高二数学球教案二课时人教

高二数学球教案二课时与棱柱、棱锥等多面体不同，球是一种旋转体；本节要求：了解球的概念、掌握球的性质；掌握球的体积及表面积公式。内容分析：本节有两个重要知识点：球的有关概念、性质和球的体积、表面积。本节通过“分割，求近似和，化为准确和”的方法，即运用“化整为零，又积零为整”的极限思想，对球的体积和表面积公式进行了推导；教学中对这两公式的推导，只要求了解其基本思想方法即可，重点在于掌握公式本身；而不必要求学生一定要掌握公式推导的细节 课时安排：建议2课时；第一课：球（1）教学目的：具体直观地了解球的定义以及球心、球的半径等概念；熟练掌握球的性质；会用球心与球的截面的关系解决有关问题；理解球面距离的概念，弄清地球的经度与纬度的概念，会求两点间的球面距离教学重点：球的定义、性质教学难点：球面上两点间的距离的计算方法授课类型：新授课 。教 具：多媒体、实物投影仪 。教学过程：1、创设情景，忆旧孕新回忆圆的定义，通过问题“从圆的定义看，圆是否包括圆周以内的点”引进圆面的概念，导入类比思想：平面图形二维空间 立体图形三维空间 长方形 长方体 圆 球接着，教师逞势给出“球面”和“球”的概念，然后，让学生模仿圆和圆面，用类比的方法给球面和球下定义。最后设问：球面和球还有其它定义方法吗？球体又会有哪些性质呢？2、类比悟新，启迪猜想首先是让学生对“硬币在桌面上旋转”进行想象，用旋转的方法来给球下新定义。教师作引导：通过上面的讨论不难看出，球和圆有着密切的联系，不同的是，圆的定义是对平面而言，而球的定义则是对空间而言的，可以说，球的概念是圆的概念在空间的推广。那么，我们能否从圆的性质去推测并证明球的某些性质呢？其次是让学生进一步用类比的方法，通过对圆的性质的复习，猜想球的性质。具体过程如下：图1问题：一条直线与圆相交，在圆内的部分是什么图形？（线段） 教师在黑板上画（图1）图1那么，把直线换成平面，把圆换成球，即用一个平面去截球，其截面又是什么图形呢？（答案：圆面。）教师将图1改成立体图，然后用教具演示球被一个平面所截，得出性质1。性质1：用一个平面去截球，截面是圆面，用一个平面去截球面，截线是圆。AOKCD讲完性质1后，教师介绍大圆和小圆的概念，并让学生做两道有关的练习题以加深对大圆和小圆的理解。然后，继续类比，用多媒体打出以下一组圆的性质的填空题。类比2：圆的性质填空：1、与弦垂直的直径过弦的 ； 2、圆心和弦中点的连线 弦；3、在 中， ；4、不过圆心的弦 直径，经过圆心的弦 直径，直径是 的弦。教师要求学生将上述的“圆”改成“球”，将“弦”改成“截面”，问可以得出球的哪些性质呢？B（教师将立体图“图1”再次改画，添上如图辅助线。）性质2：球心和不过球心的截面圆心的连线垂直于截面。性质3：球心到截面的距离与球的半径R 及截面圆的半径有下面关系： 3、球面距离的概念师：球面被过球心的平面所截得的圆，叫做球的大圆；被不经过球心的平面所截得的圆，叫做球的小圆.请同学们看课本.想一想，赤道、南回归线、北回归线、南极圈、北极圈中哪些是地球的大圆，哪些是地球的小圆？生：赤道是大圆，其余都是小圆.师：所有的经线都是半个大圆.思考题4：过球面上任意两点的大圆有几个？（引导学生从过球心及两已知点的平面个数去思考.）生：当这两个点的连线过球心时有无数多个；当这两点的连线不过球心时只有一个.师：在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆夹在这两点之间的一段劣孤的长度，我们把这段弧长叫做两点的球面距离. 如图，PQ的长度就是P、Q两点的球面距离，若球的半径为R，POQ弧度，那么P、Q的球面距离为R.轮船在海中，飞机在空中的航线都是地球的大圆.4、引申拓展，联系实际结合对地球仪经纬度概念的教学，将本节内容与生活实际联系起来。多媒体演示以下教学过程。本初子午线如图2，纬度P点的纬度，也是 或的度数，即：某地的纬度就是经过这点的球半径和赤道平面所成的角度如图3，经度P点的经度，也是 或的度数，即：某地点的经度就是经过这点的经线和地轴确定的半平面与本初子午线与地轴确定的半平面所成二面角的平面角的度数。思考：怎样转是东经？怎样转是西经？5、初步运用，深化认识例1 我国首都北京靠近北纬40，求北纬40纬线的长度。（地球半径约为6370km）40AKOB解：如图，是北纬上一点，是它的半径，设是北纬的纬线长，40AKOB答：北纬纬线长约等于例2在半径为的球面上有三点，求球心到经过这三点的截面的距离解：设经过三点的截面为，设球心为，连结，则平面，所以，球心到截面距离为例3在北纬圈上有两点，设该纬度圈上两点的劣弧长为（为地球半径），求两点间的球面距离解：设北纬圈的半径为，则，设为北纬圈的圆心，中，所以，两点的球面距离等于说明：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离注：教材上没有画出立体图，只有轴截面平面图。为了方便学生理解，教师先用多媒体展示立体图，启发学生说出求解本题的关键求出纬圆半径AK的长度。接着，教师说明本题可以通过作轴截面来简化思考，并介绍轴截面的概念；然后，用规范的语言书写解题的主要步骤。解完题后，教师作本题小结：第一，由于球是旋转体，所以，在解决球的计算问题时，常常通过作轴截面，将立体几何问题转化为平面几何问题来处理，达到简化之目的。第二，球心到截面距离、截面圆（小圆）半径、球半径，三条线段构成了一个十分重要的直角三角形。6、要点再现，小结提升教师用填空题的形式，让学生回顾、再现本节课的知识要点和“化归”思想，使所学知识进一步系统化，便于理解、记忆、形成技能。本节课主要学习了球的概念和性质，经纬度的概念，下面一起来作一回顾： 1、球面是指 ；球是指 。2、 的平面截球面，所得截线是大圆， 的平面截球面，所得截线是小圆。3、 、 、 三条线段构成了一个十分重要的直角三角形。4、两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为、，则这两个平面间的距离是_。5、有关球的计算问题常可化为圆或三角形等平面问题来处理。6、已知一个正方体内接于球，试画出它的立体图，并判断下列平面图形不可能是它的一个轴截面的是（ ），说明各轴截面是怎样截得的？ A B C D7、将一个气球放入一个正方体内，不断冲气使其与正方体各面都相切，想象此时它的轴截面有几种画法。8、将一个气球放入一个正方体框架内，不断冲气使其与正方体各棱都相切，且球保持不变形，想象此时它的轴截面有几种画法。布置书面作业：课本P71练习题1、2、3 P74习题1第二课：球（2）教学目的：1.了解球的体积公式、球的表面积公式的推导过程，体会其基本思想方法；2.会用球的体积公式、球的表面积公式解决有关问题教学重点：球的体积公式、球的表面积公式及其应用 教学难点：球的体积公式、球的表面积公式及其应用，球的体积公式表面积公式的推导授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1 球的概念： 与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球2球的截面：用一平面去截一个球，设是平面的垂线段，为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以为半径的一个圆，截面是一个圆面球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆3两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离4经度、纬度：经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数；纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数二、讲解新课：1 半球的底面： 已知半径为的球，用过球心的平面去截球，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆（包含它内部的点），叫做所得半球的底面2球的体积：如图，把垂直于底面的半径作等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成层，每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”，这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积由于“薄圆片”近似于圆柱形状，它的体积近似于相应的圆柱的体积圆柱的高就是“薄圆片”的厚度，底面就是“薄圆片”的下底面由勾股定理可得，第层（由下向上数），“薄圆片”的下底面半径是，第层“薄圆片”的体积是，半球体积是 半球的体积 容易看出，当不断变大时，式越来越精确，若变为无穷大时，趋向于，由此，可由式推出球的体积公式3 球的表面积：设球的半径为，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用表示，则球的表面积:以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于求的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积可近似地等于“小锥体”的底面积，球的半径近似地等于小棱锥的高，因此，第个小棱锥的体积，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积:，又，且可得，又，即为球的表面积公式三、讲解范例：例1 有一种空心钢球，质量为，测得外径等于，求它的内径（钢的密度为，精确到）解：设空心球内径(直径)为，则钢球质量为，直径，答：空心钢球的内径约为例2：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：（1） 球的表面积等于圆柱的侧面积。（2） 球的表面积等于圆柱全面积的。证明：（1）设球的半径为R则圆柱的底面半径为