高二数学二项式定理第三课时

高二数学二项式定理(第三课时)一 教学目标：掌握二项展开式中的二项式系数的三条性质及有关推导方法，并能简单应用。 二 教学重点：二项式系数的三条性质及有关推导方法三 教学难点：二项式系数的三条性质及简单应用四 教学方法：启发式五 数学过程I. 复习回顾在杨辉的详解九章算术中载有一个“开方作法本源”图。如图所示，就是“杨辉三角”。那么这个图是如何得来的？它表达的是什么？这节课我们就来共同探讨这个问题！. 讲授新课上节课我们已经知道在二项式定理 中， 叫做二项式系数。它们是一组仅与二项式的次数n有关的n1 个组合数，而与a、b无关，值得注意的是它们与展开式中的“系数”是有区别的。1“杨辉三角”的来历及规律 展开式中的二项式系数，当 时，如下表所示： 这个表叫做二项式系数表，也称“杨辉三角”。由学生观察这个表的规律，表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。当n不大时，可以根据这个表来求二项式系数。 展开式的二项式系数依次是: 从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是: 0,1,2,3, , n2二项式系数的性质1）对称性与首末两端“等距离”的两项二项式系数相等。这一性质可直接由公式 得到。2）增减性与最大值由于 所以 相对于 的增减情况由 决定。由 。可知，当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。因此，当n为偶数时，中间一项即T(n+2)/2的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项即T(n+1)/2， T(n+3)/2，的二项式系数 、 相等，且同时取得最大值。3）各二项式系数的和在二项式定理中，令a=b=1，则 。这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于 。同时由于 ，上式还可以写成。这是组合总数公式，表示在n个不同元素里，每次取1个、2个、n个元素的所有组合数的和或表示n个元素的集合的所有子集的个数。3例题分析例1 证明在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。证明：在展开式中，令 ，得。就是 即在 的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数的和。例2 已知 的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x的一次项。解：依题意 整理得 n=8 设展开式中含x的项是第r+1 项，则 解得 故展开式中含x的项为第3项，即 。. 课堂练习1已知 的展开式中的系数和比 的展开式中的二项式系数和大240，求 的展开式中的第3项。（“二项式数”与“系数”的区别是什么？）2在二项式 的展开式中，求系数最小的项的系数。3求 的展开式中系数最大的是第几项？（系数最大的项是不是中间一项）4设： 。求： 的值。（“取特值”法）【参考答案】1解：依题意有 解得n=4 于是 的展开式中的第3项是 2解：因为在 的展开式中，各项的二项式系数与项的系数相等或互为相反数，又展开式中二项式系数最大的项有两项，分别为第六项 、第七项 ，所以系数最小的项的系数为 3解：设展开式中第 项的系数最大，则 即 整理得 解得 故第18项的系数最大。4解：在 令 ，得 令 ，得 两式相乘得 。IV. 课时小结二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要