高三数学第一轮复习：空间几何体文人教实验B知识精讲

高三数学第一回复习：空间几何(文)人教实验b版【本讲义教育信息】1 .教育内容：柱、锥、台、球及其简单组合体、三图、斜二测量法2 .教材要求：1 .利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，识别柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，利用这些特征可以表现现实生活中的简单物体结构可以绘制简单的空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合)，三视图可以识别由上述三视图表示的立体模型，使用材料(例如纸板)创建模型，并且使用斜二测量方法来绘制它们的直观视图3 .通过观察，用两种方法(平行投影和中心投影)绘制三视图和直观图，理解空间图形的不同表现形式4 .完成实习工作。 例如，绘制某建筑物的视图和展望图(不影响图形特征，而且不严格要求尺寸、线条等)。三.命题的方向性近年来，立体几何的高考命题形式比较稳定，问题难度适中，解题常以棱柱、棱锥与立方体位置关系的证明和角度距离的解为基础，对选题、填空问题以及空间几何的几何特征和体积、表面积进行了很好的研究。 所以复习时，首先要把握空间几何的空间结构特征。 培养空间思维能力。高考直接调查能力可能很低，但经常提出一些创新主题，具体预测如下(1)主题选项多，填空栏的问题多，经常出现调查空间想象力的问题。 例如，判断命题的真伪等解答问题的考察多为位置关系，我们应该想象的点线面间的位置关系(2)研究立体几何问题，重视多面体的应用，发现抑制条件，利用抑制条件解决问题。【教育过程】基本知识要点：1 .柱、锥、台、球的结构特征(1)柱子棱柱：通常两个面相互平行，其馀面均为四边形，相邻两个四边形的共同边相互平行，由这些面包围的几何称为棱柱，棱柱中相互平行的两个面称为棱柱的底面，其馀各面称为棱柱的侧面，相邻侧面的共同边称为棱柱的侧面底面为三角形、四角形、五角形的棱柱分别称为三角柱、四角柱、五角柱圆柱体：将带有矩形一边的直线作为旋转轴，由其馀边旋转形成的曲面包围的几何体称为圆柱体。旋转轴称为圆柱体的轴。垂直于轴的边旋转的曲面称为圆柱体的侧面。无论旋转到哪个位置，不垂直于轴的边都称为圆柱体侧面的母线。棱柱和圆柱统称为柱(2)锥度金字塔：一般的面是多边形，其馀的面是具有共同顶点的三角形，由这些面包围的几何图形称为金字塔。此多边形的面称为金字塔的底面或底面。具有共同顶点的三角形的面称为金字塔的侧面。各侧面的共同顶点称为金字塔的顶点。相邻侧面的共同边称为角底面为三角形、四角形、五角形的金字塔分别称为三角锥、四角锥、五角锥圆锥：以具有直角三角形的一条直角边的直线为旋转轴，其馀两边由旋转形成的曲面包围的几何称为圆锥。旋转轴与圆锥的轴垂直的边由旋转形成的面称为圆锥的底面。斜边由旋转形成的曲面称为圆锥的侧面。棱锥和圆锥统称为锥体。(3)台奥萨马：在与底面平行的平面上切割棱锥，底面和截面之间的部分称为奥萨马。把原棱锥的底面和截面分别称为奥萨马的下底面和上底面的奥萨马也有侧面、侧棱、顶点。圆锥台：在与底面平行的平面上切圆锥，底面和截面之间的部分称为圆锥台。分别称为圆锥台的下底面和上底面的圆锥台也有侧面、母线、轴。圆锥台和棱锥台统称为台体。(4)球以有半圆直径的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体称为球体，单纯地球这一半圆的中心称为球的球心，半圆的半径称为球的半径，半圆的直径称为球的直径。(5)组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂几何体称为组件。2 .空间几何图形的三个视图三个视图是观察者从不同位置观察相同几何图形并绘制的空间几何图形。具体如下：(1)主视图：投影物体前后方向的投影图反映物体的高度和长度(2)左图：投影物体左右方向的投影图反映物体的高度和宽度(3)平面图：通过物体上下方向的投影得到的投影图反映物体的长度和宽度。简单记为“主左相同高度、左相同宽度、主相同长度”3 .空间几何的展望图(1)斜二测量法确立正交坐标系，在已知水平放置的平面图形中取相互正交的OX、OY，确立正交坐标系绘制斜坐标系，绘制与绘制直观图的纸张(平面上)相对应的ox、oy，设置=45 (或135 )，并且这些设置的平面表示水平平面绘制对应的图形，已知图形与x轴平行的线段在直观图中被绘制成与x轴平行，长度不变的已知图形与y轴平行的线段在直观图中被绘制成与y轴平行，长度为原来的一半擦拭辅助线，画完画后，擦拭添加到x轴、y轴及画中的辅助线(虚线)。“横向不变，纵向减半，平行性不变”(2)平行投影和中心投影平行投影的投影线相互平行，中心投影的投影线在点相交。【典型例题】(1) (06北京处理4 )平面的斜线AB与点b相交，通过点a的移动直线与AB垂直，若与点c相交，则移动点c的轨迹为()a .直线b .圆c .椭圆d .双曲线之一(2)(04天津文8 )如图所示，定点a和b都在平面内，定点c是a和b内在的可动点，并且可动点在平面内的轨迹为()a .直线，但两点b .删除一个圆，但删除两点c .椭圆，但删除两个点d .半圆，但删除两个点(3)立方体ABCDA1B1C1D1的草图长度为2，点m是BC的中点，点p是平面ABCD内的可动点，满足PM=2，从p到直线A1D1的距离，点p的轨迹为()a .圆b .双曲线c.2点d .直线解： (1)和作为其中的两条任意的直线，这两条直线确定一个平面，斜线垂直于该平面，通过平面之外只有一条平面和已知的直线垂直，通过点和垂直的所有直线都在该平面内，因此可动点c在该平面和平面的交线上，因此选择a。(2)B。(3)从点p到A1D1距离是从点p到AD的距离为1，满足该条件的p的轨迹是到直线AD的距离为1的两条平行的直线另外，满足这个条件的p的轨迹是以m为中心、半径为2的圆，这2种轨迹只有2个交点。故点p的轨迹是两点。 选项是c。评价：这个问题研究了空间内平面轨迹的形成过程，研究了空间的想象力。例2. (06江苏9 )如果两个相同的正四角锥构成如图甲所示的几何图形，并且正方形的底面ABCD与具有正四角锥的平面平行，并且各顶点位于正四角锥的面上，则这种几何体积可能是存在的()A. 1个B. 2个C. 3个d .无限多数解：由于两个正四角锥相同，所以求出的几何图形中心是正四角锥底面正方形ABCD的中心，从对称性来看，正四角锥的高度是正方形角的一半，影响几何图形体积的只是正四角锥底面正方形ABCD的面积，问题是为了了了解有多少边长为1的正方形的内接正方形，选择了d。评价：本问题主要考察空间想象力和正四角锥的体积。 立方体是众所周知的几何体，其内部或外部图形需要空间想象力，必须学会将空间问题转化为平面问题。例3. (2002北京处理，10 )命题甲：直角四角柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ACB1垂直于对角面BB1D1D命题b :直角四角柱ABCD-A1B1C1D1是立方体。 那么，甲是乙的()a .充分的必要条件b .不充分必要的条件c .不是必要的充分条件d .充分或不必要的条件解：命题甲成立，命题乙未必成立。 例如，底面为菱形时。 如果命题b成立，命题a一定成立。 答案是c。评价：深入认识空间几何图形的定义，把握其定义，判断其性质。例4. (2002上海春，10 )下图显示一个立方体表面的展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原来的立方体中互不相同。解：互不相同面的线段是AB和CD、EF和GH、AB和GH这3对。解决这样主题的关键是通过将平面图形复原为空间图形，强烈考察了空间想象力。例5 .画正五角柱的展望图，设底面的边长为3cm，侧棱的长度为5cm。解：首先制作底面的正五边形的展望图，然后在与z轴平行的方向上直线移动即可。做法：(1)画轴：画出x 、y 、z 轴，设xoy=45 (或135 )、xoz=90。(2)画底面：在x轴、y轴上画正五角形的直观图ABCDE。(3)画侧棱：将a、b、c、d、e各点分别作为z轴的平行线，在这些平行线上切取aa、bb、cc、DD、EE。 灬.(4)图：依次连接a 、b 、c 、d 、e 进行整理，拆下辅助线，将隐藏的部分变为虚线。评价：用这种方法可以依次画出金字塔、棱柱、棱锥台等多面体的直观图。例6 .是正ABC的斜二测量法的水平配置图，面积为时ABC的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。解。这个问题是斜二测量法的应用，解决问题的关键是建立实物图要素与直观图要素的对应关系。 特别是底部和高度的对应关系。例7. (1)如图所示，在正四面体A-BCD中，如果e、f、g分别为三角形ADC、ABD、BCD中心，则EFG能够投影到该正四面体的各面上的全部编号为()A. B. C. D. (2)(2000全国，16 )如果图甲、e、f分别是立方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该立方体的面上的投影可能是图乙的(要求：记下所有可能的图的编号)。甲乙解： (1)正四面体的各面的中点不会投影到四个面上而落到正四面体的边上，因此不正确，根据投影的性质，e、f、g三点投影到平面ABC内的形状如所示，投影到其他平面上的形状如所示。 答案： c(2)面BFD1E面ADD1A1，因此四边形BFD1E向面ADD1A1的投影是，同样向面BCC1B1的投影也是。 设e、f分别为DD1和CC1的垂线，则四边形BFD1E在面DCC1D1上的投影为，同样在面ABB1A1、面ABCD和面A1B1C1D1上的投影为。 答案：；调查知识立足于教科书，在空间想象力、分析问题能力、操作能力和思维灵活性等方面要求较高，提出了加强能力调查的方向。例8. (06安徽处理16 )在多面体上，将位于同一棱两端的顶点称为邻接点，如图所示，立方体的一个顶点a在平面内，其馀顶点位于同一侧，离立方体上与顶点a邻接的三个顶点的距离分别为1、2和4，p是立方体的馀四个顶点之一，从p到平面的距离可能为3 5； 6； 7以上结论正确的是.(写下所有正确结论的编号)解：如图所示，从b、d、A1到平面的距离分别为1、2、4时，从d、A1的中点到平面的距离为3，因此从D1到平面的距离为6，从A1的中点到平面的距离为，因此从B1到平面的距离为5，从d、b的中点到平面的距离为， 从c到平面的距离为3的c，从A1的中点到平面的距离为，因此从C1到平面的距离为7，p为c、C1、B1、D1中的1点，因此选择、。点评：这个问题是把计算包含在投影知识中的一个罕见的综合性问题。例9. (1)绘制以下几何图形的三个视图解：这两个几何图形的三个视图是：(2)如图所示，将给定的方向作为物体的正面，画出其三维图(单位： cm )评分：在绘制三个视图之前，请确定几何图形的结构，然后选择适当的正面方向。 一般来说，首先画正视图，接着画平面图，最后画左图。 画画的时候要画轮廓线，隐藏的轮廓线要用虚线画。 物体上各构成部分的3个视图都必须符合3个投影规则。实例10 .一个对象的三维视图如下所示并且试图确定几何的形状解：几何图形为正四角锥。分析：三个视图是从三个不同方向看同一物体的三个视图。评价：正视图反映物体的主要形状特征，主要表现物体的长度和高度，不反映物体的宽度。 平面图和前视图都反映了物体的长度相等。 左图和平面图共同反映物体宽度相等。 因此，不容易得到该几何体的形状。例11. (1) (湖南07理8问) prism长为1的立方体的8个顶点都在球的表面上，分别在棱、中点，直线被球切开的线段的长度为()A. B. C. D(2) (陕西07处6问)正三角锥的4个顶点在半径为1的球面上，底面的3个顶点在球的大圆上时，正三角锥的体积为()A. B. C. Da:(1)d(2)B评分： 07年这两个问题考察了多面体与球体的组合问题，在空间想象力、分析问题的能力和思维灵活性等方面要求较高，提出了加强能力调查的方向。例12.(宁夏07理8题)某几何的三维图如下，根据图所示的尺寸(单位： cm )，可知该几何的体积为()A. B. C. D解：从前视图、左视图和平面图可以看出，此几何图形为四棱锥，底边长