高二数学双曲线的定义、标准方程及几何性质知识精讲文人教实验B选修11

1 高二数学高二数学双曲线的定义、标准方程及几何性质知识精讲双曲线的定义、标准方程及几何性质知识精讲 文文 新新人教人教 实验实验 B B 版版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 双曲线的定义、标准方程及几何性质 二、本周学习目标 掌握双曲线的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求双曲线方程，掌握双曲 线的几何性质，了解双曲线的初步应用。了解双曲线的参数方程，能根据方程讨论曲线的 性质，掌握直线与双曲线位置关系的判断方法，能够正确熟练地解决直线和双曲线的位置 关系的一些问题。 三、考点分析 （一）双曲线的定义 1、第一定义：双曲线的定义：平面内与两定点 F1，F2距离的差的绝对值等于定长 2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线，即|PF1|PF2|2a（2a|F1F2|。 此定义中， “绝对值”与 2a|F1F2|，不可忽视。若 2a|F1F2|，则轨迹是以 F1，F 2为端点的两条射线，若 2a|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表 示双曲线的一支。 2、第二定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e（e1）的动点 的轨迹叫双曲线。定点 F 叫双曲线的焦点，定直线 l 叫做双曲线的准线。e 叫双曲线的离心 率。 双曲线有两个焦点，两条准线。该定义中的焦点和准线具有“对应性” ，即左焦点对应 左准线，右焦点对应右准线。 （二）双曲线的标准方程及几何性质 1、标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的双曲线方程 中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上 标准方程 22 22 1(0,0) xy ab ab 22 22 1(0,0) yx ab ab 图 形 顶 点 )0 ,(),0 ,( 21 aAaA ), 0(), 0( 21 aBaB 对称轴x轴，y轴；虚轴为b2，实轴为a2 焦 点 ) 0 , (),0 ,( 21 cFcF ), 0(), 0( 21 cFcF 焦 距)0(2| 21 ccFF 222 bac x O F1 P B2 B1 F2 x O F1F2 P y A2 A1 y 2 离心率 ) 1( e a c e（离心率越大，开口越大） 准 线 c a x 2 c a y 2 渐近线 x a b yx b a y 通 径ep a b 2 2 2 （p为焦准距） 焦半径 P在左支 02 01 | | exaPF exaPF P在右支 02 01 | | exaPF exaPF P在下支 02 01 | | eyaPF eyaPF P在上支 02 01 | | eyaPF eyaPF 焦准距 c b c a cp 22 2、判断椭圆方程中焦点位置的不同，是通过比较 x 2 ，y 2 系数的大小，而双曲线是看 x 2 ，y 2 的系数的正负号，焦点在系数为正的坐标轴上，简称为“焦点在轴看正号” 3、双曲线的参数方程： 中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线 22 22 1 xy ab 的参数方程为： sec tan xa yb （为参数）： 4、共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。 2 2 2 2 b y a x 1 与 22 22 yx ba 1 互为共轭双曲线，其性质如下： （1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线 2 2 2 2 b y a x 0。 （2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距。 （3）与 2 2 2 2 b y a x 1 具有相同渐近线的双曲线系方程为 2 2 2 2 b y a x k（k0） 5、如果双曲线的渐近线为0 b y a x 时，它的双曲线方程可设为)0( 2 2 2 2 b y a x . 6、等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离 心率2e。 7、与椭圆类似，对于双曲线的焦点三角形有：（1） 21 2 2 1arccos rr b （2） 2 cotsin 2 1 2 21 brrS 8、弦长公式：（1）过焦点的弦长：|AB|e（x1x2）|， （2）一般的弦长公式：类似 于椭圆，x1，x2分别为弦 PQ 的横坐标，弦 PQ 所在的直线方程为 ykxb，代入双曲线 方程整理得 Ax 2 BxC0，则PQ A ACB kxxk 2 11 2 2 21 2 ，若 3 y1，y2分别为弦 PQ 的纵坐标，则PQ 21 2 1 1yy k ， 9、双曲线： 2 2 2 2 b y a x 1 按a（x0，y0）平移得1 )()( 2 2 0 2 2 0 b yy a xx （它的中 心、对称轴、焦点、准线方程都按a（x0，y0）作了相应的平移。 ） 10、过双曲线 2 2 2 2 b y a x 1 上一点 P（x0，y0）的切线方程是1 2 0 2 0 b yy a xx （与椭圆 类似） 11、斜率为 k 的弦的中点轨迹方程：设弦 PQ 的端点 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，中点 M（x0，y0） ，把 P，Q 的坐标代入椭圆方程后作差相减用中点公式和斜率公式可得 22 b ky a x 0（当|k| a b 时，P，Q 各在一支上，此时 M 的轨迹为两条不含端点的射线，当 |k| a b 时，P，Q 在同一支上，此时 M 的轨迹为过原点的直线。 12、以 P（x0，y0）为中点的弦 AB 的端点为 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，其所在直线 的斜率 k 0 2 0 2 ya xb ，直线 AB 的方程为：yy0 0 2 0 2 ya xb （xx0）. AB 的中垂线方程为 yy0 0 2 0 2 xb ya （xx0） 【典型例题典型例题】 例 1. 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程： （3）双曲线 C 的右焦点为（2，0） ，右顶点为)0 , 3( （4）与双曲线 x22y22 有共同的渐近线，且经过点（2，2） （5）过点 P（2，1） ，渐近线方程是 y3x 解：解：（1）设双曲线方程为 mx2ny21， 4 于是， 设所求双曲线方程为 22 1 9 xy kk 或 22 1 9 yx kk 说明：说明：本例解法是待定系数法：（1）中设法叫“统设” ，由此可知，统设方程 mx2ny21 可以代表椭圆、双曲线这两种标准方程；（2）中设法叫“分设” ，因由离心 率的条件不能区分实轴在 x 轴上还是在 y 轴上，故分别设出两种方程 （3）设双曲线方程为 22 22 1 xy ab ).0, 0(ba 由已知得. 1,2, 2, 3 2222 bbaca得再由 故双曲线 C 的方程为 . 1 3 2 2 y x （4）设所求双曲线方程为 x22y2k，又由过点（2，2） ，代入，得 k222（2）24 故所求双曲线方程为 x22y24，即 2y2x24 说明：说明：容易证明， 因此，如果已知上述各种形式的渐近线方程，则可统设双曲线方程为 22 22 xy k ab ， 其中 k 的符号调节实轴位置，k调节轴长。 （5）分析：首先要确定所求双曲线的标准类型，可在图中判断一下点 P（2，1）在 渐近线 y3x 的上方还是下方？如图所示，x2 与 y3x 交点为 Q（2，6） ， P（2，1）在 Q（2，6）的上方，所以焦点在 x 轴上 5 方法一：方法一：设双曲线方程为1 2 2 2 2 b y a x 依题意，得 1 14 3 22 ba a b 解得 35 9 35 2 b a 所求双曲线方程为1 35 9 35 22 yx 方法二：方法二：由渐近线方程 3xy0，可设所求双曲线方程为 2 2 9 1 y x （0） （*） 将点 P（2，1）的坐标代入（*） ，得35 所求的双曲线方程为1 35 9 35 22 yx 例 2. 直线 L：1yax与曲线 22 31xy有两个不同的交点， （1）求 a 的取值范围 （2）设交点为 A，B，若以 AB 为直径的圆恰过原点，求 a 的值。 解：解：（1）由方程组 22 31 1 xy yax 可得 22 (3)220axax， 依题意，方程有两个实根，则 2 30 0 a 即 2 22 3 ( 2 )4(3)( 2)0 a aa 解得663aa 且 6 故所求 a 的范围是(6,3)(3, 3)( 3, 6) （2）设 A（ 11 ,x y） ，B（ 22 ,xy） ， 由题意可得 OAOB（O 是坐标原点） ， 则有 1212 0 x xy y 而 1212 (1)(1)y yaxax 2 1212 () 1a x xa xx 2 12121212 (1)() 10 x xy yax xa xx ， 由（1）可知 1212 22 22 , 33 a xxx x aa 代入上式可得01 a3 a2 a a3 2 ) 1a ( 22 2 解得1a ，且满足（1）的条件， 故所求 a 的值为1。 反思：反思：直线和曲线的交点问题即是由它们组成的方程组的解的问题，而方程组的解往 往转化为一元二次方程的解，因此讨论一元二次方程的根的方法要非常熟练。其基本步骤 应为：观察二次项系数，看是否需要讨论；分析判别式，看是否有根；应用韦达定 理，虽不解方程却能观察根的情况。解题时要始终遵循以上原则，养成良好的思维习惯， 为后面解决直线与圆锥曲线位置关系的问题打下坚实的基础，同时要逐步培养对含字母的 解析式的运算能力。 例 3. 设双曲线的顶点是椭圆 22 1 34 xy 的焦点，该双曲线又与直线 15360 xy交于两点 A，B，且 OAOB（O 为坐标原点） （1）求此双曲线的方程； （2）求|AB| 解：解：（1）已知椭圆的焦点为（0，1） ，即是双曲线的顶点，因此设双曲线方程为 y2 mx21（m0） ， A（x1，y1） 、B（x2，y2）的坐标是方程组、的两个解由、消去常数项，得 7 （2）设 AB 的中点为 M（x0，y0） ，则在 RtABO 中，可知所求|AB|2|OM| 22 22 12 12 1,1 33 xx yy把 两式相减，得 3 1 xx yy xx yy 21 21 21 21 即得 3 1 y2 x2 3 15 0 0 说明：说明：本题的常规解法是“根系关系法” ，即由方程组、，消去 y 得到 x 的二次 方程，由根与系数的关系得到 1212 xxx x和，再解 OAOB 1212 0 x xy y，即可解 决问题（1） ；再由弦长公式求得AB.但计算量较大，因此我们给出了上面的解法：在 （1）中构造了以 KOA、KOB为二根的二次方程，轻巧地求得了待定系数 m；在（2）中 用了“斜率关系法” （即 3 1 xx yy xx yy 21 21 21 21 ） ，也省去了麻烦的计算 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：65 分钟） 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 1. 离心率为2是双曲线为等轴双曲线的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 2. 过原点的直线l与双曲线 xy 22 43 1 交于两点，则直线l的斜率的取值范围是（ ） A. 3 2 3 2 ，B. () ， 3 2 3 2 C. 3 3 3 3 ，D. ( ) ， 3 2 3 2 3. 若双曲线的两条渐近线是yx 3 2 ，焦点FF 12 260260()()，则它的两 条准线间的距离是（ ） A. 8 13 26B. 4 13 26C. 18 13 26D. 9 13 26 4. 若双曲线 x a y b 2 2 2 2 1的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率是（ 8 ） A. 2B. 3C. 4 3 D. 5 3 5. 过（1，2）点与曲线49836680 22 xyxy只有一个公共点的直线（ ） A. 不存在B. 有两条C. 有三条D. 有四条 6. 若双曲线 xy 22 6436 1上一点P到它的左焦点的距离是 24，则P到右准线的距离是 （ ） A. 32 或 96 5 B. 32 或 32 5 C. 32 5 D. 32 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 7. 设双曲线 x a y b ab 2 2 2 2 10()的半焦距为c，直线l过()()ab，、，00两点， 已知原点到直线l的距离为 3 4 c，则双曲线的离心率为_。 8. 双曲线 xy 22 169 1上有点PFF，、 12是双曲线的焦点，且 F PF 12 3 ，则 PF F 12面积为_。 9. 双曲线 x a y b 2 2 2 2 1的离心率为3 12 ，、FF为焦点，P在双曲线上，且PF F 12的 面积为4 3，又F PF 12 60，则双曲线的方程是_。 10. 已知双曲线的离心率为 2，FF 12 、为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且 F PF 12 3 ，F PF 12的面积为12 3，则焦点在x轴上的双曲线的标准方程为 _。 三、解答题（本大题共 4 题，共 50 分） 11. 已知双曲线的对称轴平行于坐标轴，渐近线为()()28 240 xyxy，一条 准线为x 3 5 5 ，求双曲线方程。 （12 分） 12. 双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且过点 P（3，2） ，过左焦点且斜率为 3 4 的 直线交两条准线于 M、N，以 MN 为直径的圆过原点，求双曲线的方程。 （13 分） 13. 已知双曲线 C 的一个焦点在原点，与该焦点相应的准线方程为x 1，直线 l 与双曲 线 C 交于PP 12 、两点，且P P 12 2 2，又线段P P 12的中垂线的方程为x y 0，求双 曲线 C 的方程.（12 分） 14. 已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上过双曲线的右焦点且斜率为 3 5 的 直线交双曲线于 P，Q 两点，若 OPOQ 且PQ4，求双曲线的方程。 （13 分） 9 【试题答案试题答案】 1. C 2. B提示：焦点在y轴上，渐近线斜率为 3 2 3. A 提示：渐近线 xy 23 1 设双曲线 xy 22 49 ，ab 22 49， cab 222 1326 2 两准线间距离d a c 2 2 42 26 8 13 26 2 4. D提示：由2bac得 42 222 baacc 即3250 22 caca 3250 5 3 2 ee e 5. A 提示：方程化为 ()()xy 1 9 2 4 1 22 画出图形发现不存在符合条件的直线 6. B 提示：焦半径公式： i）当P在右半支时，|PFexa 1 由24 5 4 8 64 5 xx 则P到右准线的距离d a c 64 5 32 5 2 ii）当P在左半支时，|PFaexxx 1 248 5 4 128 5 所求d a c 2 128 5 32() 7. 2 提示：lbxayab ab ba c：， 0 3 4 22 又abc 222 43 163 1613 2 2224 24 abc acac ee () () e24 4 3 或 10 又e b a 22 12( ) 故ee 2 42 8. 9 3 提示： 100 3 cos|2| 8| 21 2 2 2 1 21 PFPFPFPF PFPF | | sin PFPF SPFPF 12 12 36 1 23 9 3 9. xy 22 24 1 提示：由 b a ca a e 2 2 22 2 2 1 则ba 22 2 故双曲线方程 x a y a 2 2 2 2 2 1 又由Sb F PF PF F 12 212 2 cot 即2304 3 2 a cot ab 22 24， 10. xy 22 412 1 11. 解：由 280 240 xy xy 得交点（3，2） 即为双曲线的中心 渐近线方程化为4320 22 ()()xy 故可设双曲线方程为4320 22 ()()()xy 即 ()()xy 3 4 2 1 22 abc 22 4 5 4 准线方程为x 3 4 5 4 由此得 4 双曲线方程为() () x y 3 2 4 1 2 2 11