高二数学充分条件必要条件与命题的四种形式知识精讲人教实验B

高二数学充分条件 必要条件与命题的四种形式知识精讲一. 本周教学内容： 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式二. 教学目的1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，弄清命题的条件和结论的联系，从而正确的判定其充分性、必要性和充要性。2、会分析四种命题之间的相互关系，根据原命题写出其它三种形式的命题。三. 教学重点、难点1、重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的定义，会分析四种命题之间的关系。2、难点：对充分条件、必要条件与充要条件的判定，正确的写出原命题的否命题。 四. 知识分析（一）推出与充分条件、必要条件1、命题的条件与结论：在数学中，我们经常碰到“如果（若）p，则（那么）q”形式的命题，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论。例如，命题“如果，那么”，其中“”是命题的条件，“”是命题的结论；再比如“平行于同一条直线的两条直线平行”，它的条件是什么呢？我们可以把它写成“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行”，条件就是“两条直线平行于同一条直线”，结论就是“这两条直线平行”。 2、推出与充分条件、必要条件：（1）当命题“如果p，则q”经过推理断定是真命题，那么我们就说由p可以推出q，记作。（2）如果，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件。所以下面几种说法：“如果p，则q”、“”、“p是q的充分条件”、“q是p的必要条件”表达的是同一个逻辑关系。下面我们看几个例子： 如果那么；在， 那么； 若成等差数列，那么。由于上述命题都是真命题，所以“是”，“是”，“成等差数列是”的充分条件，而“是”，“是”，“是成等差数列”的必要条件。（3）充要条件：如果，且，则称是的充分且必要条件，简称是的充要条件，记作。注意：显然也是的充要条件；是的充要条件，又常说成当且仅当，或与等价。例如，在命题“如果那么”中，反之，所以，也就是说是的充要条件。3、在判定命题的条件时，有时还涉及到充分不必要条件、必要不充分条件，下面给出它的概念 ：（1）若，但推不出，则称是的充分不必要条件；（2）若，但推不出，则称是的必要不充分条件。例如命题：若，那么中，但是推不出成立，因为还有可能，所以是的充分不必要条件。4、从集合的角度去理解充分条件、必要条件和充要条件： 设集合（1）若，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；（2）若，则是的必要条件；（3）若，则是的充要条件。例如：若，则。因为，所以是的充分条件，而是的必要条件。（二）命题的四种形式： 1、定义：原命题：如果p，则q， 逆命题：如果q，则p，（条件和结论换位，“换位”） 否命题：如果，则（分别否定条件和结论，“换质”） 逆否命题：如果，则（条件和结论换位后再分别否定，“换位又换质”）例如命题“如果，则”，我们把它当作原命题，那么它的逆命题就是“如果，那么”，否命题是“如果，那么”，逆否命题是“如果，那么”。2、四种命题的关系图3、四种命题的真假关系：（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真（2）原命题为真，它的否命题不一定为真（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真由上述归纳可知：两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等效的，若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。 【典型例题】例1. 把下列命题写成“如果，则”的形式，并判断其真假（1）实数的平方是非负数；（2）等底等高的两个三角形全等。解析：（1）原命题可以写成“如果一个数是实数，则它的平方是非负数”，是真命题； （2）原命题可以写成“如果两个三角形等底等高，则两个三角形全等”，假命题。点评：把一个命题改写成“如果，则”的形式，对判断充分或必要条件及写命题的四种形式是很重要的，改写时一定要抓住命题主要的思想内容，分清哪是条件，哪是结论。例2. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题。（1）偶函数的图像关于y轴对称；（2）方程有实根。解析：（1）先把命题改写成“如果函数是偶函数，则图像关于轴对称”， 逆命题：如果图像关于轴对称，则函数是偶函数； 否命题：如果函数不是偶函数，则图像不关于轴对称； 逆否命题：如果图像不关于轴对称，则函数不是偶函数。 （2）先把命题改成“如果，则方程有根”， 逆命题：如果方程有根，则；否命题：如果不是任意实数，则方程无根；逆否命题：如果方程无根，则不是任意实数。 点评：为了便于写出各种形式的命题，现将命题改写成“如果，则”的形式。例3. 如果向量与向量都是非零向量，那么“”是 “”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 解析：，故选（C）点评：此题根据向量的有关知识，结合充分、必要条件的定义来进行判断。例4. 判断命题“如果则有实根”的逆否命题的真假。解析：解法一、原命题的逆否命题为“如果无实根，那么”，因为无实根，所以，即 ，所以原命题的逆否命题为真； 解法二、因为所以，方程有实根，所以原命题真，又原命题与其逆否命题等价，所以它的逆否命题也为真命题。点评：利用原命题和逆否命题的等价性，判断命题的真假是常用的方法。特别是一个命题的真假不易判断时，可以转为判断其逆否命题的真假。例5. 求证：关于x的方程有一根为-1的充要条件为。解析：（1）先证必要性 因为方程有一个根为-1，所以适合方程，即 ，也就是； （2）再证充分性 如果 ，所以，即适合方程，因此方程有一个根为1，综上所述，命题得证。点评：证明充要条件问题，关键是弄清条件和结论之间的关系，分两步证明，即分别证充分性（由条件推出结论），和必要性（由结论推出条件）。例6. 已知，求m的取值范围，使为的必要条件。解析：记，要使为的必要条件，只要 ， （1）当时，满足 （2）当时，要使，则要满足 即可，解得综合（1）、（2）知，当时，为的必要条件点评：此类型的题目根据两个条件的关系，利用集合的观点来进行判断。例7. 若集合中至少有一个元素，则应满足什么条件？解析：若则方程无解，故不能同时为零； 若，则方程可以变为有一个实根； 若，则方程有实根，须满足 综上所述，A中至少有一个元素，满足的条件是，或点评：此题实际上是求方程有实根的充要条件，解题时应注意分类讨论。例8. 已知，求证：中至少有一个不小于1。证明：假设均小于1，则 又 ，显然矛盾，所以中至少有一个不小1。点评：此题直接证明难度较大，所以考虑反证法即证明其非为假命题较为简单。一、选择题：1、与命题“如果，则”等价的命题是 （ ）A、如果，则 B、如果，则 C、如果，则 D、如果，则2、不等式成立的一个必要不充分条件 （ ）A、 B、 C、或 D、或 3、命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的 （ ） A、逆命题 B、否命题 C、逆否命题 D、以上均不对 4、“”是 “”的 （ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 5、若是实数，那么的充要条件是 （ ） A、都不是0 B、中最多有一个是0 C、中只有一个是0 D、中至少有一个是06、函数是单调函数的充要条件是 （ ）A、 B、 C、 D、二、填空题： 7、“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为_。 8、若是的充分不必要条件，则A是的_。 9、“”是“”的_条件。 10、下列四个命题：命题“如果，则互为倒数”的逆命题；命题“面积相等的三角形全等”；命题“如果则方程有实根”的逆否命题；命题“如果则”的逆否命题；其中是真命题的是_。三、解答题： 11、写出命题“如果不等式的解集为R,则”的逆命题、否命题、逆否命题。 12、数列的前项和是数列成等差数列的什么条件？试证明。参考答案http:/www.DearEDU.com一、1、C 2、D 3、A 4、A 5、D 6、A二、7、28、必要不充分条件9、既不充分也不必要条件10、三、