高一数学第七讲反函数及函数图象

高一数学第七讲反函数及函数图象一 知识归纳：1.反函数的概念：一般地，函数y=f(x)(xA)中，设它的值域为C，我们根据这个函数中x, y的关系，用y把x表示出，得到x=(y)，如果对于y在C中的任何一个值,通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数。这样的函数x=(y)(yC)叫做函数y=f(x)(xA)的反函数，记作x=f-1(y)。习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此对调函数x=f-1(y)中的字母x, y,把它改写成y=f-1(x)。注意：只有单调函数（一一对应的函数）才具有反函数。2.求反函数的步骤：（1）确定原来函数的值域，也就是反函数的定义域（2）将函数y=f(x)看作方程，解出x=f-1(y)（3）将x=f-1(y)中的字母对调得y=f-1(x)3.反函数的图象：(1)函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称,而函数y=f(x)和函数x=f-1(y)的图象是同一个图象。(2)如果两个函数的图象关于直线y=x对称，那么这两个函数互为反函数。(3)点（a, b）在y=f(x)的图象上点（b, a）在y=f-1(x)的图象上。(4)如果一个函数的图象关于直线y=x对称，那么这个函数的反函数就是它本身。 4 . 函数图象不同函数的函数图象是不同的。同一函数由于函数定义域的不同，函数图象也不同。对于分段函数，因根据不同的定义域范围 ，画出各段函数。5. 函数图象的变换（1） 平移变换 将函数y=f(x)的图象向左（向右）平移|k|个单位（k0 向左，k0 向上 ,k0 向下）得y=f(x) +k的图象。（2） 对称变换函数y=f(x)的图象与y=-f(x)，y=f(-x)及y=-f(-x)的图象分别关于x轴，y轴，原点对称。（3） 翻折变换y=f(x) y=|f(x)|作出函数y=f(x)的图象 将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折.y=f(x) y=f(|x|)作出函数y=f(x)的图象 将上述图象y轴右方部分不变，将右方部分以y轴为对称轴向左翻.二.例题讲解【例1】求下列函数的反函数（1） （2）（3） （4） (5) （6）解答：（1） （2）（3）（4） （5） （6）点评：求反函数可以按照反解、互换、求定义域的过程进行，尤其要注意开根号后应选择正确的符号（+或-）。【例2】已知函数，求（1）及其 （2）求的反函数解答：（1）， （2）变式：已知的反函数为，求的反函数。解答：反函数为分析：本题应首先明确的反函数并不是，而与互为反函数，所以要求、，可以先求出。其次，利用公式，也可以直接求出，对于，在最后一定要重新确定好自变量的范围。【例3】已知函数有反函数，求解答：点评：要求，有两种方法：1.先求反函数，再将代入.2.考虑反函数是在原函数基础上互换字母而来的，因此要求，即求在原函数中当时，的值。变式：设，的图象与的图象关于直线y=x对称，求。解答：分析：在上一题的基础上，适当的加深，同样的有两种解法：1. 按照先后求、的过程最后得到。2.由， 求即求当的值。代入得到。【例4】点（1，2）既在的图象上，又在它的反函数的图象上，求解答：变式1：的反函数为，求解答：变式2：已知的图象关于直线y=x对称，求m的值。解答：点评：上述三题切合了反函数图象的性质2、3、4，根据性质可以很快的求出答案。【例5】设，分别作出,及的图象。变式：分别作出函数及的图象。（解答略）7.反函数及函数图象复习题一. 选择题1. 下列各函数中，没有反函数的是( )A B.C. D.2. 下列各组函数中，互为反函数的是( )A.和 B.和C.和且 D.和3. 有下列四个命题 函数的反函数是 若在的图象上，则一定在其反函数的图象上 关于直线y=x对称的两个图象一定是互为反函数的一对函数的图象 因为函数和其反函数的图象关于直线y=x对称，所以与的图象不能相交其中错误的有( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个4. 已知点在的图象上，则下列各点位于其反函数图象上的是( )A. B. C. D. 5. 已知的反函数就是该函数，则( )A.1 B. 1 C.2 D. 2二. 填空题6. 对于函数，分别就下列指定的定义域写出其反函数：（1） 若，则_（2） 若，则_（3） 若，则_7. 已知，则_8. 要使有反函数，则的最小值为_9.函数的图象与的图象关于直线y=x对称，则的增函数区间是_三.作图题1. 2. 3. 4.四.解答题10.求下列函数的反函数（1）（2）（3）11.（1）已知函数的图象过点（1，4），其反函数的图象过点（2，0），求（2）已知，求（3）若函数的图象关于直线y=x对称，确定的关系12.已知的反函数（1） 求的解析式（2） 解不等式参考答案http:/www.DearEDU.com一、1.C 2.B 3.B 4.D 5.B二、6.（1） （2） （3）7. 8. 9.xy-1o12-2xy-1-2o三、1. 2. y=-1, 可有y=通过平移得到31312xy3.xyy=xO2四、10.（1）（2）（3） 11.（1）由函数的图象过点（1，4）得 由的反函数的图象经过