高三数学全国各地模拟卷分类汇编8数列

用心 爱心 专心 教育是我们一生的事业 一、填空题 1、给出下列四个命题： 若数列的奇数项为，偶数项为，则此数列既是等差数列又是等 1 n a23 1 (23) 比数列；若数列的前项和（为非零常数） ，则此数列可以是等差 2 n an1 n n Saa 数列，也可以是等比数列； 若是等差数列的第项，同时又是等比数列的第项，则 3 , ,a b c n a, ,p q r n b, ,p q r ；1 b cc aa b abc 若和分别是和的等差中项和等比中项，则； 4 sin2xsin xsincos 133 cos2 8 x 其中不正确的命题序号是_ 3 4 2设数列满足，且，则 . n x 212 log1log nn xx 123 7xxx 456 xxx 16.56 3. 用类比推理的方法填表 等差数列中 n a等比数列中 n b 32 aadqbb 23 3425 aaaa 5243 bbbb 123453 5aaaaaa 答案： 5 354321 bbbbbb 4. 若为的各位数字之和，如：，则)(nf*)( 1 2 Nnn197114217791 ;记17)14(f _ ) 8 (*,),()(,),()(),()( 20081121 fNknffnfnffnfnfnf kk 则 答案：5 用心 爱心 专心 教育是我们一生的事业 5. 在公差为的等差数列中，若是的前项和，则数列)0(dd n a n S n an 也成等差数列，且公差为，类比上述结论，相应地在 304020301020 ,SSSSSSd100 公比为的等比数列中，若是数列的前项积，则有 ) 1(qq n b n T n bn 。 100 30 40 20 30 10 20 ,q T T T T T T 且公比为也成等比数列 6. 歌德巴赫（GoldbachC德16901764）曾研究过“所有形如（， 1 ) 1( 1 m n m 为正整数）的分数之和”问题为了便于表述，引入记号：n 11 1 ) 1( 1 nm m n ) 2 1 2 1 2 1 ( 432 ) 3 1 3 1 3 1 ( 432 ) ) 1( 1 ) 1( 1 ) 1( 1 ( 432 nnn 写出你对此问题的研究结论： 1 （用数学符号表示） 11 1 ) 1( 1 nm m n 7. 将给定的 25 个数排成如右图所示的数表，若每行 5 个数按从左至 右的顺序构成等差数列，每列的 5 个数按从上到下的顺序也构成等差 数列，且表正中间一个数a331，则表中所有数之和为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 25 8. 在数列中，如果对任意都有（为常数） ，则称为 n a * nN 21 1 nn nn aa k aa k n a 等差比数列，称为公差比. 现给出下列命题：k 等差比数列的公差比一定不为 0； 等差数列一定是等差比数列； 若,则数列是等差比数列；32 n n a n a 若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 . 其中正确的命题的序号为 _. 1112131415 2122232425 3132333435 4142434445 5152535455 aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa 用心 爱心 专心 教育是我们一生的事业 9. 若等比数列an的前 n 项和 Sn=2008n+t(t 为常数)，则 a1的值为 2007 10. 已知数列an满足 2an+1= -an3+3an且，则 an的取值范围为 (0,1) ) 1 , 0( 1 a 11. 数列是正项等差数列，若，则数列也为等差 n a n naaaa b n n 321 32 321 n b 数列. 类比上述结论，写出正项等比数列， n c 若= ，则数列也为等比数列 n d n n n cccc 321 1 3 3 2 21 )( n d 12. 等差数列an中，S2030，则 a3a18 3 13. 无穷等比数列的首项是某个自然数，公比为单位分数（即形如：的分数， n a 1 m 为正整数） ，若该数列的各项和为 3，则 m 21 aa 3 8 14. 已知正项数列满足：，且，是数列的 n a 1 1a 1 (*) 21 n n n n a anN a k a n a 第项，则 .k 2 1 21 lim k n k n k a kk 解：由得即 1 21 n n n n a a a 1 11 2n nn aa 1 11 2n nn aa 121 112211 11111111 ()()()2221 nn nnnnn aaaaaaaa ， 21 21 21 n n 1 21 n n a 2 111 2111111 limlimlim()lim(1)1 (1)1121 k nnn k nnnn kkk k kkknkk 15. 数列中，则 . n a 1 () 5 , 2 () 5 n n n n a n 为奇数 为偶数 2122nn SaaaA A A 2n n lim S 1 8 16. 已知：f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对任意 a、bR R，满足： f(ab)=af(b)+bf(a)，且 f(2)=2，an=，则 f()= ；数列an的通项公式 n f n) 2( 2 1 2 1 an= . n 2 1 用心 爱心 专心 教育是我们一生的事业 【解析】令 a=b=1f(1)=2f(1) f(1)=0. f(2)=2f()+f(2) 0=2f()+2f()= 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 f()=f()=f()+f(). n 2 1 2 1 1 2 1 n 2 1 1 2 1 n1 2 1 n 2 1 f()=f()=f()=f()=f() n 2 1 2 1 1 2 1 nn 2 1 2 1 2 1 2 2 1 n1 2 1 nn 2 1 2 2 1 2 2 1 nn 2 2 1 2 1 n 2 1 =. n n 2 1 n n 2 an=. n f n) 2( n 2 1 16. 若数列an的通项公式 an，记，试通过计算 2 1 (1)n 12 ( )2(1)(1)(1) n f naaa ，的值，推测出 (1)f(2)f(3)f( )f n 解： ， 1 2 13 (1)2 121 2 1 1 fa 12 2 314 (2)2(1)(1)1 233 faa ，归纳猜想得. 3 415 (3)(2) 11 3164 ffa 2 ( 1 ) n f n n 【命题意图命题意图】考查考生对归纳猜想和递推的理解和运用.此题涉及属探索性问题，考 生可根据特殊情形归纳概括一般性结论。 17. 定义运算，已知，计算： 12 1 n in i aa aa A A A 1 log(2) ii ai = 。6 62 1 i i a 18. 在公差为的等差数列中，若是的前项和，则数列)0(dd n a n S n an 也成等差数列，且公差为，类比上述结论，相应地在 304020301020 ,SSSSSSd100 公比为的等比数列中，若是数列的前项积，则有 ) 1(qq n b n T n bn 。 100 30 40 20 30 10 20 ,q T T T T T T 且公比为也成等比数列 用心 爱心 专心 教育是我们一生的事业 19. 设是一次函数,且成等比数列, 则)(xfy , 1)0(f)13(),4(),1 (fff _ )4()2(ff)2( nf)32(nn 20. 若是一个以为首项，为公比的等比数列，则数列的前项的和 n a22 2 n an n S 4(41) 3 n 21. 若是与的等比中项，则的最大值为 xy21y21xy 4 1 22. 一个无穷等比数列的公比为 q，满足 01，则对于任意正整数 n,都 n a 1 aq 1 aq 有; nn aa 1 用心 爱心 专心 教育是我们一生的事业 C已知数列的前 n 项和,则=2. n a13 n n S n a 1 3 n D已知等差数列的前 n 项和,则=0 n amnSn 2 ) 1(2m 21. 已知 a、b、c、d 成等比数列，且抛物线的顶点坐标为（b,c） ，则 ad1 2 xxy 等于 ABCD 8 5 8 5 4 7 4 7 22. 若，且、，则一定不属 12 2 555 n n aaa ()nN 1 a 2 a n a0,4 于 A B C D 2 ( ,2) 3 10 (,4) 3 51 (,4) 16 8 ( ,4) 3 23. 设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有)(xfRRyx, ，若为正整数） ，则数列的前项和)()()(yxfyfxfnnfaa n )(, 2 1 1 n an 的取值范围是 （ ） n S . A)2 , 2 1 .B2 , 2 1 .C 1 , 2 1 .D) 1 , 2 1 24. 已知数列是等差数列，若，则数列的公差等于（ n a 311 24aa 4 3a n a ） A B C D1356 设的首项为，公差为，选 B n a 1 ad 11 1 (2 )(10 )24 3 33 adad d ad 25. 三、解答题 1、对任意都有)(xfRx. 2 1 )1 ()(xfxf （）求和的值) 2 1 (f)( ) 1 () 1 (Nn n n f n f （）数列满足：=+，数列是 n a n a)0(f) 1 () 1 () 2 () 1 (f n n f n f n f n a 等差数列吗？请给予证明； 用心 爱心 专心 教育是我们一生的事业 （）令. 16 32, 14 4 22 3 2 2 2 1 n SbbbbT a b nnn n n 试比较与的大小 n T n S （）因为所以 2 1 ) 2 1 () 2 1 () 2 1 1 () 2 1 (ffff 4 1 ) 2 1 (f 令，得，即4 分 n x 1 2 1 ) 1 1 () 1 ( n f n f 2 1 ) 1 () 1 ( n n f n f （）) 1 () 1 () 1 ()0(f n n f n ffan 又5 分)0() 1 () 1 () 1 (f n f n n ffan 两式相加 2 1 )0() 1 () 1 () 1 ()1 ()0(2 n ff n n f n fffan 所以，7 分Nn n an , 4 1 又故数列是等差数列9 分 4 1 4 1 4 11 1 nn aa nn n a （） na b n n 4 14 4 22 2 2 1nn bbbT ) 1 3 1 2 1 1 (16 222 n 10 分 ) 1( 1 32 1 21 1 1 16 nn 12 分) 1 1 1 () 3 1 2 1 () 2 1 1 (1 16 nn 。所以14 分 n S nn 16 32) 1 2(16 nn ST 2. 已知数列an的前 n 项和为 Sn，对任何正整数 n，点 Pn（n，Sn）都在函数 的图象上，且过点 Pn（n，Sn）的切线的斜率为 Kn. xxxf2)( 2 （1）求数列an的通项公式； （2）若，求数列bn的前 n 项和 Tn. n K n ab n 2 解：（1）点的图象上，xxxfSnP nn 2)( ),( 2 在函数都 2 分*)(2 2 NnnnSn 当 n=1 时，；321 11 Sa 当 （1）12)1(2) 1(2,2 22 1 nnnnnSSan nnn 时 用心 爱心 专心 教育是我们一生的事业 当 n=1 时，也满足（1）式. 3 1 a 数列an的通项公式为 4 分12 nan （2）由22)(2)( 2 xxfxxxf，求导可得 过点 Pn（n，Sn）的切线的斜率为 Kn，Kn=2n+2 又 6 分 nn nn K n nnbab n 4) 12(4) 12(2,2 22 Tn=434+4542+4743+4（2n+1）4n 由得：4Tn=4342+4543+4744+4（2n+2）4n+1 由：得 8 分4) 12()444(24343 132 nn n nT =4.4) 12( 41 )41 (4 243 1 12 n n n 12 分. 9 16 4 9 16 2 n n n T 2. 把正偶数列中的数按上小下大，左小右大的顺序排序成下图“三角形”所示的数2 n 表设是位于这个三角形数表中从上到下的第行，从左到右的第列的数 mn amn （1）若记三角形数表中从上往下数第行各数之和为，求数列的通项公式n n b n b （2）记（） ，数列的前项和为 1 (1) n n n c bn n 2n n cn n S 解：（1）若数列的通项公式为，则其前项和（2 分） n x2 n xnn(1) n Tn n （6 分） 3 (1)(1)(1)(1) 11 2222 n n nn nnnnn bnn AA （2）（8 分） 1 332 1 (1)(1) n nn c nnn nnnn n 用心 爱心 专心 教育是我们一生的事业 111 (1)(2)12 n c nnnn 11111111 23341222 n S nnn 3. 某厂在一个空间容积为 2000m3的密封车间内生产某种化学药品，开始生产后，每满 60 分钟一次性释放出有害气体 am3，并迅速扩散到室内空气中。每次释放有害气体 后，车间内的净化设备随即自动工作 20 分钟，将有害气体的含量降至该车间内原有 有害气体含量的 r%，然后停止工作，待下一次有害气体释放后再继续工作。 （1）求第 n 次释放出有害气体后（净化之前）车间内共有有害气体量为多少？ （2）安全生产规定：只有当车间内的有害气体总量不超过 1.25am3时才能正常生产。 当 r=20 时，该车间能否连续正常生产 6.5 小时？请说明理由。 解（1）第一次释放有害气体， 3 am 第二次释放有害气体后（净化之前） ，车间内共有有害气体，2 分 3 %)(mara 第三次释放有害气体后（净化之前） ，车间内共有有害气体 ，3 分 32 %)(%)(mraarararaa 第 n 次释放出有害气体后（净化前）车间内共有有害气体 5 分.%)(%)(% 312 mraraara n 即6 分 3 %1 %)(1 m r r a n （2）由题意，要使该车间能连续正常生产 6.5 小时，须在第 6 次释放出有害气体后 （净化之前） ，车间内有害气体总量不得超 1.25am3，即必须要有 10 分 .25 . 1 %1 %)(1 6 a r r a ,25 . 1 8 . 0 1 2 . 01 1 2 . 01 2 . 01 20 6 ）（ 时，当r 当 r=20 时，该车间能连续生产 6.5 小时.12 分 4. 一个计算装置有一个入口 A 和一输出运算结果的出口 B，将自然数列中的 (1)nn 各数依次输入 A 口，从 B 口得到输出的数列，结果表明：从 A 口输入时， n a1n 用心 爱心 专心 教育是我们一生的事业 从 B 口得；当时，从 A 口输入，从 B 口得到的结果是将前一结果 1 1 3 a 2n n n a 先乘以自然数列中的第个奇数，再除以自然数列中的第个奇数。 1n a n1n n a1n 试问： （1）从 A 口输入 2 和 3 时，从 B 口分别得到什么数？ （2）从 A 口输入 100 时，从 B 口得到什么数？并说明理由。 解（1） 21 1 15 15 aa 32 1 37 35 aa （2）先用累乖法得 * 1 () (21)(21) n anN nn 得 100 11 (2 1001)(2 1001)39999 a 5. 已知二次函数同时满足：不等式的解集有且只 Rxaaxxxf 2 0xf 有一个元素；在定义域内存在，使得不等式成立。 21 0 xx 21 xfxf 设数列的前项和， n an nfSn （1）求数列的通项公式； n a （2）试构造一个数列， （写出的一个通项公式）满足：对任意的正整数都 n b n bn 有，且，并说明理由； nn ab 2lim n n n b a （3）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数 的个数称为这个 n c0 1 ii cci 数列的变号数。令（为正整数） ，求数列的变号数。 n c n n a a c1n n c 解：（1）的解集有且只有一个元素， 0xf ，4004 2 aaaa或 当时，函数在上递增，故不存在，使得不等0a 2 xxf, 0 21 0 xx 用心 爱心 专心 教育是我们一生的事业 式成立。 21 xfxf 当时，函数在上递减，故存在，使得4a 44 2 xxxf2 , 0 21 0 xx 不等式成立。 21 xfxf 综上，得，4a 44 2 xxxf44 2 nnSn （2）要使，可构造数列，对任意的正整数都有，2lim n n n b a knbnn nn ab 当时，恒成立，即恒成立，即2n52 nknkn 5 ，325kk 又，等等。0 n b * Nk 2 3 nbn （3）解法一：由题设， 2, 52 4 1 1, 3 n n n cn 时，时，3n 0 3252 8 32 4 52 4 1 nnnn cc nn 3n 数列递增， n c ，由，可知，即时，有0 3 1 4 a50 52 4 1 n n 0 54 aa3n 且只有 个变号数；1 又，即，此处变号数有个。3, 5, 3 321 ccc0, 0 3221 cccc2 综上得 数列共有个变号数，即变号数为。 n c33 解法二：由题设， 2, 52 4 1 1, 3 n n n cn 时，令2n 用心 爱心 专心 教育是我们一生的事业 ；42 2 9 2 7 2 5 2 3 0 32 72 52 92 0 1 nnnn n n n n cc nn 或或 又，时也有。5, 3 21 cc1n0 21 cc 综上得 数列共有个变号数，即变号数为。 n c33 6. 已知数列，其中是首项为 1，公差为 1 的等差数列； 3021 ,aaa 1021 ,aaa 是公差为的等差数列；是公差为的等差数列 201110 ,aaad 302120 ,aaa 2 d （）.0d （1）若，求；40 20 ad （2）试写出关于的关系式，并求的取值范围； 30 ad 30 a （3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把 403130 ,aaa 3 d 已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例） ，并进行研究， 你能得到什么样的结论？ 解（1）. 4 分3,401010.10 2010 ddaa （2）， )0(11010 22 2030 ddddaa ， 4 3 2 1 10 2 30 da 当时，. ), 0()0,(d 30 7.5,a （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为 1，公差为 1 的 n a 1021 ,aaa 等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. 1n )1(1011010 , nnn aaa n d 研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围. 16 分 ) 1(10n ad ) 1(10n a 研究的结论可以是：由， 323 3040 11010ddddaa 依次类推可得 . 1 ),1(10 , 1, 1 1 10 110 1 )1(10 dn d d d dda n n n 用心 爱心 专心 教育是我们一生的事业 当时，的取值范围为等. 0d )1(10n a),10( 7. 如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同 的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差 (1)设数列是公方差为的等方差数列，求和的关系式； n ap n a 1n a (2 )nnN， (2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列； n a (3) 设数列是首项为，公方差为的等方差数列，若将这种顺 n a22 12310 aaaa， 序的排列作为某种密码，求这种密码的个数 (1)解：解：由等方差数列的定义可知：5 分 22 1nn aap (2 )nnN， (2)证法一：证法一：是等差数列，设公差为，则 n ad 11nnnn aaaad 又是等方差数列，7 分 n a 2222 11nnnn aaaa 1111 ()()()() nnnnnnnn aaaaaaaa 即， 10 分 2 11 ()20 nnnn d aaaad ，即是常数列11 分0d n a 证法二：证法二：是等差数列，设公差为，则 n ad 1nn aad 1 又是等方差数列，设公方差为，则7 分 n ap 22 1nn aap 2 代入得， 1 2 2 20 n ddap 3 同理有， 2 1 20 n ddap 4 两式相减得：即，10 分 2 1 2 ()20 nn d aad ，即是常数列11 分0d n a 证法三：证法三：（接证法二、 ） 1 2 用心 爱心 专心 教育是我们一生的事业 由、得出：若，则是常数列 8 分 1 2 0d n a 若， 则 是常数, ，矛盾10 分0d 22 n dp a d 0d 是常数列 11 分 n a (3)依题意， ， 22 1 2 nn aa (2 )nnN， ， 2 1 4a 2 42(1)22 n ann ，或， 13 分22 n an22 n an 即该密码的第一个数确定的方法数是 ，其余每个数都有“正”或“负”两种1 确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数是种， 9 2512 故，这种密码共种16 分512 8. 对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中)( 1 Nnaaa nnn 。 n a n a n a 对自然数k，规定为的k阶差分数列，其中 n ka n a 。)( 11 1 1 n k n k n k n k aaaa （1）已知数列的通项公式，试判断，是否为 n a),( 2 Nnnnan n a n a 2 等差或等比数列，为什么？ （2）若数列首项，且满足，求数列 n a1 1 a)(2 1 2 Nnaaa n nnn 的通项公式。 n a （3）对（2）中数列，是否存在等差数列，使得 n a n b 对一切自然都成立？若存在，求数列的通 n n nnnn aCbCbCb 2 2 1 1 Nn n b 项公式；若不存在，则请说明理由。 解：（1），是首项为2211 2 2 1 nnnnnaaa nnn n a 4，公差为 2 的等差数列。 用心 爱心 专心 教育是我们一生的事业 222212 2 nnan 是首项为 2，公差为 0 的等差数列；也是首项为 2，公比为 1 的等比数列。 n a 2 （2），即， n nnn aaa2 1 2 n nnnn aaaa2 11 即， n nn aa2 n nn aa22 1 ，猜想：1 1 a 1 2 224a 2 3 2312a 3 4 2432a 1 2 n n na 证明：）当时，；1n 0 1 211a ）假设时，kn 1 2 k k ka 时， 结论也成1 kn 11 1 212222 kkkk kk kkaa 立 由） 、）可知， 1 2 n n na （3），即 n n nnnn aCbCbCb 2 2 1 1 12 2 1 1 2 nn nnnn nCbCbCb 11 1 2 1 1 1 0 1 321 2321 nn nnnn n nnnn nCCCCnnCCCC 存在等差数列，使得对一切 n bnbn n n nnnn aCbCbCb 2 2 1 1 自然都成立。Nn 9. 已知等比数列的各项为不等于 1 的正数，数列满足 n x n y ，设。) 1, 0(2logaaay n xn 12,18 63 yy （1）求数列的前多少项和最大，最大值为多少？ n y （2）试判断是否存在自然数 M，使当时，恒成立？若存在，求出Mn 1 n x 相应的 M，若不存在，请说明理由； （3）令，试判断数列的增减性？),13(log 1 Nnnxa nxn n n a 用心 爱心 专心 教育是我们一生的事业 解：（1）由已知得： nan xylog2 设等比数列xn的公比为 q(q1) 由得为等差数列，q x x axxyy a n n nanann log2log2)log(log2 1 11 n y 设公差为 d ，d=2；12,18 63 yyndnyyn224)3( 3 设前 k 项为最大，则 1211 0 0 1 k y y k k 0 12 y 前 11 项和前 12 项和为最大，其和为 132 (2)xn=a12-n,nN*；若 xn1，则 a12-n1 当时，n12，显然不成立 ；当1a1210na时， 存在 M=12，13，14，当时， Mn 1 n x (3)an= 12 11 loglog )1(1212 1 n n ax nn anxn 0 )12)(11( 1 12 11 11 10 1 nnn n n n aa nn 时数列an为递减数列 nn aa 1 13n 10. 已知函数且任意的、都有, 1) 2 1 (,) 1 , 1()(fxf上有意义在x) 1 , 1(y ). 1 ()()( xy yx fyfxf （1）若数列).(),( 1 2 , 2 1 * 2 11n n n nn xfNn x x xxx求满足 （2）求的值.) 2 1 () 13 1 () 11 1 () 5 1 (1 2 n f nn fff 用心 爱心 专心 教育是我们一生的事业 （1）. 2 1 1| 1 2 |21 1 2 2 x x x xx n n nn 又 1| 1 2 | 2 n n x x 1) 2 1 ()( 1 fxf 而).(2)()() 1 () 1 2 ()( 2 1nnn nn nn n n n xfxfxf xx xx f x x fxf 2 )( )( 1 n n xf xf 1 2)(,2,1)( n nn xfxf故为公比的等比数列以为首项是以 （2）由题设，有0)0(),0() 01 00 ()0()0( fffff故 又, 0)0() 1 ()()(),1 , 1( 2 f x xx fxfxfx有 得上为奇函数. 由) 1 , 1()(),()(在故知xfxfxf 1)2)(1( 1 13 1 2 kkkk )2)(1( 1 1 2 1 1 1 )2)(1( 1 1 )2)(1( 1 kk kk kk kk 得 ) 2 1 () 1 1 () 2 1 () 1 1 () 13 1 ( 2 k f k f k f k f kk f 于是 n k n f n ff kk f 1 2 ). 2 1 (1) 2 1 () 2 1 () 13 1 ( 故 . 0 ) 2 1 () 13 1 () 11 1 () 5 1 (1 2 n f nn fff 11. 已知数列的前项和 满足：数列 n an n S 1 1,S 1 21(), nn SSnN 的通项公式为 n b34(). n bnnN （I）求数列的通项公式； n a （II）试比较与的大小,并加以证明； n a n b 用心 爱心 专心 教育是我们一生的事业 （III）是否存在圆心在轴上的圆 C 及互不相等的正整数使得三点xnmk、， 落在圆 C 上?说明理由 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 (,),(,),(,) nnnmmmkkk A b aA baA b a 解：（I） 1 21(), nn SSnN 121 21,21(), nnnn SSSSnN 两式相减得2 分 2121 20,2(). nnnn aaaanN 又 11 1,aS 211221 231,2 .SSaaaa 即数列是首项为公比为的等比数列,其 11 1,2(), nn aaa nN n a1,2 通项公式是 4 分 1 ( 2)(). n n anN 另解一: 11 1,21(), nn SSSnN 即数列是首项为 11 1211 ,2()(), 3333 nn SSSnN 1 3 n S 公比为的等比数列,其通项公式 2 , 3 2 是2 分 1( 2) (). 33 n n SnN 当时, 2n 1 1 1 ( 2)1( 2)1 ( 2), 3333 nn n nnn aSS 又 4 分 1 1 1,( 2)(). n n aanN （II）(1) 112244 1,1;2,2;8,8.ababab 当时, 6 分1,2,4n . nn ab (2)当时, 21()nkkN 2 2121 ( 2)0,610,. k kknn abkab 7 分 (3)当时, 2 (,3)nk kNk 用心 爱心 专心 教育是我们一生的事业 2525 2142501 22 22(1 1)16()3264,64, kk kk kk aCCkbk 即 9 分2660180, nn abk. nn ab （III）不存在圆心在轴上的圆 C 及互不相等的正整数使得三点xnmk、， 落在圆 C 上 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 10 分 , nmk A AA 假设存在圆心在轴上的圆 C 及互不相等的正整数使得三点xnmk、， 即落在圆 C 上 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 , nmk A AA 11 (34, ( 2),(34, ( 2), nn nm AnAm 1 (34, ( 2) k k Ak 不妨设设圆 C 的方程为: 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 ,nmk 22 0 xyDxF 从而 21 924164(34)0 n nnnDF 21 924164(34)0 m mmmDF 21 924164(34)0 k kkkDF 由, 得 11 9()()24()(44)3()0 nm nm nmnmnm D 11 9()()24()(44)3()0 mk mk mkmkmk D 即 11 44 9()2430 nm nmD nm 11 44 9()2430 mk mkD mk 由得 1111 4444 9()0 nmmk nk nmmk 整理得 , 1 444 9()()()()()0 ()() kn km k nkmk nknm nm mknkmk 12 分 44 1,. n km k nmk nkmk 用心 爱心 专心 教育是我们一生的事业 作函数由 4 ( )(1), x f xx x 22 4 ln444 (ln4 1) ( )0 (1), xxx xx fxx xx 知函数是增函数 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4 ( )(1) x f xx x 产生矛盾 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 44 1,1, n km k nmknkmk nkmk 故不存在圆心在轴上的圆 C 及互不相等的正整数使得三点xnmk、， 落在圆 C 上 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 14 分 , nmk A AA 12. 数列满足：, nn ba*)(2,2 , 2 11 Nnnabnaaa nnnn （1）求数列的通项公式； n b （2）设数列的前 n 项和分别为 An、Bn，问是否存在实数，使得, nn ba 为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。 n BA nn 解：（1）由1 分2, 2nbanab nnnn 得 ,2 1 naa nn 4 分 nnnn bbnbnb 2 1 , 222) 1( 2 11 即 是首项为是等比数列。 n b 2 1 , 31 11 公比为 abn 故6 分 1 ) 2 1 (3 n n b （2）, 2nba nn 8 分 2 )3( nn BA nn 又), 2 1 1 (6 2 1 1 ) 2 1 1 (3 n n n B 用心 爱心 专心 教育是我们一生的事业 n nn B n BA n nn2 )3( )1 ( 10 分 n n n ) 2 1 1)(1 (6 2 3 故当且仅当为等差数列12 分 ,1 n BA nn 时 13. 已知函数满足，；且) 1 ,)( a xRxxf( )2( )ax f xbxf x0a1) 1 (f 使成立的实数只有一个。xxf2)(x