高二数学数系的扩充与复数的概念人教实验B知识精讲

高二数学数系的扩充与复数的概念人教实验版（B）【本讲教育信息】一. 教学内容：数系的扩充与复数的概念二. 学习目标掌握复数的概念、复数的表示方法及其几何意义，复数的模三. 考点分析1. 复数及分类形如的数叫做复数，其中a为实部，b为虚部，i是虚数单位，且满足。2. 复数相等的充要条件。特别地。3. 数集间的联系：4. 复数集C与复平面上的点集和以原点为起点的向量集是一一对应的，见图。 5. 复数的模：向量的长度叫做复数）的模，即注：（1）；（2）；（3）；（4）。6. i的幂。7. 共轭复数及其运算性质与互为共轭复数，且，它的运算性质有：，8. 的性质记，则，。【典型例题】例1. 当m为何实数时，复数；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数。解：（1）z为实数，则虚部，即解得m=2 m=2时，z为实数（2）z为虚数，则虚部，即解得且当且时，Z为虚数（3）z为纯虚数解得 当时，z为纯虚数例2. 求同时满足下列条件的所有复数z：（1）是实数，且。（2）z的实部和虚部都是整数。解：设且则由（1）知是实数，且 即或又*当b=0时，*化为无解。当时，*化为 由（2）知 相应的，（舍），因此，复数z为：或例3. 已知复数z满足且，求z的值。解：设，由已知得 依题意得由得或（1）当时，由知但与矛盾 ，即（2）当时，由得把值代入均成立综上可知：，例4. 已知且，求的最值。解：设，那么，又，。即。的最小值为0，最大值为3。例5. 设虚数，满足（1）若是一个实系数一元二次方程的两根，求。（2）若（i为虚数单位，），复数，求的取值范围。解：（1） 是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭，可设且，则由得即：根据复数相等，得 解得或 或（2）由于， 由于且，可解得，令，在上，是减函数 【模拟试题】一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要B. 必要不充分 C. 充要D. 既不充分也不必要 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. 1D. 4. 若，则z对应的点的轨迹是（ ） A. 圆B. 两点C. 线段D. 直线 5. 复数，且，则是（ ） A. 实数B. 纯虚数C. 非纯虚数D. 复数6. 若，且，则的最小值是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 7. 计算：_ 8. 若，则 。 9. 。 10. 若，且，则_三、解答题（本大题共4题，共50分）11. 在复数范围内解方程（i为虚数单位）。12. 若复数z满足，且为纯虚数，求z。 13. 若复数z满足，求的最大、最小值。14. 若复数z满足，求证：参考答案http/1. A 提示：若为共轭复数，则，但若，如，满足，但与不能互为共轭复数，因此应选A。 2. C 提示：由知 或 故选C 3. D 提示：由幂的运算法则，有 这里用到了的周期性结论。 4. A 提示：设，则 即 即，这是以为圆心，以2为半径的圆的方程。 5. B 提示：设（由，知） 6. B 7. 原式 提示：注意利用简化运算 8. 9. 10. 提示：设，则 又 则有联立得 即 11. 解析 原方程化简为，设，（），代入上述方程得， 解得原方程的解是。12. 解：设 13. 解法一：数形结合法 设，则 化简，得 表示点到原点O（0，0）的距离，而点（x，y）在圆C上 由平面几何知识，可知|z|的最大值为，最小值为 解法二：利用复数的模的性质 即，去绝对