高中数学：巧用曲线系求解曲线题

巧用曲线系，求解曲线题曲线系问题是高中数学课中重要而又难以掌握的问题，它可分为直线系、圆系、圆锥曲线系三类。在求解曲线问题时，若能巧妙的应用曲线系知识，将会使烦琐的运算变的轻而易举。现归纳分析并举例应用如下。一、 直线系1过两直线交点的直线系若点P（x0,y0）是两直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2+B2+C2=0的交点，则过点P的直线系方程为：A1x+B1y+ C1+ ( A2+B2+C2)= 0 例1 已知直线l1:3x+4y-10=0，l2:4x-6y+7=0,l3过l1,l2的点且过点A(4,-7)，求l3的方程。解:由题意可得l3方程为:3x+4y-10+ (4x-6y+7)=0 l3过点A(4,-7), 3 4+4 (-7)-10+ 4 4-6 (-7)+7=0 因此 l3的方程为3x+4y-10+(4x-6y+7)=0，即23x+8y-36=02 平行直线系 方程y=kx+b，当k为定值时，表示斜率为k的平行直线系。方程A0x+B0y+C=0(A0,B0为定值,B0 0)表示斜率为的平行直线系。 例2 、直线l:3x-2y+5=0, l1l且l1过点P(3,-2)，求l1方程。解： 因为l1l，故设l1方程为3x-2y+m=0,。P(3,-2) l1, m=-33+2(-3)=-13 ，即l1的方程3x-2y-13=0 。3 过定点直线系当k为变量时，方程y-y0=k(x-x0)表示过定点P(x0,y0)的直线系。例3、求证：当m任意实数时，直线y=(m2+2m+2)x-3m2-6m-1必过一定点。证明：将原方程变形为:y=(m2+2m+2)x-3(m2+2m=2)+5，即y-5=(m2+2m+2)(x-3), 由此可知直线过定点(3,5)。二、 圆系(1)过直线和圆交点或两圆交点的圆系 过圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l:Ax+By+C=0的交点的圆系方程为：x2+y2+Dx+Ey+F+ (Ax+By+C)=0,过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和圆 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的曲线系方程为：x2+y2+D1x+E1y+F1+( x2+y2+D2x+E2y+F2)=0例4、求过圆C1:x2+y2-4x+2y=0和圆C2:x2+y2-2y-4=0的交点，且圆心在直线l:2x+4y=1上的圆的方程。解：所求的圆过已知圆交点，故可表示为：x2+y2-4x+2y+( x2+y2-2y-4)=0即 (1+)x2+(1+)y2-4x+(2-2)y-4=0 (1)，圆心坐标为，因为圆心在直线l上，代入可得,例5、方程x2+y2-2x-4y+m=0表示圆，直线x+2y-4=0与圆相交于M、N两点，且OMON(O为坐标原点)，求以MN为直径的圆。解：因为方程表示圆，则(-2)2+(-4)2-4m0, m5 过交点M,N的曲线方程为：x2+y2-2x-4y+m+ ( x+2y-4)=0， 化简得x2+y2+(-2)x+(2-4)y+m-4=0,因为OMON，则O为以为直径圆上点，则m-4=0， 且圆心在直线x+y-4=0上,故,得,则，代入曲线方程，得即为所求。(2)同心圆系 方程(x-a)2+(y-b)2=R2，当(a,b)为定点，R为变量时，表示同心圆系。例6、求与圆x2+y2-4x+6y-3=0同心，且过点(-1,1)的圆的方程。解：所求圆与已知圆同心，可得方程x2+y2-4x+6y-m=0， 又所求圆过点(-1,1)，将此点坐标代入方程，得 m=-(1+1+4+6)=-12, 则所求圆方程为x2+y2-4x+6y-12=0。(3)同半径动圆圆系方程(x-a)2+(y-b)2=R2，当R为定值，点(a,b)为动点时，表示同半径动圆圆系。例7、求证:不论m为何值,圆x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0的圆心在同一直线上。证明：原方程配方，得(x-3m)2+y-(m-1)2=25， 设圆心坐标为(u,v)，则，即为圆心轨迹参数方程，消去m，得u-3v-3=0，即圆心在同一直线上。三、 圆锥曲线系(1)离心率相同圆锥曲线系 表示离心率相同的椭圆系；表示离心率相同（且渐近线相同）的双曲线系。(2)共焦点的圆锥曲线系 表示共焦点的椭圆系；表示共焦点的双曲线系。例9、求与椭圆有公共焦点，且过点(0,3)的椭圆方程。解：所求椭圆与已知有相同焦点，可设所求椭圆方程为，将点坐标代入得k=-15，故所求椭圆方程为.例10、求与双曲线共渐近线，且过点A的双曲线方程。解：设与已知双曲线共渐近线的双曲线方程为， 因为A在所求双曲线上，故代入可得， 所以 即例11、求渐近线方程为，经过