高中数学：让数学课展开思维的翅膀

让数学课展开思维的翅膀 浅谈一题多解在数学教学中的作用学科：数学单位：大港区第八中学 姓名：施航宇让数学课展开思维的翅膀 浅谈一题多解在数学教学中的作用摘要：在数学教学过程当中，适当的一题多解，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和创造性，从而培养学生的思维品质及思维能力。前苏联学者茹科夫斯基指出：“数学里有诗画那样美的境界”。如果让每一位学生如观赏风景般地来学习数学，当然就其乐无穷，兴趣盎然。但传统的定势思维却在很大程度上禁锢了学生思维空间的拓展。让数学失去了生动性，增添了枯燥性。而注重思维多元化，提倡一题多解就可以克服此弊端，它可以有效地磨砺学生的思维，给他们自由思考的空间，在探索中提高思维的能力。下面就本人在教学中的体会谈谈“一题多解”在数学教学中的作用。 首先，一题多解有利于培养学生思维的广阔性。 思维的广阔性是指思维活动发挥作用的广阔程度，教学中，通过一题多解的练习，可使学生养成以不同的角度观察、思考，用不同的方法和观点去解决同一数学问题的习惯，从而扩充思维的领域，增加思维机遇，学生不满足已有方法而寻找新方法，这有利于沟通知识间的联系，培养学生思维的广阔性。 例1：求函数的值域。思路一：利用三角函数的有界性的方法由，得：。，解之得：。即所求函数的值域为： 思路二：分离变量的方法由，得：，。即所求函数的值域为：思路三：利用导函数的方法先证明函数在上是减函数。故：，即：。所求函数的值域为：由前三种解题方法中，通过以题带面复习了“函数的定义域、值域、性质”、“三角函数的有界性”等知识，加深了知识间的沟通，同时培养了学生解题的转化策略，体现了函数与方程的思想在数学中的作用。接着引导学生运用转化及数形结合的思想方法解题。思路四：与解析几何建立联系，结合斜率公式，由则可看成是由定点与动点连线的斜率。显然，点在线段上，如图1所示，可得：。即所求函数的值域为：类似解法：可由,则可看成是动点与原点连线的斜率。而点在线段上，故由图2可得：，即所求函数的值域为： 通过一题多解，既能促使学生沟通知识点间的联系，又培养了学生的思维能力，从中学到了“转化策略、数形结合、函数与方程”等基本的数学思想。同时也让学生通过对比、小结，得出自己的体会，充分发掘自身的潜能，从而提高自己的解题能力，这不仅引导学生多方法，多视角思考问题和发现问题，形成良好的思维品质，而且使学生感受到成功的喜悦和增强自信心，也极大地激发学生学习数学的积极性和浓厚的兴趣，从而在很大程度上培养了学生思维的广阔性。其次，一题多解有利于培养学生思维的灵活性和深刻性思维的灵活性的指智力活动的灵活程度。思维灵活性的培养在解题教学中，主要表现为一题多解。即善于根据题设中的具体情况，及时地提出新的设想和解题方案，不固执己见，不拘泥于陈旧的方案。而思维的深刻性是指在灵活性的基础上，深刻领会解题的实质，掌握其一般规律。例2：（2008年高考数学全国卷，文、理第10题）：若直线 通过点M（cos,sin）,则（ ）A B C D 本题考查直线和圆的位置关系、三角函数的变换和不等式的性质，重在考查学生思维的灵活性与深刻性，从不同的知识入手将得到不同的解题途径。思路一：静态观点，从三角函数的角度切入。由已知，得，即asin+bcos=ab,联想三角函数中的辅助角公式，有：思路二：动态的观点，从运动变化的角度切入。，点M（cos,sin）在圆上，直线过点M意味着直线和圆有公共点，即，所以。思路三：从基本不等式的角度切入思路四：从平面向量角度切入。令 m= n= 则 mn=由向量数量积运算性质知mn，又=，=1，所以，1，即四种解法分别从四个角度切入，各有优缺点，思路一、思路三要求学生要看到点M（cos,sin）与三角函数的关系，并且熟练掌握辅助角公式和同角三角函数的基本关系式。思路二同样从点M（cos,sin）入手，把静止的点看成单位圆上的动点，从而使问题得到转化，只需考查直线与圆的位置关系即可，运算量较小，同时也突出了知识间的横向联系。思路四是在前三个思路基础上的一个升华，要求学生灵活运用所求的知识，能过挖掘知识之间的横向联系，把握不等关系的本质，并在此基础上机动的思考问题，深化认识层次。最后，一题多解有利于培养学生的创新思维利用一题多解，训练发散思维。教学中注重发散思维的训练，不仅可以使学生的解题思路开阔，妙法顿生，而且对于培养学生成为勇于探索新方法、新理论的创新人才具有重要意义。一题多解是训练创新思维的好素材，通过一题多解，引导学生就不同的角度、不同的方位、不同的观点分析思考同一问题，从而扩充思维的机遇，使学生不满足固有的方法，而求新法。 例3：已知为等差数列，其前10项的和S=100，前100项的和S=10。求前110项的和S。思路一：利用方程思想(常规解法)，要求等差数列的和可先求首项及公差，设数列的首项为，公差为，则。思路二：函数思想（待定系数法）数列，思路三：利用性质（简化运算），。利用思路二（函数思想）解此题还可以推广此题目，使特殊结论一般化即：在等差数列中，为的前n项的和，p,qN* 且，若。通过此题采用多种解法及题目的推广不但激发了学生的创新思维，也培养学生的创造性思维；使学生能够全面发展成为拥有良好的创新思维品质和勇于探索精神的高素质人才。总之，在一题多解的拓展中，学生可以看到不同知识块间的相关性（有利于形成知识链），还可以看到不同人思维的差异（从别人的思维中获得启迪），还可以让学生看到建立在独立思考基础上的合作交流意义重大。在一题多解的课堂中，学生们的情感体验也在变化：或感叹于我怎么没想到，或惊叹于数学的神奇，或陶醉于心里的积极暗示-下一次我也要多想想，多试试。这样不仅激发出学生的智慧，也正是数学一题多解的魅力所在。教师只需努力去营造一个接纳的、支持性的、宽容的课堂