河北邢台第一中学高二数学上学期第一次月考文

邢台一中2017-2018学年上学期第一次月考高二年级文科数学试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B.考点：圆锥的面积2. 已知水平放置的的直观图（斜二测画法）是边长为的正三角形，则原的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】正三角形ABC还原回原三角形如图，过C作CD垂直于x轴于D，因为ABC是边长为2a的正三角形，所以CD=6a2，过C作CE平行于x轴交y轴于E，则AE=2CD=3a，所以，C对应的原图形中的点C在平面直角坐标系xoy下的纵坐标为23a，即原三角形ABC底边AB上的高为23a，所以，原三角形ABC面积S=122a23a=6a，故选D.点睛: 平面图形与其直观图的关系(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图=24S原图形3. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，与对角线BD1异面的棱有（ ）条A. 3 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】与对角线BD1异面的棱有AD,AA1,A1B1,CC1,C1B1,C1D1六条，选C.4. 如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】对于B，易知ABMQ，则直线AB平面MNQ；对于C，易知ABMQ，则直线AB平面MNQ；对于D，易知ABNQ，则直线AB平面MNQ故排除B，C，D，选A点睛:本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面 5. 已知圆心(2,3)，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）A. x2+y24x+6y+8=0 B. x2+y24x+6y=0C. x2+y24x6y=0 D. x2+y24x+6y8=0【答案】B【解析】由题意可设圆的直径两端点坐标为A(a,0),B(0,b)，由圆心坐标可得a=4,b=6，可求得2R=AB=213R=13，可得圆的方程为(x2)2(y+3)2=13即x2+y24x+6y=0.故选B.6. 已知m,n是不同的直线，,是不同的平面，命题：（1）若m/，n/，则m/n；（2）若m/，m/，则/；（3）若m，n，则m/n；（4）若m，m，则/；（5）若，则/，错误命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】(1)平行于同一平面的两直线并不一定平行，可能相交，可能异面，所以错（2）平行于同一直线的两平面可能相交，可能平行，所以错（3）垂直同一平面的两直线平行，对（4）垂直同一直线两平面平行，对（5）垂直于同一平面的两平面，可能平行，可能相交，错。有三个错，选C.7. 给出下列命题，其中正确的命题为（ ）A. 若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面B. 直线a与平面不垂直，则a与平面内的所有的直线都不垂直C. 直线a与平面不平行，则a与平面内的所有的直线都不平行D. 异面直线a,b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直【答案】D【解析】试题分析：A：直线共面不具有传递性，故A错误；B：根据线面垂直的判定可知B错误；C：若直线a，满足直线a与平面不平行，故C错误；D：假设存在过a的平面与b垂直，则可知ba，假设不成立，故D正确，故选D考点：空间中点、线、面的位置关系及其判定8. 在空间四边形ABCD中，AB=CD，且异面直线AB与CD所成的角为60，E,F分别为边BC与AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角为（ ）A. 30 B. 45 C. 60 D. 30或60【答案】D【解析】取AC中点M，则异面直线AB与CD所成的角为直线EM和FM所成的角，异面直线EF和AB所成的角为直线EF和EM所成的角,因为异面直线AB与CD所成的角为60，所以EMF=600或1200 ，因为AB=CD，所以EM=FM ,因此MEF=300或600 ,即异面直线EF和AB所成的角为30或60，选D.9. 图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：BM与DE平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DM与BN垂直；以上四个命题中，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由已知中的正方体平面展开图，画出正方体的直观图，结合正方体的几何特征，逐一判断题目中的四个命题，即可得到答案解答：解：由已知中正方体的平面展开图，得到正方体的直观图如下图所示：由正方体的几何特征可得：BM与ED平行，不正确； CN与BE是异面直线，不正确，是平行线；ANBM，所以，CN与BM所成的角就是ANC=60角，正确；DM与BN垂直，DM与BN垂直，正确；故选D10. 正方体ABCDA1B1C1D1棱长为4，M,N,P分别是棱A1D1,A1A,D1C1的中点，则过M,N,P三点的平面截正方体所得截面的面积为（ ）A. 23 B. 43 C. 63 D. 123【答案】D【解析】过M,N,P三点的平面截正方体所得截面为一个正六边形,其余三个顶点分别为的AB,BC,CC1 中点,边长为22 ,所以面积为634(22)2=123 ,选D.11. 已知三棱锥ABCD中，AB=CD=2，AC=BC=AD=BD=3，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A. 43 B. 4 C. 2 D. 323【答案】A【解析】四棱锥ABCD四个顶点都在底面边长为1，高为2的长方体的顶上，故棱锥的外接球也是长方体的外接球，球的半径r=12+12+(2)22=1V=4313=43 ，故选A.12. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为BB1的中点，则直线MC与平面ACD1所成角的正弦值为（ ）A. 55 B. 105 C. 155 D. 35【答案】C【解析】连结B1D，BD，设ACBD=O，连结OM，则B1D平面ACD1，OMB1D，OM平面ACD1，MCO为MC与平面ACD1所成的角，设正方体棱长为1，则MC=1+14=52，OM=12B1D=32，sinMCO=OMMC=155故选C第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 点A,B到平面距离分别为12,20，若斜线AB与成30的角，则AB的长等于【答案】16或64【解析】第一种情况如下图所示，在直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半，故AB=BCAC=4024=16.第二种情况如下图所示，在直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半，故AB=BC+AC=40+24=64.点睛：本题主要考查直线与平面的位置关系，考查特殊直角三角形的几何性质.由于题目并没有明确A,B两点的具体位置，故将A,B两点的位置分成A,B在平面的同一侧，A,B在平面的两侧两种情况讨论.画出图象之后，利用直角三角形中30角所对的边等于斜边的一半，结合图像可求得AB的长.14. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为【答案】22【解析】由三视图可知，三棱锥直观图如图DABC ，图中D为棱的中点，正四棱柱底面边长为2，高为3，由直观图知，最长棱长为AD=22，故答案为22.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.15. 如图，正四面体PABC中，D,E分别是AB及PC的中点，则直线AE与PD所成的角的余弦值为【答案】23【解析】连接CD，取CD中点为O，连接AO,OE，则有OE/PO,则，AEO或其补角即为所求；设正四面体的棱长为2，则AE=PO=3，OE=12PO=32，AO=AD2+OD2=1+34=72.故答案为23.16. 如图，在正四棱锥SABCD中，E,M,N分别是BC,CD,SC的中点，动点P的线段MN上运动时，下列四个结论：EPAC；EP/BD；EP/平面SBD；EP平面SAC恒成立的是（把正确的序号都填上）【答案】【解析】如图所示，连接AC、BD 相交于点O ，连接EM,EN 在中：由正四棱锥S-ABCD，可得SO 底面ABCD ，ACBD，SOAC SOBD=O，AC 平面SBD .E,M,N 分别是BC,CD,SC 的中点，EM/BD,MN/SD ，而EMM=N ，平面EMN/ 平面SBD，AC 平面EMN，ACEP 故正确；在中：由异面直线的定义可知：EP 与BD 是异面直线，不可能EP/BD，因此不正确；在中：由可知平面EMN/平面SBD，EP/平面SBD，因此正确；在中：由同理可得：EM 平面SAC，若EP 平面SAC，则EPEM，与EPEM=E相矛盾，因此当P 与M 不重合时，EP 与平面SAC不垂直，即不正确故答案为三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积.【答案】(22)【解析】试题分析：根据母线和圆锥的底面半径，可求得圆锥的高，再根据三角形的比较关系可求得圆柱的底面半径，再根据圆柱的表面积公式.试题解析：圆锥的高h=4222=23，圆柱的底面半径r=1，考点：圆锥与内接几何体18. 圆过点A(1,2)，B(1,4).求：（1）周长最小的圆的方程；（2）圆心在直线2xy4=0上的圆的方程.【答案】（1）x2(y1)210（2）(x3)2(y2)220）【解析】试题分析:(1)当周长最小时AB为圆的直径，由此可得所求圆的圆心和半径，即可得圆的方程；（2）线段AB的垂直平分线与直线2xy4=0的交点C即为圆心坐标,AC即为半径，可得圆的方程.解:(1)当AB为直径时，过A、B的圆的半径最小，从而周长最小即AB中点(0,1)为圆心，半径r|AB|.则圆的方程为：x2(y1)210.(2) 解法1：AB的斜率为k3，则AB的垂直平分线的方程是y113x.即x3y30由圆心在直线2x-y-4=0上得两直线交点为圆心即圆心坐标是C(3,2)r|AC|(1-3)2+(-2-2)22.圆的方程是(x3)2(y2)220.解法2：待定系数法设圆的方程为：(xa)2(yb)2r2.则圆的方程为：(x3)2(y2)220.19. 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，E为AC与BD的交点，PA平面ABCD，M为PA中点，N为BC中点.（1）证明：直线MN/平面PCD；（2）若点Q为PC中点，BAD=120，PA=3，AB=1，求三棱锥AQCD的体积.【答案】）(1)证明见解析;(2)18.【解析】试题分析：（1）设PD中点为R，连结MR，RC，先利用中位线定理证明MR/AD，结合已知可得四边形MNCR为平行四边形，进而MN/RC，由线面平行的判定定理可得结论；（2）先利用等积变换得VAQCD=VQACD，再利用棱锥体积公式可得结果.试题解析：（1）证明：取PD中点R，连结MR，RC，MR/AD，NC/AD，MR=NC=12AD，MR/NC，MR=AC，四边形MNCR为平行四边形，MN/RC，又RC平面PCD，MN平面PCD，MN/平面PCD（2）由已知条件得AC=AD=CD=1，所以SACD=34，所以VAQCD=VQACD=13SACD12PA=18考点：1、直线与平面平行的判定；2、等积变换及棱锥的体积公式.20. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F.（1）求证：AB/EF；（2）若PA=AD，且平面PAD平面ABCD，试证明：AF平面PCD.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：（）证明：AB平面PCD，即可证明ABEF；（）利用平面PAD平面ABCD，证明CDAF，PA=AD，所以AFPD，即可证明AF平面PCD；解：（1）底面ABCD是正方形，AB/CD，又AB平面PCD，CD平面PCD，AB/平面PCD，又A，B，E，F四点共面，且平面ABEF平面PCD=EF，AB/EF.（2）在正方形ABCD中，CDAD，又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，CD平面PAD，又AF平面PAD，CDAF，由（1）可知AB/EF，又AB/CD，CD/EF，由点E是棱PC中点，点F是棱PD中点，在PAD中，PA=AD，AFPD，又PDCD=D，AF平面PCD.21. 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AA1=2，M为AB的中点，N为AA1的中点，BC1与CB1的交点为O.（1）求证：CB1NC1；（2）求直线CM与平面BNC1所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2) 64.【解析】试题分析：（1）连接NO,NC,NB1，可证得CB1平面BNC1，进而证得CB1NC1；（2）延长CA，C1N交于Q，连接BQ，延长CM交BQ于P，连接OP，可证得OPC为直线CM与平面BNC1所成角的平面角，进而求解即可.试题解析：（1）连接NO,NC,NB1&NC=NB1=5O为CB1中点NOCB1BB1C1C为正方形BC1CB1CB1平面BNC1CB1NC1 （2）延长CA，C1N交于Q，连接BQ，延长CM交BQ于P，连接OP.NA/CC1NA=12CC1QA=AC=2,AB=2,QBBC&QBBCBB1QBQB平面B1BCC1QBB1CB1CBC1OC平面QBC1.OPC为直线CM与平面BNC1所成角的平面角BCP=6,PBC=2,BC=2，2PC=cos6=32,PC=433.sinOPC=2433=64 所以，直线CM与平面BNC1所成角的正弦值为64. （3）思路二：取A1B1中点为H，连接C1H,则C1H/CM,C1H与平面BNC1所成角等于直线CM与平面BNC1所成角，可等体积法求得H到平面BNC1的距离h，然后求线面角的正弦值hC1H)点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.22. 如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1底面ABCD