高中数学：浅谈平面几何复习课选题的有效性原则

浅谈平面几何复习课选题的有效性原则 新课程下的平面几何的教学内容和教学要求都有较大的变化, 新中考中的平面几何题更是旧貌换新颜，新颖的题型层出不穷。因此新中考下的平面几何的复习课，要充分体现新课程的基本理念，把握新中考对平面几何试题的变化和考试要求，关注平面几何教学的本质，结合学生的实际和复习课的特点。在了解学生已有的知识基础和生活经验、钻研教材、研究中考的基础上，重点抓好复习课的选题。选择精彩的例题，并辅之以科学的教学方法，往往是提高平面几何复习课有效性的关键。针对上述情况，在复习过程中我从以下六个原则来编选例题。一、选题要面向全体学生，根据学生的不同需求，体现层次性原则。复习课同样也要面向全体学生，针对每一个有差异的个体，适应每一个学生的不同发展的基础，要为每一个学生提供不同的发展的机会和可能，使不同的人在数学上得到不同的发展。例如下面一组题目：1.1 如图，是O的弦，于点， 若，则O的半径为 cm（2008年福州市中考题）1.2如图（2），已知O的半径为5，弦AB=6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是( C ) （2008年山东枣庄市中考题） A2.5 B3.5 C4.5 D5.5 O 1.3如图（2），己知O的半径为5，弦AB的长为8，P是PBA弦AB上的一动点，若OP的长为整数，则满足条件的点P有（ ）A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 （2）1.4 如图（2），己知AB是O的弦，P是AB上的一点，若AB=10cm，PB=4cm，OP=5cm，则O的半径等于 cm。（2005年天津市中考试题） 这组题目的特点是：以课本例题为基础，以试题串的形式组题，做到了由易到难，层次分明，不断深入。它既复习了圆中的垂径定理的基本性质，又训练了学生的基本技能和培养了学生的思维能力。这组题目的第3、4、题对基础差的学生来说有一定的困难，无从着手。如果先安排第1、2两题的训练，并逐步引伸，这样使学生从中得到启发，使问题得以解决。二、选题中，应加强熟练巩固定理，灵活应用基础知识，体现针对性原则。复习课担负着既要复习巩固已学的基础知识，又要把知识整理成线或块的形式.复习课更注重学生数学能力的培养和提高。因此复习课选题时要关注数学核心内容中基本性质。2.1 （2008年巴中市）已知：如图(3)，在中，点是的角平分线上一点，于点，过点作交于点求证：点是过三点的圆的圆心2.2 如图（4），在ABC中，已知M是BC边的中点，AN平分BAC，BNAN于N，AB=10，AC=16，求MN的长。2.3 如图（5），BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，AE=3，CD=2，求弦AB和直径BC的长。 (3) (4) (5)等腰三角形的性质定理和判定定理是初中平面几何中的核心内容，它的应用比较基础和广泛。通过这组题的学习，加强熟练巩固对等腰三角形的性质定理和判定定理的理解和应用，并在教学中教师通过这组题让学生理解等腰三角形具有“顶角的平分线垂直平分底边”的性质，反过来，“若在三角形中一个角的平分线垂直于对边，则这个三角形为等腰三角形”，这组题就是依据这个性质，通过添加辅助线构造出等腰三角形的数学模型。三、在选题时，要发挥基本图形的运用功能，体现代表性原则。复杂的几何图形，往往是由一些基本图形复合而成，掌握了基本图形的构成、形式及其性质，就能从复杂图形中解脱出来，从而使平面几何证明顺利完成，下面就以“相似形”为例，谈谈基本图形在解题中的应用。 “A”字型和“8”字型是“相似形”中的二个基本图形，它是解决许多几何问题的基础和关键。3.1 如图（6），已知ABC中，D在BC上，E在AC上，AD、BE相交于F，BD:DC=2:3，AF=2DF，求BF:FE 分析：AD、BC是“已知”部分的线段，BE是“未知”部分的线段，故过D作DNBE交AC于N，则构成了两个“A”字型的基本图形。3.2 在上例中，若己知不变（如图7），求分析：这里AC为“未知”部分的线段，故过D作DMAC交BE于M，则构成了一个“A”字型，一个“8”字型的基本图形。 （6） （7）3.3 如图（8），AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，点P是弧AC的中点，连结PB、CA交于点E，则= （ ）A B C D 3 （8）分析：以所求比例为基础，结合圆中的基本性质，通过添加辅助线构造一个“8”字型的基本图形，使复杂问题简单化。这组题是以相似形中常见的二个基本图形为基础，通过添加辅助线，构造“A”字型和“8”字型，并运用基本图形的功能，使问题解决。四、选题要选一些一题多解、一题多变的题目，体现灵活性原则在解某些几何问题时，只要正确审题，根据条件和结论从不同的角度去分析、思考、联想，必能突破思维障碍，得以不同思路下的多种解法。引导学生对几何问题进行变式或深化推广引申、创新，让学生进行多角度、多方面的发散思考，培养学生思维的灵活性。4.1 已知：点C和D点在AB两侧，且ACB=ADB=90，E是AB的中点，（1）如图9，EC与ED是什么关系？为什么？（2）当点C和D在AB同侧时，上述结论是否成立？为什么？（3）如图10，连结CD，并且点F是CD的中点，EF和CD具有怎样的位置关系？为什么？（4）当点C和D点在AB同侧时，上述结论是否成立？为什么？（5）如图11，若CED是直角三角形，求CAD的度数。 (9) (10) (11)通过上述这组题的设问，一步一步深入，形成“命题链”，这样不但复习了直角三角形斜边上的中线和等腰三角形“三线合一”的基本性质，而且加强了学生的分类意识，培养了学生的研究性学习的能力。五、选题时，应注重创新意识和创造能力的培养，体现创造性原则新课程下的中考试题，更注重学生的创新意识和创造能力的培养，在选题时，要选一些立意新颖的开放性和探索性试题，有利于学生创造能力的培养和全面素质的发展。5.1 (2007年宁波市中考试题)四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PAPC，则点P为四边形ABCD的准等距点(1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点 (2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PAPC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且CDF=CBE，CE=CF求证：点P是四边形AB CD的准等距点(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)评析：本题的“准等距点”对学生而言是一个未知的“新定义”概念，这种对学生既新颖又陌生的几何情境对所有的学生都是公平的。因而，这类试题在很大程度上能区分学生思维能力和迁移能力方面的差异，从而确保了同一水平学生的真实水平与考试结果能保持较高的一致性。六、选题时，要关注操作性和运动型等新颖几何题，体现时代性原则操作性和运动型几何题是近年来中考的热点问题，它把传统几何的静止状态动起来，使几何试题既新颖又灵活起来，增加了学生的思维空间。6.1 如图13所示，一张三角形纸片ABC，ACB=90，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成AC1D1和BC2D2两个三角形（如图18所示），将纸片AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A、D1、D2、B始终在同一直线上），当点D1与点B重合时，停止平移，在平移过程中，C1D1与BC2交 (13)于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F，P。（1）当AC1D1平移到如图13所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想。（2）设平移距离D2D1为x，AC1D1与BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系