高三数学理立体几何中的计算人教知识精讲

用心 爱心 专心 高三数学（理）高三数学（理）立体几何中的计算立体几何中的计算人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 立体几何中的计算 二. 重点、难点： 1. 角度 （1）两条异面直线所成角 2 , 0( （2）直线与平面所成角 2 , 0 （3）二面角, 0 2. 距离 （1）作垂线 （2）体积转化 3. 体积 hSV 棱 ShV 3 1 锥 3 3 4 RV 球 【典型例题典型例题】 例 1 PA、PB、PC 两两垂直， 与 PA、PB 所成角为，求 与 PC 所成角。l4560l 解：解：构造长方体 1coscoscos 222 1cos 4 1 2 1 2 2 1 cos 60 例 2 正四棱锥中，AB=，SA=，M 为 SA 中点，N 为 SC 中点。ABCDS aa2 （1）求 BN、DM 所成角 （2）P、Q 在 SB、CA 上，求 PQ 与底面 ABCD 所成角。5:2:QACQPBSP 用心 爱心 专心 解：解： （1） ABDFCDF ABEMSBE 2 1 / 2 1 / 中点为 中点为 DFEM /MEFDEFMD/ H 为 SN 中点 BNEH 2 1 / aBN 2 6 aEH 4 6 aEF 2 6 aHF 4 34 6 1 cosHEF 异面直线 MD、BN 所成角为 6 1 arccos （2）过 P 作 PH/SO 交 BD 于 H PH面 ABCD 为 PQ 与底面所成角PQH 222 PHBHPBaPH 14 145 aHQ 14 26 13 915 tan HQ PH PQH 13 915 arctanPQH 用心 爱心 专心 例 3 直二面角，AB 与所成角为，AB 与lAABBAB 所成角为，求证：。 2 证明：证明：过 A 作 AC 于 C，过 B 作 BD 于 D llACBD BADABC AB BD sin 2 AB BC BAC sin BCBD BAC 2 BAC 当且仅当 C、D 重合时， 2 例 4 SA面 ABC，ABBC，DE 在面 SAC 内，垂直平分 SC，交 SC、AC 于 E、D，若 SA=AB=1，BC=，求二面角（1）；（2）。2ASCBCBDE 解：解： （1）面 DEB SC SCDE SCBE BC SBABSA 2 21 为二面角的平面角DEBBSCA 用心 爱心 专心 SACBD BDSA DBSCBEDSC 面 面 为二面角的平面角EDCEBDC BE DE DEB cos CD DE EDC cos AB=SA=1 AC= SC=23 BE=1 DE= CD= 3 3 3 32 3 3 arccosDEB 60EDB 例 5 正方体中，AB=1，求： 1111 DCBAABCD （1）D 到面 D1AC 的距离 （2）C 到面 AB1D1的距离 （3）M 为 BB1中点，M 到面 D1AC 的距离 （4）AC1与 BB1的距离 解：解： （1）连EACBD 面 AC ACDD BDAC 1 BBDD 11 过 D 作 DFD1E 于 F，面 D1ACDF EDDF DFAC 1 DF 为距离 3 3 DF 用心 爱心 专心 （2）设 C 到面的距离为 11D ABh hSV DABDABC 1111 3 1 hV60sin)2( 2 1 3 1 3 1 2 正 3 32 h （3）连 DM 交 D1E 于 H，设 M 到面 D1AC 距离为h h DF HM DH 3 2 2 1 HM DH DHMG 2 3 h （4）),( 11 BBACd),( 111 AACCBBd面 2 2 ),( 11 BEAACCBd面 例 6 四棱锥，底面 ABCD 为菱形，AB=2，PB=PD，PA=PC=ABCDP 60BAD ，求：6 （1）B 到面 PAD 的距离 （2）BC 与 PA 的距离 （3）AC 与 PD 的距离 解：解： （1），连 PHHBDAC 用心 爱心 专心 EPABEB PABDPACBD BDAC ABCDPH BDPH ACPH 于作过 面 菱形 面 面 DBE PA 面 PED BF BFPA FDEBFB于作过 BF 为所求 PB=26PA3AH3PH BE=DE= BD=2 BF= 2 10 5 152 另 hSVV PADABDPABCDP 3 1 2 1 5 152 h （2）（BC，面 PAD）=（B，面 PAD）=dPABCd),(d 5 152 （3）过 H 作 HMPD 于 M 为公垂线HM PDHM MHACPDHAC 面 ，3PH2PD1DH 2 3 HM 例 7 斜四棱柱，棱长均为 2， 1111 DCBAABCD 60 11 BADADAABA 求四棱柱的体积。 解：解：过 A1作 A1H面 ABCD 于 H H 在的平分线上ADAABA 11 A 过 H 作 HEAB 于 EABEA 1 3 6 1 HA 3 62 1 AA 2460sin 2 1 2 1 HAADABV 用心 爱心 专心 【模拟试题模拟试题】（答题时间：60 分钟） 1. 正四棱锥的侧面是等边三角形，E 是 PC 的中点，则异面直线 BE 和ABCDP PAB PA 所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 3 3 2 3 2 2 2 1 2. 若正三棱锥的斜高是锥高的倍，则棱的侧面积是底面积的（ ） 3 32 A. 倍 B. 2 倍 C. 倍 D. 3 倍 3 2 3 8 3. 侧面为等边三角形的正三棱锥，其侧面与底面所成二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 2 3 2 2 2 1 3 1 4. 设一个三棱锥的侧面与底面所成的角为，相邻两侧面所成的角为，那么两个角 与的三角函数关系是（ ） A. B. 1cos3cos2 2 1cos3cos2 2 C. D. 1cos2cos3 2 1cos2cos3 2 5. 棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分截锥的侧棱，侧面积、体积时，相应 的截面面积分别为 S1、S2、S3，则（ ） A. B. 321 SSS 123 SSS C. D. 312 SSS 231 SSS 6. 已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，SA=5，SB=4，SC=3，D 为 AB 的中点，ABCS E 为 AC 的中点，则四棱锥 SBCED 的体积是（ ） A. 10 B. C. D. 2 15 2 25 2 35 7. 如图所示，已知底面是正方形的四棱锥，其一条侧棱与底面垂直，它的长与底面边长 相等，长度均为 1，那么该棱锥中最长的棱长是（ ） A. B. C. D. 32322 用心 爱心 专心 8. 正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全 面积之比为（ ） A. B. C. D. 23 2 6 3 32 9. 过正方体每三个顶点都可以确定一个平面，其中能与这个正方体的 12 条棱所成的角 相等的不同平面有 。 10. 已知三棱锥的一条棱长为 1，其余各棱长皆为 2，则此三棱锥的体积为 。 11. 三棱锥 PABC 的体积为 V，AE、BF、CG 分别等于所在棱长的、，则三棱 5 1 4 1 3 1 锥 PEFG 的体积等于 。 12. 正四棱锥 SABCD 的高为 2，底面边长为，P、Q 两点分别在线段 BD 和 SC 上，2 则 P、Q 两点间的最短距离为 。 13. 三棱锥