高三数学第一轮复习：椭圆人教知识精讲

高三数学第一轮复习：椭圆人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：椭圆二. 本周教学重难点：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程，了解椭圆的初步应用。【典型例题】例1 已知A、B是椭圆上的点，是右焦点且，AB的中点N到左准线的距离等于，求此椭圆方程。解：如图，设为左焦点，连结、，则根据椭圆定义有再设A、B、N三点到左准线距离分别为、由梯形中位线定理，有而已知 得离心率 ， ，则椭圆方程为例2 设椭圆的两焦点为、，若在椭圆上存在一点P，使，求椭圆的离心率的取值范围。解：方法一：如图所示，设、则， 即据题意，知P点在椭圆上，但不在x轴上 于是，即 方法二：设 又O为的中点 即 方法三： P点在以为直径的圆上，又P点在椭圆上 圆与椭圆有公共点由图知，即 例3 已知A、B、D三点不在一条直线上，且，（1）求E点的轨迹方程；（2）过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线MN与E点的轨迹相切，求椭圆的方程。解：（1） E为BD中点，设E（x，y），则 ，即又 A、B、D三点不共线 故E点的轨迹方程为（2）依题设，直线MN与圆相切，设切点为Q，坐标原点为O，则为直角三角形。 根据对称性，不妨设，则直线的方程为 线段MN的中点到y轴的距离为 中点坐标为（） 由整理后得 又 故所求椭圆方程为例4 已知常数，在矩形ABCD中，AB=4，BC=，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE和OF的交点，如图，问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。解：按题意有设由此有直线OF的方程为 直线GE的方程为 从消去参数，得点P（x，y）坐标满足方程整理得当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点当时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值当时，点P到椭圆两个焦点（0，），（0，）的距离之和为定值。例5 如图在直角梯形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=，曲线DE上任一点到A、B两点距离之和都相等。（1）适当建立坐标系，求曲线DE的方程；（2）过C点能否作一条与曲线DE相交且以C为中点的弦？如果不能，请说明理由，如果能，请求出弦所在直线的方程。解：（1）取AB的中点O为原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，由题意曲线DE为一段椭圆弧，得， 曲线DE的方程为（2）方法一：C点坐标为C（）设存在直线与曲线ED交于点M（），N（）， ， 直线的方程为 即将直线方程代入曲线DE的方程，得解得，M（），N（）（M，N在曲线上） 存在直线，其方程为方法二：取曲线DE与y轴的交点M（0，）和与x轴的交点N（4，0），显然C（2，）为M，N的中点，所以弦MN即为所求，其所在直线方程为，即例6 已知椭圆（）与直线相交于A，B两点，椭圆离心率为。（1）当椭圆的右准线为时，求AB的长度及AB中点的坐标；（2）当，并且时，求椭圆长轴长的取值范围。解：（1）设A（）B（）由已知得，解得 椭圆方程为由 ， 由得AB中点横坐标为，代入直线方程得AB中点的纵坐标为，即AB中点坐标为（）（2）由消去y得 即（*）此时， 由，得又 将代入：由得代入上式整理得由已知得 满足（*）条件 例7 如图，已知椭圆的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线与x轴的交点为M，。（1）求椭圆的方程；（2）点P在直线上运动，求的最大值。解：（1）设椭圆方程为半焦距为，则，由题意得 （2）设P（），则直线的斜率则直线的斜率 为锐角 当，即时，取到最大值此时最大 的最大值为【模拟试题】一. 选择题1. 已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长到Q，使得，那么动点Q的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线2. 若方程表示准线平行于x轴的椭圆，则m的范围是（ ） A. B. m C. 且 D. 且3. 已知，动点P满足（且为常数），则P点的轨迹是（ ）A. 以F1、F2为焦点的椭圆B. 线段C. 不存在D. 以上情况均有可能4. 曲线与曲线（）的（ ）A. 焦点相同B. 离心率相同C. 长轴与实轴相等D. 以上说法都不对5. 椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则等于（ ） A. B. C. D. 46. 已知椭圆的面积为。现有一个椭圆，其中心在坐标原点，一个焦点坐标为（4，0），且长轴长与短轴长的差为2，则该椭圆的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 设P（x，y）是曲线上的点，F1（）、F2（4，0），则（ ）A. B. C. D. 8. 点P（）在椭圆的左准线上，过点P且方向为的光线经直线反射后通过椭圆的左焦点，则此椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 二. 解答题：1. 已知P是椭圆上一点，F（2，0）、A（），求的最小值，并求此时点P的坐标。2. 在直线：上任取一点M，过M作以、为焦点的椭圆，当M在什么位置时，所作椭圆长轴最短？并求此时椭圆方程。3.（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（）的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆C的方程是。设斜率为的直线，交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M。证明当直线平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上。试题答案一.1. A解析：由第一定义，得为定值。 ， 为定值，即为定值。故选A。2. D 解析：由条件得 解之，得 故选D。3. A解析： 而 由椭圆的定义可知动点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆。故选A4. A 解析：由题设知曲线为焦点在x轴上的椭圆，其焦距为8，曲线（）为焦点在x轴上的双曲线，即焦距也为8，故选A。5. C解析：设椭圆的右焦点为F1，左焦点为F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P设P（），代入，得 ，由，得6. D解析：由椭圆的定义，得，则，得到所以，所以选D。7. C 解：曲线整理为表示由椭圆的顶点组成的菱形，由数形结合知8. A解析：P关于的对称点为由题意知的方向向量为（2，5） 又P在准线上 故选A二.1. 解：由椭圆方程，可知， 由椭圆定义（是P点到椭圆右准线的距离） ，故过点A作AH，垂足为H，则易知AH即为所求此时，2. 解：关于直线的对称点为F（），连结交于点M，此点即为所求。直线的方程为，即解方程组得故点M的坐标为（）此时椭圆长轴长所以