高二数学命题及其关系文知识精讲苏教

用心 爱心 专心1 高二数学高二数学 命题及其关系命题及其关系（文）（文） 苏教版苏教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 命题及其关系 教学目的： （1）初步掌握四种命题的关系；准确理解充分条件，必要条件，充要条件的含义并 会判断与证明它们的关系 教学重点： 1、四种命题的关系；互为逆否命题同真同假；反证法的证明格式； 2、充分条件、必要条件、充要条件的准确理解 教学难点： 四种命题的关系及必要条件的理解 二. 主要知识考点分析： 1、互逆命题、互否命题、互为逆否命题的概念： （1）如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是 第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题； （2）如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么这 两个命题叫做互否命题； （3）如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么 这两个命题叫做逆否命题 2、换一种表述： （1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； （2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； （3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题 3、四种命题之间的相互关系如下： 互否 原命题 若 p 则 q 逆命题 若 q 则 p 否命题 若p 则q 逆否命题 若q 则p 互否 互逆 互逆 逆 逆 否 否 4、四种命题的真假有如下三条关系： （1）原命题为真，它的逆命题不一定为真； （2）原命题为真，它的否命题不一定为真； （3）原命题为真，它的逆否命题一定为真 5、反证法的一般步骤： （1）假设命题的结论不正确，即假设结论的反面成立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； 用心 爱心 专心2 （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 即：否定结论推出矛盾肯定结论 6、要理解“充分条件” “必要条件”的概念 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头当“若 p 则 q”形式的命题为真时，就记作 pq，称 p 是 q 的充分条件，同时称 q 是 p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就 归结为判断命题的真假 7、要理解“充要条件”的概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词语 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头“等价于” ， “当且仅当” ， “必须并且只需” ， “，反之也真”等 8、数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的 判断依据，又是概念所具有的性质 9、从集合观点看，若 AB，则 A 是 B 的充分条件，B 是 A 的必要条件；若 AB，则 A、B 互为充要条件 10、证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立（即条件的充分性） ，又要证明它的 逆命题成立（即条件的必要性） 【典型例题典型例题】 例例 1、把下列命题改写成“若 p 则 q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题 负数的平方是正数； 正方形的四条边相等； 若 a0，则 ab0； 当 c0 时，若 ab，则 acbc； 全等三角形一定相似； 末位数字是零的自然数能被 5 整除； 对顶角相等 解：解：若一个数为负数，则它的平方为正数 逆命题：若一个数的平方为正数则这个数为负数 否命题：若一个数不为负数，则它的平方不为正数 逆否命题；若一个数的平方不为正数则这个数不为负数 若一个四边形为正方形，则它的四条边相等 逆命题：若一个四边形四条边相等，则它为正方形 否命题：若一个四边形不为正方形，则它的四条边不相等 逆否命题：若一个四边形四条边不相等，则它不为正方形 若 a0，则 ab0 逆命题：若 ab0，则 a0 否命题：若 a0，则 ab0 逆否命题：若 ab0，则 a0 当 c0 时，若 ab，则 acbc 逆命题：若 acbc，则 ab 否命题：若 ab，则 acbc 逆否命题：若 acbc，则 ab 若两个三角形全等，则这两个三角形一定相似 逆命题：若两个三角形相似，则这两个三角形一定全等 否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形一定不相似 逆否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形一定不全等 若一个自然数的末位数字是零，则它能被 5 整除 用心 爱心 专心3 逆命题：若一个自然数能被 5 整除，则它的末位数字是零 否命题：若一个自然数的末位数字不是零，则它不能被 5 整除 逆否命题：若一个自然数能不被 5 整除，则它的末位数字不是零 若两个角为对顶角，则这两个角相等 逆命题：若两个角相等，则这两个角为对顶角 否命题：若两个角不为对顶角，则这两个角不相等 逆否命题：若两个角不相等，则这两个角不为对顶角 例例 2、指出下列命题中 p 是 q 的什么条件（在充分不必要条件，必要不充分条件，充要 条件，既不充分又不必要条件中选一种） （1）p：x3，q：|x|3; （2）p：，q： sinsin; （3）在ABC 中，p：AB，q：sinAsinB （4）p：1 1 x （5）p：，q： 1 1 x y 2 1 xy xy 解：解： （1）必要不充分条件 （2）既不充分又不必要条件 （3）充要条件 （4）充分不必要条件 （5）充分不必要条件 例例 3、已知 p： |1|2，q：x22x1m20（m0） ，若p 是q 的必要而不充 3 1x 分条件，求实数 m 的取值范围 解解：由题意知： 命题命题：若p 是q 的必要而不充分条件的等价命题，即逆否命题为：p 是 q 的充分不必 要条件 p：|1|2212132x10 3 1x 3 1x 3 1x q：x22x1m20x（1m） x（1m） 0 * p 是 q 的充分不必要条件， 不等式|1|2 的解集是 x22x1m20（m0）解集的子集 3 1x 又m0 不等式*的解集为 1mx1m ，m9， 9 1 101 21 m m m m 实数 m 的取值范围是9， ) 用心 爱心 专心4 例例 4、已知 x，y R，求证：xy0 是|xy|x|y|的充要条件 证明：证明：充分性：若 xy0，则 xy|xy|，则|xy|2（|x|y|）2，|xy|x|y| 必要性：若|xy|x|y|，则|xy|2（|x|y|）2，xy|xy|，xy0 综上得 xy0 是|xy|x|y|的充要条件 例例 5、有 A、B、C 三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸 条 A 盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内” ， B 盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内” ， C 盒子上的纸条写的是“苹果不在 A 盒内” 如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里？ 解：解：若苹果在 A 盒内，则 A、B 两个盒子上的纸条写的为真，不合题意 若苹果在 B 盒内，则 A、B 两个盒子上的纸条写的为假，C 盒子上的纸条写的为真， 符合题意，即苹果在 B 盒内 同样，若苹果在 C 盒内，则 B、C 两盒子上的纸条写的为真，不合题意 综上，苹果在 B 盒内 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：60 分钟） 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1、一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（ ） A. 真命题的个数一定是奇数 B. 真命题的个数一定是偶数 C. 真命题的个数可能是奇数也可能是偶数 D. 上述判断都不正确 2、|x|1 是 x1 的 （ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 3、有下列四个命题： “若 xy1，则 x、y 互为倒数”的逆命题； “相似三角形的周长相等”的否命题； “若 b1，则方程 x22bxb2b0 有实根”的逆否命题； （ ） “若 ，则 ”的逆否命题其中真 命题是 A B B A B A. B. C. D. 4、已知 p 是 r 的充分不必要条件，s 是 r 的必要条件，q 是 s 的必要条件，那么 p 是 q 成 立的 （ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 5、在ABC 中， “AB”是“cosAcosB”的 （ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6、设 a，bR，则不等式 ab 与都成立的充要条件是 （ ） a 1 b 1 A. ab0 B. a0 且 b0 C. ab0 D. ab0 用心 爱心 专心5 7、设 p：x0，q：|x2|1，则 p 是 q 的 （ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8、 “ABA”是“AB”的（ ） A. 必要但不充分条件 B. 充要条件 C. 充分但不必要条件 D. 既不必要也不充分条件 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 9、命题“若 x3 且 y5 则 xy8”的逆否命题是_，否命题是_，逆 命题是_，其中假命题的个数是_ 10、命题“各位数字之和是 3 的倍数的正整数，可以被 3 整除”的逆否命题是 _；逆命题是_；否命题是_ 11、命题 p 是命题 q 的充分但不必要条件，命题 s 是命题 q 的必要但不充分条件，命题 t 是命题 s 的充要条件，则 t p（用“，”填空） 12、关于 x 的一元二次不等式 ax2ax10 对一切实数 x 都成立的充要条件是 _ 三、解答题（共 40 分） 13、 （满分 8 分） 、设 p 和 q 是两个命题，若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的什么条件？ q 是p 的什么条件？ 14、 （满分 12 分） 、举例说明下列三种情况：（1）p 是 q 的充分但不必要条件；（2）p 是 q 的必要但不充分条件；（3）p 是 q 的充要条件 15、 （满分 10 分） 、求证：关于 x 的方程 ax2bxc0 有一根为 1 的充要条件是 abc0 16、 （满分 10 分）已知下列三个方程：x24ax4a30，x2（a1） xa20，x22ax2a0 至少有一个方程有实根，求实数 a 的取值范围 【试题答案试题答案】 一、选择题 1、B2、B3、C4、A5、C 6、D7、B8、D 二、填空题 9、逆否命题是：若 xy8 则 x3 或 y5； 否命题是：若 x3 或 y5，则 xy8； 逆命题是：若 xy8 则 x3 且 y5； 其中假命题的个数是：2 10、原命题的逆否命题是：不能被 3 整除的正整数，其各位数字之和不是 3 的倍数； 逆命题是：能被 3 整除的正整数，它的各位数字之和是 3 的倍数； 否命题是：各位数字之和不是 3 的倍数的正整数，不能被 3 整除 11、t p 12、0ab2 q： ab0 用心 爱心 专心6 （3）在ABC 中，p：AB，q：sinAsinB 15、证明：充分性：若 abc0， 则 1 满足方程 ax2bxc0，即关于 x 的方程 ax2bxc0 有一根为 1 必要性：若关于