晋冀鲁豫名校高三数学期末联考

晋冀鲁豫名校2019届高三数学上学期期末联考试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先求得集合A,B，然后求解其并集即可.【详解】本题选择D选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，并集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.若为虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数除法运算化简复数，由此得出正确选项.【详解】依题意，故选B.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题.3.若直线平分圆，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】【分析】由题意可知直线经过圆心，据此得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值.【详解】当直线经过圆心时平分圆，所以，圆心在直线上，所以，解得本题选择A选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（ ）A. 45B. 47C. 48D. 63【答案】A【解析】【分析】由茎叶图确定所给的所有数据，然后确定中位数即可.【详解】各数据为：122031323445454547474850506163，最中间的数为：45，所以，中位数为45本题选择A选项.【点睛】本题主要考查茎叶图的阅读，中位数的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.已知双曲线的离心率为；关于的方程（）有两个不相等的实数根，则下列为假命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由双曲线的方程求解双曲线的离心率可知p为假命题，由判别式为正数可知命题q为真命题，然后考查选项中所给的复合命题的真假即可.【详解】双曲线中，所以，离心率为为假命题；对于命题q:，所以方程（）有两个不相等的实数根，为真命题，考查所给的命题：A.是真命题，B.是真命题，C.是假命题，D.是真命题.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的计算，一元二次方程根的个数的判定，复合命题真假的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.若，且是第三象限角，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意结合诱导公式首先求得，然后结合同角三角函数基本关系求得，最后由诱导公式求解的值即可.【详解】是第三象限角，所以，【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.若执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先确定流程图的功能为计数的值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果.【详解】由题意结合流程图可知流程图输出结果为，.本题选择C选项.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证8.我国南北朝时期的数学著作张邱建算经有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三金，持出，中间三人未到者，亦等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两个人所得金相差数额绝对值的最小值是（ ）A. 斤B. 斤C. 斤D. 斤【答案】C【解析】【分析】由题意将原问题转化为等差数列的问题，列方程组可得，结合题意可确定两个人所得金相差数额绝对值的最小值.【详解】设首项为，公差为，则根据题意可得，解得则两个人所得金相差数额绝对值的最小值是斤.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查等差数列及其应用，属于基础题.9.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】A【解析】【分析】首先由三视图还原所给的几何体为三棱锥，然后结合体积公式求解其体积即可.【详解】据三视图分析知，该几何体是如图所示的棱长为2的正方体被平面解得的三棱锥，且是正方体所在棱的中点，所以该几何体的体积【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解10.已知函数，若，则下列关系式中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先由均值不等式和不等式的性质比较自变量的大小可得，然后结合函数区间上单调递增比较p,q,r的大小即可.【详解】因为，所以，又，又因为函数在区间上单调递增，所以，即【点睛】本题主要考查函数的单调性，均值不等式比较代数式的大小等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.已知过抛物线的焦点作斜率为的直线交抛物线于两点，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，若四边形的面积是，则抛物线的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，联立直线方程与抛物线方程可得，结合韦达定理有则四边形的面积为，据此得到关于p的方程，解方程即可确定抛物线方程.【详解】据题意，得直线的方程为由 ，得设，则所以，所以，解得，所以抛物线的方程为【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线方程的求解，韦达定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知函数有且只有3个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可得，由题意可知函数的图象与函数的图象有且只有三个交点，据此确定实数t的取值范围即可.【详解】令，得，作出函数的图象，据题设分析可知，函数的图象与函数的图象有且只有三个交点，则实数的取值范围是【点睛】本题主要考查分段函数的零点问题，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上13.已知，则向量与夹角的正弦值为_【答案】【解析】【分析】由题意利用向量夹角公式首先求得向量夹角的余弦值，然后结合同角三角函数基本关系求解其正弦值即可.【详解】，【点睛】本题主要考查平面向量的夹角，同角三角函数基本关系及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知实数满足不等式组，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】首先画出可行域，由几何意义可知当取得最小值时，直线系方程的截距最大，即目标函数在点C处取得最小值，求得点C的坐标，代入目标函数求解其最小值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即，由几何意义可知当取得最小值时，直线系方程的截距最大，则目标函数在点C处取得最小值，联立直线方程：，可得点C的坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：.故答案为：-43【点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.15.的展开式中的常数项为_【答案】【解析】【分析】由题意首先写出展开式的通项公式，然后结合所给的式子求解其常数项即可.【详解】三项式展开式的通项公式为，所以的展开式中的常数项为： 【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解16.已知数列的前项和为，若对成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意首先将递推关系式整理为关于的形式，然后结合等比数列通项公式可得，由前n项和公式确定通项公式，计算可得，结合恒成立的条件可得恒成立，据此讨论可得实数a的取值范围.【详解】据题意，得：又，当时，；当时：，又当时，恒成立，对，且成立，又成立综上，所求实数的取值范围是【点睛】给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答17.在中，角的对边分别为（1）求证：；（2）若，求的周长【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由题意，切化弦整理可得，然后利用正弦定理边化角，逆用两角和差正余弦公式即可证得题中的结论.（2）据（1）可知，结合余弦定理有， 据此求得a,b的边长，然后确定ABC的周长即可.【详解】（1）由题得，所以 又因为，所以，所以，所以，所以，又因为为的角，所以 （2）据（1）可知，所以，又因为，所以， 所以所以的周长【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.如图，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，分别是的中点（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正切值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由几何关系可知四边形是平行四边形，则 由线面平行的判定定理可得平面 由中位线的性质可知，则面 利用面面平行的判定定理即可证得平面平面 （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，计算可得平面的一个法向量而平面的一个法向量为据此可得，然后结合同角三角函数基本关系求解二面角的正切值即可.【详解】（1）因为是的中点，所以 又因为， ，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以 又因为平面平面，所以平面 因为分别是的中点，所以 又因为平面平面，所以面 又因为平面平面，所以平面平面 （2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则，所以 设平面的一个法向量为，则，令，得，所以 易知平面的一个法向量为所以又因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的正切值 【点睛】本题主要考查面面平行的判定定理，空间向量处理面面角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.“共享单车”的操控企业无论是从经济效益，还是从惠及民生都给人们带来一定方便，可是，国人的整体素养待提高，伤痕累累等不文明行为也遍及大江南北某市建立了共享单车服务系统，初次交押金时个人积分为100分，当积分低于60分时，借车卡将自动锁定，禁止借车共享单车管理部门按相关规定扣分，且扣分规定三条如下：i共享单车在封闭式小区、大楼、停车场、车库等区域乱停乱放，扣1分；ii闯红灯、逆行、在机动车道内骑行，扣2分；iii损坏共享单车、私自上锁、私藏，扣5分已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次：甲、乙扣1分的概率分别是0.4和0.5；甲、乙扣2分的概率分别是0.4和0.3；租用共享单车人均触规定三条中一条，且触规定三条中任一条就归还车（1）求甲、乙两人所扣积分相同的概率；（2）若甲、乙两人在初次租用共享单车一次后所剩下的积分之和为X，求随机变量X的数学期望【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）记“甲扣1分、2分、3分”，“乙扣1分、2分、3分”为事件，由题意可知各个事件相互独立，且易知每个事件的概率，据此计算甲、乙两人所扣积分相同的概率即可.（2）设甲、乙两人在各租用共享单车一次之后所扣积分之和为，易知的可能取值为2，3，4，6，7，10 求得相应的概率值得到分布列，然后计算数学期望即可.【详解】（1）记“甲扣1分”为事件，“甲扣2分”为事件，“甲扣5分”为事件， 记“乙扣1分”为事件，“乙扣2分”为事件，“乙扣5分”为事件， 据题设知，彼此相互独立记“甲、乙两人所扣积分相同”为事件，则 （2）设甲、乙两人在各租用共享单车一次之后所扣积分之和为，则的可能取值为2，3，4，6，7，10 所以的分布列为： 2346710P0.20.320.120.180.140.04故【点睛】本题主要考查独立事件概率公式，离散型随机变量的分布列与数学期望的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知椭圆的离心率为，短轴长为（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆交于两点，则在轴上是否存在一个定点使得直线的斜率互为相反数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，也请说明理由【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）据题意，得 ，求解方程组确定a,b的值即可求得椭圆方程；（2）据题设知点，当直线的斜率存在时，设直线的方程为与椭圆方程联立，结合韦达定理有 假设存在点M满足题意，则，结合韦达定理求解实数m的值即可；然后讨论斜率不存在的情况即可确定定点M存在.【详解】（1）据题意，得 解得， 所以椭圆的标准方程为（2）据题设知点，当直线的斜率存在时，设直线的方程为由，得设，则 设，则直线的斜率分别满足又因为直线的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以，所以，所以 若对任意恒成立，则，当直线的斜率不存在时，若，则点满足直线的斜率互为相反数 综上，在轴上存在一个定点，使得直线的斜率互为相反数【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题21.定义：若函数的导函数是奇函数（），则称函数是“双奇函数” 函数（1）若函数是“双奇函数”，求实数的值；（2）假设（i）在（1）的条件下，讨论函数的单调性；（ii）若，讨论函数的极值点【答案】（1）0；（2）（i）见解析；（ii）见解析【解析】【分析】（1）由题意结合“双奇函数”的定义可知对任意且成立， 据此计算实数a的值即可；（2）（i）由题意结合(1)的结论可知，由导函数的符号讨论函数的单调性即可；（ii）由函数的解析式可知当时，令，则据此结合函数的单调性讨论函数的极值即可.当时， ，据此分段讨论函数的极值的情况即可.【详解】（1）因为，所以 又因为函数是“双奇函数”，所以对任意且成立， 所以，解得 （2）（i）（，且）由（1）求解知，则，所以令，得；令，得，故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减 （ii）当时，令，则（舍去）分析知，当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值点，不存在极大值点 当时， 当时，令，得（舍）若，即，则，所以在上单调递增，函数在区间上不存在极值点；若，即，则当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数在区间上存在一个极小值点，不存在极大值点 当时，令，得，记若，即时，所以在上单调递减，函数在上不存在极值点；若，即时，则由，得分析知，当时，；当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数存在两个极值点 综上，当时，函数存在两个极值点，且极小值点，极大值点；当时，函数无极值点；当时，函数的极小值点，无极大值点【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用22.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负