高二数学第56课直线与椭圆教案

第56课 直线与椭圆考试目标 主词填空1.椭圆的定义与方程椭圆的第一定义：已知F1，F2是平面内两个定点，P是动点，当且仅当它们满足条件|PF1|+|PF2|=定长2a且2a|F1F2|时，P的轨迹是椭圆.椭圆的第二定义：设F为定点，l是定直线，P是动点，P、F及l共面，当且仅当它们满足条件时，P的轨迹是椭圆.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆方程是，中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程是.2.椭圆的几何性质对椭圆b2x2+a2y2=a2b2(ab0)而言，其范围是x-a，ay-b，b，关于坐标轴和原点对称，顶点坐标是 (a，0)，(0，b)，离心率e=准线方程是.3.点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)在椭圆内部的充要条件是；在椭圆外部的充要条件是；在椭圆上的充要条件是.4.直线与椭圆的位置关系.设直线l：Ax+By+C=0，椭圆C：，联立l与C，消去某一变量(x或y)得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为，则l与C相离的0.5.椭圆方程的确定求椭圆方程，若中心和对称轴已知，则在a、b、c中只须确定两个，因a2=b2+c2常用的方法是列方程组，解方程组，从而确定系数a、b、c.6.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)|P1P2|=f(k)形式(利用根与系数关系转化).题型示例 点津归纳【例1】 根据下列条件求椭圆的标准方程：(1)两准线间的距离是 ；(2)和椭圆共准线，且离心率为；(3)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点.【解前点津】 (1)先根据条件选择适当形式的标准方程，然后建立关于a，b，c的方程组确定系数a，b，c；(2)对给定椭圆上一点与两焦点，可用第一定义求椭圆的方程；(3)对于给定椭圆上一点及一焦点及相应准线用第二定义求椭圆方程.【规范解答】 (1)设椭圆长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2 ， 2c=2 ， a2=b2+c2 解由构成的方程组得：a=3，b=2.故所求椭圆方程为.(2)设椭圆方程为： (a0，b0)，则其准线为x=12，所以：.故所求椭圆方程为.(3)由2a=|PF1|+|PF2|=2 ，a= ，由，故所求椭圆方程为.【解后归纳】 求椭圆的方程，一是选择恰当的形式，二是利用其几何性质，然后列出方程组，通过解方程组确定系数.【例2】 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求椭圆方程.【解前点津】 由题设条件，不能确定焦点是在x轴，还是在y轴上，且对于a、b、c的关系条件未作定性说明，故可设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m0，n0)简便.【规范解答】 设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m0，n0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由中消去y并依x聚项整理得：(m+n)x2+2nx+(n-1)=0，=4n2-4(m+n)(n-1)0，即m+n-mn0，OPOQ等价于x1x2+y1y2=0，将y1=x1+1，y2=x2+1代入得：2x1x2+(x1+x2)+1=0， 又|PQ|= 联立并解之得： 经检验这两组解都满足0，故所求椭圆方程为x2+3y2=2或3x2+y2=2.【解后归纳】 中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程可用统一形式：mx2+ny2=1(m0，n0)，m与n的大小关系，决定了焦点位置.【例3】 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P(0， )到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程.【解前点津】 由条件，可将椭圆标准方程用含一个参数的形式表示，将“最远距离”转化为二次函数的最值.【规范解答】 由e=可推出a=2b，于是可设椭圆方程为：，即有x2=4b2-4y2.设M(x，y)是椭圆上任意一点，且-byb，|PM|2=-3(y+)2+4b2+3，由于y-b，b，于是转化为在闭区间-b，b，求二次函数的最值.当b时，y=-b，|PM|2有最大值b2+3b+，令b2+3b+=()2，解得b=-，舍去.当b时，取y=-知|PM|2有最大值4b2+3，令4b2+3=( )2解得：b=1，a=2，故所求方程为：.【解后归纳】 这是一道解析几何与函数的综合题，其知识的交汇点及“等价转化”的数学思想，是必须“关注”的.【例4】 设椭圆方程为，过原点且倾斜角为和-(0)的两条直线分别交椭圆于A、C和B、D两点.(1)用表示四边形ABCD的面积；(2)当(0， )时，求S的最大值.【解前点津】 设直线方程为y=xtan，利用椭圆图形的“对称性”，易用表示S，然后运用函数的知识，求面积S的最大值.【规范解答】 (1)设经过原点且倾斜角为的直线方程为：y=xtan，代入求得：x2=，由对称性知四边形ABCD为矩形，又由于0，所以四边形ABCD的面积为：S=4|xy|=.(2)当0时，0tan1，设t=tan，则S=(0b0)的中心及两个焦点将x轴夹在准线间的线段四等分，则椭圆的离心率为 ( )A. B. C. D. 6.到定点(2，0)的距离与到定直线x=8的距离之比为的动点轨迹方程是 ( )A.3x2+4y2=48 B.x2+2y2+8x-56=0 C.4x2+3y2=48 D.3x2+2y2-8x+68=07.已知椭圆的焦点为F1(-3，2)、F2(5，2)，长轴长为10，则椭圆的方程为 ( )A. B. C. D. 8.已知椭圆内有一点P(1，-1)，F为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|取得最小值，则点M的坐标为 ( )A. B. C. D. 9.已知椭圆，左、右焦点分别为F1，F2，B(2，2)是其内一点，M为椭圆上的动点，则|MF1|+|MB|的最大值与最小值分别是 ( )A.10+，10- B.10+，10- C.10+2，10-2 D.10+2 ，10-2二、思维激活10.椭圆方程为，点A、B在椭圆上，并且直线AB经过椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为F2，则ABF2的周长是 .11.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P()和Q(-，3)，则椭圆的方程为 .12.P是椭圆 (ab0)上异于长轴端点的任一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若PF1F2=，PF2F1=，则椭圆的离心率用、表示就是 . 13.椭圆 (ab0)上一点M满足F1MF2=，其中F1、F2为椭圆的两个焦点，则F1MF2的面积等于 .三、能力提高14.已知椭圆的焦点在x轴上，P为椭圆上一点，F1、F2为两焦点，且PF1PF2，若P点到两准线的距离分别为6和12，求椭圆的标准方程.15.椭圆的左右焦点分别为F1和F2，过中心O作直线与椭圆交于A、B两点，若ABF2的面积为20，求直线AB的方程. 16.已知椭圆 (ab0)，F1、F2分别为其左、右焦点，P为椭圆上任意一点，=F1PF2，求的最大值及取得最大值时P点的坐标.17.已知椭圆+y2=1.(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(2)过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；(3)过点P且被P点平分的弦所在直线的方程.第1课 直线与椭圆习题解答1.D因b=1，a=2，c= 2.D因a2=，b2=2故由ab0得，0k0，n0).由得.故椭圆方程为：x2+=1.12.如图所示，在PF1F2中，由正弦定理得：|PF2|=2Rsin，|PF1|=2Rsin，|F1F2|=2Rsin(+). 13.如图所示，则由(2c)2=(2a)2-(22S+22Scos)cscc2=a2-csc(1+cos)SS=.14.如图所示，设椭圆的方程，焦距为2c，则|PF1|=6，|PF2|=12代入：|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2得36=4c2a2=45，又6+12=2，c=5，b2=a2-c2=20，故所求椭圆方程为：.15.当ABF1F2时，AB与F1F2不能垂直，可设直线AB的方程为：y=kx，设A、B两点的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)由得：(4+9k2)x2-180=0，|xA-xB|=SABF= SOBF + SOAF=|OF2|yB|+|OF2|yA|=5(|yB|+|yA|)=|yA-yB|SABF =20，|yA-yB|=20，|yA-yB|=8即|kxA-kxB|=8，亦即|k|=8，k=.故所求直线方程是y=x.16.设P(x，y)，则，|PF1|=a+x，同理|PF2|=a-x，在F1PF2中，由余弦定理：cos=-axa0x2a2，当x=0时，cos=最小.17.(1)设斜率为2并与椭圆相交的直线方程为：y=2x+m，直线与椭圆的交点为：A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，中点为P(x，y)从方程组中消去y并依x聚项整理得：9x2+8mx+(2m2-2)=0，-3m3消去m并整理得：x+4y=0 .(2)不妨设过A的直线方程为y-1=k(x-2)，即y=kx+(1-2k)从方程组中消去y并依x聚项整理得：(2k2+1)x2+4k(1-2k)x+(8k2-8k)=0.故有设l与椭圆交点为B