高二数学曲线和方程例题解析人教

高二数学曲线和方程一. 本周教学内容： 课题：曲线和方程 教学目标： 使学生理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义。掌握求曲线的方程的一般步骤，并能根据已知条件较熟练地求出曲线的方程。 能力训练： 培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，强化数形转换的思想方法。二. 重点、难点： 重点：曲线和方程的概念以及求曲线的方程的步骤和一般方法。 难点：对“曲线的方程”和“方程的曲线”的意义中两个规定的理解，在求曲线的方程中一时难以把握其解法规律。【教学过程】一. 知识小结： 1. 曲线和方程的关系： 若：（1）曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解； （2）以方程f(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上， 则 这个方程f(x，y)=0叫做曲线C的方程，这条曲线C叫做方程f(x，y)=0的曲线。 2. 求曲线方程的一般步骤： （1）建立适当的坐标系，设曲线上任意一点M(x，y)。 （2）写出适合条件P的点M的集合P=M|P(M)。（找等量关系） （3）用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0； （4）化方程f(x，y)=0为最简形式； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 注：步骤（2）和（5）可以省略不写，如有特殊情况可适当予以说明。【典型例题】 1. 应用曲线和方程的定义解题： 例1. 点P1（3，4），P2（2，3）是否在方程x2+y2=25表示的曲线上？为什么？ 解：32+(4)2=25 点P1在曲线x2+y2=25上。 理由：根据定义中的（2） (2)2+3225，点P2不在曲线x2+y2=25上。 理由：根据定义中的（1）。 例2. 若命题“曲线C上的点都是方程f(x，y)=0的解”是正确的命题。 不是曲线上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)=0。 坐标满足方程f(x，y)=0的点均在曲线C上。 曲线C是方程f(x，y)=0的曲线。 上述三个命题正确的有（ ） A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 解：取曲线C为直角坐标系第一和第三象限的角平分线。 取方程为：x2y2=0。 此时原命题正确，但是全不对，选A。 例3. 已知点A（a，b）既是曲线y=x2+2x+1上的点，也是直线4xy=0上的一点，求点A的坐标。 解：根据点A在曲线上，则点A的坐标为方程的解。 若点A同时在两条曲线上，则A点为两曲线的公共点。 再根据两曲线的交点即是它们的方程组的解知： 2. 在给定坐标系中求曲线的方程： 例1. 已知ABC的顶点B（0，0），C（4，0），AB边上中线的长为3，求顶点A的轨迹方程。 解： CM为AB边上的中线。 |CM|=3。 注：（1）要数形结合，从图中易知y0。 （2）求哪点的轨迹就设哪点的坐标为（x，y）。 例2. 在ABC中，已知顶点A（1，1），B（3，6）且ABC的面积等于3，求顶点C的轨迹方程。 解：设C（x，y），作CHAB于H。 即|5x2y3|6。 5x2y90或5x2y30为C点的轨迹方程。 例3. 过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1、l 2，若l1交x轴于A，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。 解：（法一）设M（x，y） M（x，y）是线段AB的中点， A（2x，0），B（0，2y）。 l1l2，且l1、l2都过P（2，4）， kPAkPB1 当x=1时，A（2，0），B（0，4），AB中点M（1，2） M（1，2）满足x2y50 综上得M点的轨迹方程为x2y50。 （法二）：设M（x，y），则A（2x，0），B（0，2y） 化简得 x2y50即为所求。 （法三）：设M（x，y），则A（2x，0），B（0，2y）， 即 x2y50为所求。 （法四）：设M（x，y） 即 x2y50。 3. 自己建立直角坐标系求曲线的方程。 例1. 在ABC中，AB=AC=BC，P为ABC内一点，且|PA|2=|PB|2+|PC|2，求点P的轨迹方程。 解：以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点， BC的中垂线为y轴建立直角坐标系。 设P（x，y）是轨迹上任意一点，B（a，0），C（a，0）， |PA|2=|PB|2+|PC|2 P在ABC内 y0。 注：在求方程时，要注意去掉不符合条件的点。 例2. 已知在ABC中，|BC|=6，BC边上的高等于2，点A在与BC平行的直线l上运动，求ABC的垂心的轨迹。 解：以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴如图建立直角坐标系。 则B（3，0），C（3，0），A（a，2）。 BC边上的高线方程为x=a。 设垂心为H（x，y）， 则垂心应为BC边上的高线x=a与AC边上的高线2y3x9ax3a的交点， 例3. Q为曲线x2+y2=4上任意一点，定点A（0，4）。 解：设P（x，y），Q（x1，y1） Q（3x，3y8）。 又Q点在曲线x2+y2=4上， 1. “点M在曲线y=|x|上”是“点M到坐标轴距离相等”的（ ） A. 充要条件；B. 必要不充分条件； C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件。 2. 过点P（5，1）引直线交曲线y2=2x于A，B两点，若P恰好是线段AB的中点，则此直线的方程为： 3. 已知A（4，0），点B在圆x2+y2=1上运动，C（0，4），求ABC的重心G的轨迹方程。参考答案 1. 提示：设甲：点M在曲线y=|x|上； 乙：点M到坐标轴距离相等； 选C。 2. 提示：所求直线过已知点P（5，1）