材料力学第八章叠加法求变形最新版本

.,努力学习，报效祖国！,.,8-3用叠加法计算梁的变形及梁的刚度计算,一、用叠加法计算梁的变形,在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。,当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。,.,例8-3如图用叠加法求,解：,1.求各载荷产生的位移,2.将同点的位移叠加,=,+,+,.,试按叠加原理求图a所示简支梁的跨中截面的挠度wC和两端截面的转角qA及qB。已知EI为常量。,例题5-4,.,为了能利用简单荷载作用下梁的挠度和转角公式，将图a所示荷载视为与跨中截面C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。,例题5-4,解:,.,在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，查有关梁的挠度和转角的公式，得,例题5-4,.,注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨梁AC和右半跨梁CB分别视为受集度为q/2的均布荷载作用而跨长为l/2的简支梁。查有关梁的挠度和转角的公式得,在集度为q/2的反对称均布荷载作用下，由于挠曲线也是与跨中截面反对称的，故有,例题5-4,.,按叠加原理得,例题5-4,.,试按叠加原理求图a所示外伸梁的截面B的转角qB，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。已知EI为常量。,例题5-5,.,利用简支梁和悬臂梁的挠度和转角公式，将图a所示外伸梁看作由悬臂梁AB(图b)和简支梁BC(图c)所组成。和弯矩应当作为外力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁的B截面处，它们的指向和转向如图b及图c所示。,例题5-5,解:,.,图c中所示简支梁BC的受力情况以及约束情况与原外伸梁BC段完全相同，注意到简支梁B支座处的外力2qa将直接传递给支座B，而不会引起弯曲。简支梁BC，由q产生的Bq、wDq(图d)，由MB产生的BM、wDM(图e)。可查有关式，将它们分别叠加后可得B、wD，它们也是外伸梁的B和wD。,例题5-5,.,例题5-5,.,图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB段相同，但要注意原外伸梁的B截面是可以转动的，其转角就是上面求得的qB，由此引起的A端挠度w1=|qB|a，应叠加到图b所示悬臂梁的A端挠度w2上去,才是原外伸梁的A端挠度wA,例题5-5,.,.,逐段刚化法：,变形后：ABABBCBC,变形后AB部分为曲线，BC部分为直线。,C点的位移为：wc,.,例：求外伸梁C点的位移。,L,a,C,A,B,P,解：,将梁各部分分别引起的位移叠加,1）BC部分引起的位移fc1、c1,.,2）AB部分引起的位移fc2、c2,C,A,B,P,B2,.,例8-4欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。,解：,.,例8-5用叠加法求图示梁端的转角和挠度。,解:,.,例8-6求图示梁B、D两处的挠度wB、wD。,解：,.,例8-7求图示梁C点的挠度wC。,.,解：,.,三.梁的刚度条件,例8-8图示工字钢梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，w/l=1500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷P，并校核强度。,刚度条件：,w、是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。,CL9TU40,机械：1/50001/10000,土木：1/2501/1000,机械：0.0050.001rad,.,解：由刚度条件,.,图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试按强度条件和刚度条件选择槽钢型号。已知=170MPa，=100MPa，E=210GPa，。,例题5-7,.,一般情况下，梁的强度由正应力控制，选择梁横截面的尺寸时，先按正应力强度条件选择截面尺寸，再按切应力强度条件进行校核，最后再按刚度条件进行校核。如果切应力强度条件不满足，或刚度条件不满足，应适当增加横截面尺寸。,例题5-7,解:,.,1.按正应力强度条件选择槽钢型号,梁的剪力图和弯矩图分别如图c和图e所示。最大弯矩为Mmax=62.4kNm。梁所需的弯曲截面系数为,例题5-7,.,而每根槽钢所需的弯曲截面系数Wz36710-6m3/2=183.510-6m3=183.5cm3。由型钢表查得20a号槽钢其Wz=178cm3，虽略小于所需的Wz=183.5cm3，但所以可取20a号槽钢。,例题5-7,.,2.按切应力强度条件校核,图c最大剪力FS,max=138kN。每根槽钢承受的最大剪力为,例题5-7,.,Sz,max为20a号槽钢的中性轴z以下半个横截面的面积对中性轴z的静矩。根据该号槽钢的简化尺寸(图d)可计算如下：,例题5-7,.,当然，的值也可按下式得出：,每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为Iz=1780.4cm41780cm4,例题5-7,.,故20a号槽钢满足切应力强度条件。,于是,例题5-7,.,3.校核梁的刚度条件如图a，跨中点C处的挠度为梁的最大挠度wmax。由叠加原理可得,例题5-7,.,梁的许可挠度为,由于,因此，所选用的槽钢满足刚度条件。,例题5-7,.,.,四.提高弯曲刚度的措施,影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。,一、增大梁的抗弯刚度EI；,二、减小跨度L或增加支承降低弯矩M；,三、改变加载方式和支承方式、位置等。,.,8-5梁的弯曲应变能,一.梁的弯曲应变能,1.纯弯曲：,2.横力弯曲：,W,.,二.小结：,1、杆件变形能在数值上等于变形过程中外力所做的功。V=W,2、线弹性范围内，若外力从0缓慢的增加到最终值：,其中：,P-广义力-广义位移,拉、压：,扭转：,弯曲：,.,例8-12试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度。,解：,.,8-4用比较变形法解超静定梁,一.静不定梁的基本概念,二.变形比较法解静不定梁,用多余反力代替多余约束，就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原静不定梁的相当系统，又称静定基。,梁的约束个数多于独立静力平衡方程的个数。,.,解：将支座B看成多余约束，变形协调条件为：,.,三.用变形比较法解静不定梁的步骤,（1）选取基本静定结构（静定基如图），B端解除多余约束，代之以约束反力；,（2）求静定基仅在原有外力作用下于解除约束处产生的位移；,（4）比较两次计算的变形量，其值应该满足变形相容条件，建立方程求解。,（3）求仅在代替约束的约束反力作用下于解除约束处的位移；,.,6-4简单超静定梁,.超静定梁的解法,解超静定梁的基本思路与解拉压超静定问题相同。求解图a所示一次超静定梁时可以铰支座B为“多余”约束，以约束力FB为“多余”未知力。解除“多余”约束后的基本静定系为A端固定的悬臂梁。,基本静定系,.,基本静定系在原有均布荷载q和“多余”未知力FB作用下(图b)当满足位移相容条件(参见图c、d)时该系统即为原超静定梁的相当系统。,若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理关系(参见教材中的附录)所得的补充方程为,.,从而解得“多余”未知力,所得FB为正值表示原来假设的指向(向上)正确。固定端的两个约束力利用相当系统由静力平衡条件求得为,.,该超静定梁的剪力图和弯矩图亦可利用相当系统求得，如图所示。,思考1.该梁的反弯点(弯矩变换正负号的点)距梁的左端的距离为多少？,2.该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解？如何求解？,.,例8-10为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用短梁CD加固。设二梁EI相同，试求：二梁接触处的压力,解：解除约束代之以约束反力,变形协调条件为：,.,例8-11梁ABC由AB、BC两段组成，两段梁的EI相同。试绘制剪力图与弯矩图。,解：变形协调条件为：,.,试求图a所示结构中AD杆内的拉力FN。梁AC和杆AD的材料相同，弹性模量为E；AD杆的横截面积为A，AC梁的横截面对中性轴的惯性矩为I。,例题6-7,.,1.梁AC共有三个未知力(图b)FN，FB，FC，但平面仅有两个平衡方程，故为一次超静定问题。,例题6-7,解：,.,2.把AD杆视为梁AC的“多余”约束，相应的“多余”未知力为FN。位移(变形)相容条件为梁的A截面的挠度wA等于杆的伸长量DlDA(图b)，即wA=DlDA。,例题6-7,.,3.求wA和DlDA,wA是由荷载产生的wAq(图c)和FN产生的wAF(图d)两部分组成，,例题6-7,.,把图d所示外伸梁，视为由悬臂梁AB(图e)和简支梁BC(图f)两部分组成。,例题6-7,.,4.把wA和DlDA代入位移(变形)相容条件得补充方程：,由此求得,例题6-7,.,试求图a所示等截面连续梁的约束反力FA,FB,FC，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度EI=5106Nm2。,例题6-8,.,1.该梁有三个未知力FA、FB、FC，仅有两个平衡方程。故为一次超静定问题。,例题6-8,解：,.,2.若取中间支座B处阻止其左、右两侧截面相对转动的约束为“多余”约束，则B截面上的一对弯矩MB为“多余”未知力，相当系统如图b。,例题6-8,.,相当系统的位移条件是B处两侧截面的相对转角等于零，即,例题6-8,3.查关于梁位移公式的附录可得,.,4.将qBqB代入位移相容条件补充方程，从而解得,这里的负号表示MB的实际转向与图b中所设相反，即为MB负弯矩。,例题6-8,.,5.利用图b可得约束力分别为,例题6-8,.,绘出剪力图和弯矩图分别如图c,d所示。,例题6-8,.,超静定梁多余约束的选择可有多种情况，例如，若以支座B为多余约束，FB为多余未知力，位移条件为wB=0，相当系统如图(e)所示。有如以支座C为多余约束，FC为多余未知，位移条件为wC=0，相当系统如图(f)所示。位移条件容易计算的相当系统就是最适宜的。,例题6-8,.,*II.支座沉陷和温度变化对超静定梁的影响,超静定梁由于有“多余”约束存在，因而支座的不均匀沉陷和梁的上,下表面温度的差异会对梁的约束力和内力产生明显影响，在工程实践中这是一个重要问题。,.,(1)支座不均匀沉陷的影响,图a所示一次超静定梁，在荷载作用下三个支座若发生沉陷A、B、C，而沉陷后的支点A1、B1、C1不在同一直线上时(即沉陷不均匀时)，支座约束力和梁的内力将不同于支座均匀沉陷时的值。,.,现按如图a中所示各支点沉陷BCA的情况进行分析。此时，支座B相对于支座A、C沉陷后的点A1、C1的连线有位移,.,于是，如以支座B1作为“多余”约束，以约束力FB为“多余”未知力，则作为基本静定系的简支梁A1C1(参见图b)在荷载q和“多余”未知力FB共同作用下应满足的位移相容条件就是,.,于是得补充方程,由此解得,其中的wB按叠加原理有(参见图c、d):,.,再由静力平衡方程可得,.,(2)梁的上,下表面温度差异的影响,图a所示两端固定的梁AB在温度为t0时安装就位，其后，由于梁的顶面温度升高至t1，底面温度升高至t2，且t2t1，从而产生约束力如图中所示。,由于未知的约束力有6个，而独立的平衡方程只有3个，故为三次超静定问题。,l,.,现将右边的固定端B处的3个约束作为“多余”约束，则解除“多余”约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。,它在上,下表面有温差的情况下，右端产生转角qBt和挠度wBt(见图c)以及轴向位移Bt。,.,如果忽略“多余”未知力FBx对挠度和转角的影响，则由上,下表面温差和“多余”未知力共同引起的位移符合下列相容条件时，图b所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系统：,.,式中一些符号的意义见图c、d、e。,.,现在先来求qBt和wBt与梁的上,下表面温差(t2-t1)之间的物理关系。,从上面所示的图a中取出的微段dx