高三数学立体几何的难点突破3常见的补形法

ABEDC几种常见的补形法1 四面体的补形法【例1】 在四面体ABCD中，设AB = 1，CD =，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体的体积等于_ 【解析】 法1：如图，将四面体ABCD补成四棱锥A BDCE，且BECD，BE = CD，则ABE =或，BE =，CD面ABE，CD与AB的距离即为CD到平面ABE的距离，亦即C到平面ABE的距离就是三棱锥C ABE的高h = 2，VA BCD = VA BEC = VC ABE =SABE =.ABFECD法2：如图，把四面体ABCD补成三棱柱ABE FCD，则面ABE面CDF，ABCF，且CF = 1，则AB与CD的距离就是平面ABE与平面FCD的距离，即三棱柱的高h = 2，且DCF =或.V柱 = SFCD h =，CDBA故四面体的体积为.法3：如图，把四面体ABCD补成平行六面体，则四面体的体积是平行六面体体积的,V平行六面体 = S底 h =，故四面体的体积为.【评注】三棱锥补成四棱锥、三棱柱或正方体可以简化求体积，本题将两异面的直线段构成的四面体用三种不同的补形探究出. 结论：在四面体ABCD中，设AB = a，CD = b，直线AB与CD的距离为h，夹角为，则四面体的体积为V =.2.三侧棱两两垂直的三棱锥补形成长方体 【例2】已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则正三棱锥PABC球心到截面ABC的距离为_【解析】正三棱锥补成正方体如图，可知球心O为体对角线PD的中点，且PO，又P到平面ABC的距离为h，则(2)2h222.h.【评注】 如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体;如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心R2(l为长方体的体对角线长)【变式1】利用四个面为直角三角形的三棱锥补成长方体求外接球的面积 在三棱锥中，底面，若，则三棱锥外接球的表面积为_1.【解析】将三棱锥中补成如图所示的长方体，则三棱锥的的外接球即如图所示的长方体的外接球，球的直径等于长方体的对角线的长，三棱锥外接球的表面积为.【变式2】利用三侧棱两两垂直的三棱锥补成长方体求四面体的体积 ABCDEGQHF如图所示，在四面体中，两两垂直，且，是的中点，异面直线与所成角的余弦值为，则四面体的体积 .2. 【解析】依题意把视为长方体一角的三条棱，将四面体补成长方体.如图，连结，则就是异面直线与所成角，设,则，由余弦定理求得.3.对棱相等的三棱锥补成长方体ABCDEGSH 【例3】已知四面体SABC的三组对棱相等，依次为2、5，则四面体的体积为 .【解析】 如图, 把四面体S ABC补形为长方体ADBE GSHC,设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则有a2 + b2 = (2)2，b2 + c2 = ()2，c2 + a2 = 52，联立以上三式并解之得：a = 4，b = 2，c = 3. 故VS ABC = V长方体 4VS ABD = abc 4 abc = 8.【变式1】四面体补成长方体求体积 已知四面体SABC的三组对棱相等，依次为2、5，则四面体的体积为 1.8 【解析】 如图, 把四面体S ABC补形为长方体ADBE GSHC,设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则有a2 + b2 = (2)2，b2 + c2 = ()2，c2 + a2 = 52，联立以上三式并解之得：a = 4，b = 2，c = 3. 故VS ABC = V长方体 4VS ABD = abc 4 abc = 8. 【变式2】四面体补成正方体等积法求点到面的距离 已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为_ 2. 【解析】正三棱锥补成正方体如图，可知球心O为体对角线PD的中点，且PO，又P到平面ABC的距离为h，则(2)2h222.h.【变式】由三视图构建长方体探究变量关系借助于均值不等式求最值 某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段