条件概率例1 一张储蓄卡的密码共有6位数，每位数字都可从09中任选，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：按第一次不对的情况下，第二次按对的概率；任意按最后一位数字，按两次恰好按对的概率；若他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率解题思路：这是一个一般概率还是条件概率？应选择哪个概率公式？“按两次恰好按对”指的是什么事件？为何要按两次？隐含什么含义？第一次按与第二次按有什么关系？应选择哪个概率公式？“最后一位是偶数”的情形有几种？“不超过2次就按对”包括哪些事件？这些事件相互之间是什么关系？应选择用哪个概率公式？解析：设事件表示第次按对密码事件表示恰好按两次按对密码，则设事件表示最后一位按偶数，事件表示不超过2次按对密码，因为事件与事件为互斥事件，由概率的加法公式得：【名师指引】条件概率相当于随机试验及随机试验的样本空间发生了变化，事件A发生的条件下事件B发生的概率可以看成在样本空间为事件A中事件B发生的概率，从而得出求条件概率的另一种方法缩减样本空间法将条件概率的计算公式进行变形，可得概率的乘法公式【新题导练】2. 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率 解: 设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则 （1）因为100 件产品中有 70 件一等品， (2)方法一: 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以方法二:题型2。相互独立事件和独立重复试验例2 (2008四川省成都市一诊)某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，他们的投票相互没有影响规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目投资 （）求此公司一致决定对该项目投资的概率；（）求此公司决定对该项目投资的概率；解题思路： 注意相互独立事件和独立重复试验恰有次发生的区别解析：（）此公司一致决定对该项目投资的概率P= ()3（）此公司决定对该项目投资的概率为PC32()2()C33()3答: （）此公司一致决定对该项目投资的概率为（）此公司决定对该项目投资的概率为.【名师指引】 除注意事件的独立性外, 还要注意恰有次发生与指定第次发生的区别, 对独立重复试验来说,前者的概率为,后者的概率为【新题导练】1. （湖南卷16）.（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：至少有1人面试合格的概率;解: 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且P（A）P（B）P（C）.至少有1人面试合格的概率是2（山东卷18）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用表示甲队的总得分.（）求随机变量分布列；()用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).解: ()由题意知，的可能取值为0，1，2，3,且所以的分布列为0123P（）用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=CD,且C、D互斥，又由互斥事件的概率公式得 考点二: 两点分布与超几何分布题型1: 两点分布与超几何分布的应用例3 高二（十）班共50名同学，其中35名男生，15名女生，随机从中取出5名同学参加学生代表大会，所取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布如何？解题思路：5名学生代表中，女生人数有6种情况.解析：从50名学生中随机取5人共有种方法，没有女生的取法是，恰有1名女生的取法是，恰有2名女生的取法是，恰有3名女生的取法是，恰有4名女生的取法是，恰有5名女生的取法是，因此取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布为：X012345P例4 若随机事件A在1次试验中发生的概率是，用随机变量表示A在1次实验中发生的次数。（1）求方差的最大值；（2）求的最大值。 解题思路：（1）由两点分布，分布列易写出，而要求方差的最大值需求得的表达式，转化为二次函数的最值问题；（2）得到后自然会联想均值不等式求最值。解析：（1）的分布列如表：所以，所以时，有最大值。（2）由，当且仅当即时取等号，所以的最大值是。【名师指引】在超几何分布中,只要知道N,M和n,就可以根据公式求出X取不同m值时的概率P(X=m).【新题导练】1在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得 2假定一批产品共100件，其中有4件不合格品，随机取出的6件产品中，不合格品数X的概率分布如何？解: 从100件产品中随机取6件产品共有种方法，都是合格品的取法是，恰有1件不合格品的取法是，恰有2件不合格品的取法是，恰有3件不合格品的取法是，恰有4件不合格品的取法是。因此取出的6件产品中，不合格品数X的概率分布为：X01234P考点三: 独立重复试验与二项分布题型1: 独立重复试验与二项分布的应用例6 一口袋内装有5个黄球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数是一个随机变量，则=_。（填计算式） 解题思路：这是一个“12次独立重复试验恰有10次发生”的概率问题，同学们很容易由二项分布原理得到，这就忽视了隐含条件“第12次抽取的是红球”，此种解法的结果包含着第12次抽取到黄球。解析： 例7 某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？解题思路：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法解析：解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击次记事件“射击一次，击中目标”，则射击次相当于次独立重复试验，事件至少发生1次的概率为由题意，令，至少取5答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次【名师指引】要熟练掌握二项分布的特征，更要注意挖掘题目信息中的隐含信息。【新题导练】1. 广东深圳外国语学校20082009学年高三月考理某科研小组进行某项科学实验的成功率为。那么连续对该项实验进行4次试验恰有3次成功的概率是_。答案:2.广州市海珠区2009届高三上学期综合测试二(数学理)某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.()试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率;()商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是,请问:商场应将每次中奖奖金数额最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?解: ()从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品一共有种选法,.选出的3种商品中没有日用商品的选法有种, 1分.所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为.4分()顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为X,其所有可能值为0, ,2,3.6分X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以7分同理可得8分9分10分于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是.12分要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,因此应有,所以,13分.故商场应将中奖奖金数额最高定为100元,才能使促销方案对商场有利. 14分 抢 分 频 道 基础巩固训练1. (江苏省启东中学高三综合测试)口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列满足：如果为数列的前n项和，那么的概率为 ( )A B C D 答案：B2. (广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)一台机床有的时间加工零件A, 其余时间加工零件B, 加工A时,停机的概率是,加工B时,停机的概率是, 则这台机床停机的概率为( ) A. B. C. D. 答案：A3(江苏省启东中学2008年高三综合测试)一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次射击命中的概率为（ ）A. B. C. D. 答案：B 4（2008福建卷5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是( )A.B. C. D. 答案:B5甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ） 答案:A6一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率为 答案: 综合拔高训练7广东深圳外国语学校20082009学年高三月考理科数学试题一袋中装有个白球，个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现次停止，设停止时,取球次数为随机变量,则 _答案:8甲、乙二射击运动员分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：（1）人都射中目标的概率；（2）人中恰有人射中目标的概率；（3）人至少有人射中目标的概率；（4）人至多有人射中目标的概率？解：记“甲射击次，击中目标”为事件，“乙射击次，击中目标”为事件，则与，与，与，与为相互独立事件，（1）人都射中的概率为：，人都射中目标的概率是（2）“人各射击次，恰有人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件发生）根据题意，事件与互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：人中恰有人射中目标的概率是（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是，“两人至少有1人击中目标”的概率为（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，故所求概率为：（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为9广东省佛山市三水中学2009届高三统考 (数学理)某研究机构准备举办一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示版本人教A版人教B版苏教版北师大版人数2015510（1）从这50名教师中随机选出2名，问这2人使用相同版本教材的概率是多少？（2）若随机选出的2名教师都使用人教版教材，现设使用人教A版教材的教师人数为，求随机变量的分布列17解：（1）50名教师中随机选出2名的方法数为，选出的2人所使用版本相同的方法数为=190+105+10+45=350，2人所使用版本相同的概率为（2），随机变量的分布列是012P10广东省深圳外国语学校2009届高三统测（数学理）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（）求甲、乙两人考试均合格的概率；（）求甲答对试题数的概率分布.解：（）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A)=，P(B)=. 因为事件A、B相互独立，甲、乙两人考试均合格的概率为 答：甲、乙两人考试均合格的概率为 （）依题意，=0，1，2，3，7分， ， 甲答对试题数的概率分布如下：0123P第3讲：离散型随机变量的期望和方差 知 识 梳理 1数学期望: 一般地，若离散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn则称 为的数学期望，简称_答案:期望特别提醒： 1. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 2. 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令，则有，所以的数学期望又称为平均数、均值 2.期望的一个性质: _答案: 3.若B（n,p），则E=_答案:np 4.方差: _答案:5.标准差: _答案:的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作6.方差的性质： _答案:； 若B(n，p)，则np(1-p) 特别提醒：1. 随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；2. 随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；3. 标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 重 难 点 突 破 1.重点：了解离散型随机变量的期望、方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望方差、或标准差 2.难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题3.重难点：.(1) 期望的一个性质:点拨：若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，它们的分布列为x1x2xnPp1p2pn于是 ) ，（2）若B（n,p），则E=np 点拨：，012kn又 ， 故若B(n，p)，则np 热 点 考 点 题 型 探 析考点一：离散型随机变量的期望题型1. 离散型随机变量的期望的应用例1 广东省北江中学2009届高三上学期12月月考 (数学理) 旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条. （）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率； （）求选择甲线路旅游团数的分布列和期望.解题思路： 先求分布列, 再用公式求期望.解析：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P1=4分（2）设选择甲线路旅游团数为，则=0，1，2，35分P（=0）= P（=1）=P（=2）= P（=3）= 9分的分布列为：0123P 10分期望E=0+1+2+3=12分例2 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望 解题思路：利用二项分布的随机变量的期望E=np 解析：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则 B（20,0.9）, 由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是： 【名师指引】(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量的期望的基本步骤：理解的意义，写出可能取的全部值；求取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望的定义求出E 公式E（a+b）= aE+b，以及服从二项分布的随机变量的期望E=np 【新题导练】1广东省湛江市实验中学2009届高三第四次月考（数学理）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。 （）所选3人中至少有1名女生的概率； （）设随机变量表示所选3人中的女生人数。写出的分布列并求出的数学期望。解析：（）设所选三人中至少有1名女生的事件为A P(A)= （）可能取的值为0，1，2， 分P（=k）= k=0，1，2 的分布列为 0 1 2P E=2执信中学2008-2009学年度第一学期高三数学理科试卷次体能测试中，规定每名运动员一开始就要参加且最多参加四次测试.一旦测试通过,就不再参加余下的测试,否则一直参加完四次测试为止.已知运动员甲的每次通过率为(假定每次通过率相同)(1) 求运动员甲参加测试的次数的分布列及数学期望;(2) 求运动员甲最多参加两次测试的概率(精确到) (1)的可能取值为当时, ; 当时;当时,;当时,; 的分布列为: 12340.70.210.0630.027(2) 考点二: 离散型随机变量的方差题型1: 离散型随机变量方差的应用例3 （2008湖北卷17）.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个（=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.（）求的分布列，期望和方差；（）若, ,试求a,b的值.解题思路：本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力. 解析： （）的分布列为：01234P（）由，得a22.7511，即又所以当a=2时，由121.5+b,得b=-2; 当a=-2时，由1-21.5+b，得b=4.或即为所求. 例4 （安徽卷19)（本小题满分12分）为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望，标准差为。（）求n,p的值并写出的分布列；（）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率解题思路：若B(n，p)，则np(1-p)解析： (1)由得,从而的分布列为0123456(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则 得 或 【名师指引】求离散型随机变量的方差、标准差的步骤：理解的意义，写出可能取的全部值；求取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望的定义求出E；根据方差、标准差的定义求出、.若B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要 【新题导练】1有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为，求E，D分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即B（200，1%），从而可用公式：E=np，D=npq(这里q=1-p)直接进行计算解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以B（200，1%）因为E=np，D=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，E=2001%=2,D=2001%99%=1.982有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：A110120125130135B100115125130145P0.10.20.40.10.2P0.10.20.40.10.2其中A、B分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好 分析： 两个随机变量A和B&都以相同的概率01，02，04，01，02取5个不同的数值A取较为集中的数值110，120，125，130，135；B取较为分散的数值100，115，125，130，145直观上看，猜想A种钢筋质量较好但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性解：先比较A与B的期望值，因为 EA=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125, EB=1000.1+1150.2+1250.4十1300.1+1450.2=125.所以，它们的期望相同再比较它们的方差因为 DA=(110-125)20.1+(120-125) 2 0.2+(130-125) 20.1+(135-125) 20.2=50， DB=(100-125)20.1+(110-125) 2 0.2+(130-125) 20.1+(145-125) 20.2=165.所以，DA DB.因此，A种钢筋质量较好 抢 分 频 道 基础巩固训练1. 口袋中有5只球，编号为1