高二数学：三角函数变换人教实验B知识精讲

用心 爱心 专心 高二数学高二数学专题：三角函数变换专题：三角函数变换人教实验版（人教实验版（B B） 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 专题：三角函数变换 二. 重点与难点： 1. 三角函数的图象与性质； 2. 同角三角函数的基本关系式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和积互化公式等三 角公式的应用。 三. 知识分析： 1. 三角函数是一类重要的初等函数，因其在数列、不等式、解析几何（如直线的倾斜角， 参数方程，极坐标） 、立体几何（如两条异面直线成角，直线与平面的成角，二面角）中有 着广泛的应用，因此对三角函数与三角变形要有足够的认识。 2. 三角函数的周期性，以及 ysinx，ycosx 的有界性是试题经常考查的重要内容。要 掌握形如 yAsin（x）或 yAcos（x）的函数的周期的求法；灵活应用 ysinx，ycosx 的有界性研究某些类型的三角函数的最值（或值域）问题。 3. 三角恒等式的证明因其技巧性较强，一度成为数学的难点，近些年的高考试题对这类 题目的考查在减少，要求有所降低，但我们应该充分重视三角变形，因为其中体现了对三 角公式的运用能力，尤其体现了事物之间互相联系，互相转化的辩证思想。 4. 基于上述几点理由，建议同学们在复习这部分内容时，做到“立足课本，落实三基； 重视基础，抓好常规”即复习时以中低档题目为主，注意求值化简题以及求取值范围的习 题，另外，注意充分利用单位圆，三角函数图象研究问题。 【典型例题典型例题】 例例 1. ，已知 8 1 cossin_sincos 24 的值为，则且 分析：分析： cossin21)sin(coscossinsincos 2 与与与与与与与与 可知，欲求的值，不妨先求的值，另外，应注意到，当cossin(cossin ) 2 42 0时，故sincoscossin 解析：解析：(cossin )sin cos 2 1212 1 8 3 4 而 42 cossin0 cossin 3 4 3 2 即的值为cossin 3 2 例例 2. ，求函数的最小已知函数（ 为常数，且）yxaxaasinsin 2 1 2 0 用心 爱心 专心 值。 分析：分析：若将 sinx 换元，则函数转化为二次函数，从而可把三角函数的最值问题转化为 二次函数的最值问题，但要注意到：转化后所得二次函数的定义域。 解析：解析：设，由于，故，sinxtxRt 11 原函数化为ytat 2 1 2 ()t aa t 24 1 2 11 2 2 ， 当， ，即时， 的最小值为； a ay a 2 1120 4 1 2 2 当， ，注意到，可知， a a 2 110 a 2 1 y2a1 2 a 取的最小值为时，即当 综上，得，当时，； 20 4 1 2 2 ay a min 当时，aya 2 1 2 min 点评：点评：在求解三角函数的最值时，注意三角函数的有界性。 例例 3. 函数的最小正周期是。yxxsin()cos 3 22 分析：分析：一般地，要求三角函数的最小正周期，往往要用到如下结论： 式通形如的最小正周期。为此，需先把给定的函数解析yAxTsin() | | 2 过三角公式，变形为上述结论中的函数形式。 解析：解析：yxxsin()cos 3 22 sincoscossincos 3 2 3 22xxx ()cos() sin 3 2 12 1 2 2xx 232sin()x tan232 其中角满足：，显然 最小正周期T 2 2 | | 或按如下方法化简解析式： yxxsin()cos 3 22 sin()sin() 3 2 2 2xx 用心 爱心 专心 2 5 12 2 12 sin() cos() x 2 12 2 5 12 cossin() x 显然 2 最小正周期T 2 2 | 点评：点评：一般地，如果给定的函数解析式不是形如 yAsin（x）的形式，在求其 最小正周期时，往往先将解析式变形为 yAsin（x）的形式。 例例 4. 2 cos2sin2 tan2. 1cos 若，则的值 分析一：分析一：观察角，函数名称的关系后，易联想到万能公式，于是可以按照如下方式去 求值。 解析：解析：原式 cossin cos 22 1 12 2 2 22 32 cossin cos 2 22 2 2 1tan2tan 1tan1tan 2 1tan 3 1tan 2 2 1tan2tan 2 42tan 2 1222 422 1 6 2 2 ()() () 分析二：分析二：联想到关于 sin，cos 的齐次公式可以化切，于是可以按照如下方式求值。 解析：解析：原式 (cossin)sincos (sincos)cos 22 222 2 2 2 1tan2tan tan2 1222 22 1 6 2 2 ()() () 点评：点评：两相比较，发现解法二更为简捷，事实上，对于已知 tan 的值，而求关于 sin，cos 的齐次公式的值时，方法二更具有通用性。 例例 5. 已知的三内角分别为 、 、 ，且满足ABCABCACB 2 112 2coscoscos cos ACB C ，求的值。 A 分析：分析：这是一道以三角形为背景材料的三角函数问题，要注意题中的隐藏条件： ABCACBBAC180260120 ，又二式联立，易得，这对式 子的变形很有帮助。若把等式左边通分，积差化积，积 112 coscoscosACB 用心 爱心 专心 化和差后，就会变形得到关于的式子，从而可求得的值，cos()cos()ACAC 再利用半角公式，即可求得的值，亦可能变形后，直接得到coscos ACAC 22 的式子，从而立即求值。 解析：解析： ACBABC2180，又 BAC60120 ， 11 coscos coscos coscosAC AC AC 2 22 1 2 coscos cos()cos() ACAC ACAC 260 2 1 2 120 coscos coscos() AC AC cos cos() AC AC 2 1 4 1 2 cos ( cos) AC AC 2 1 4 1 2 2 2 1 2 cos cos coscos AC AC B 2 2 3 4 22 60 2 2 2 即，解关于的二次方程cos(cos)cos ACACAC 2 2 2 2 3 42 2 得或coscos() ACAC 2 2 22 3 2 4 1 coscos ACAC 2 3 2 4 1 2 2 2 不合题意，应舍去，故 例例 6. 求值：sincossincos 22 208032080 解法一：解法一： （利用降幂公式，变形）sin cos cos cos 22 12 2 12 2 原式 140 2 1160 2 32080 coscos sincos 1 1 2 1604032080(coscos)sincos 用心 爱心 专心 1 1 2 210060 3 2 10060()sinsinsinsin() 1 3 2 100 3 2 100 3 4 1 4 sinsin 解法二：解法二：（异角化同角：，）806020 原式 sincos(cossin) 2 208080320 sincos()cos()sin 2 2060206020320 sin(coscossinsin)(coscossinsin 2 206020602060206020 320sin) sin(cossin) (cossin) 2 20 1 2 20 3 2 20 1 2 20 3 2 20 sincossin 222 20 1 4 20 3 4 20 1 4 20 1 4 20 1 4 22 sincos 例例 7. 已知在一半径为 1，圆心角为的扇形中，有一个一边在半径上的内接矩形 3 ABCD， （如图） ，求该矩形的最大面积。 D C O A B 分析：分析：欲求矩形的最大面积，按照函数的思想就是求面积函数的最大值，因此需要先 依照题意，建立面积函数，选哪个量作自变量呢？经尝试发现：选取COB 为面积函 数的自变量最优，于是可建立一个以角 为自变量的三角函数来表示矩形面积，进而研究 该函数的最值即可。 解析：解析：设，（）COB 0 3 则，BCABOBOAsincossin 3 3 SAB BC ABCD矩形 (cossin) sin 3 3 1 2 2 3 3 2 sinsin 1 2 2 3 3 12 2 sin cos 1 2 2 3 6 2 3 6 sincos 用心 爱心 专心 3 3 2 6 3 6 sin() 当，即时sin()2 6 1 6 S ABCD矩形 取最大值 3 6 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题 1. 函数的图象的一条对称轴方程是（ ）yxsin()2 5 2 A. B. C. D. x 2 x 4 x 8 x 5 4 2. 下列函数中，以为周期的函数是（ ） 2 A. B. yxxsincos24yxxsincos24 C. D. yxxsincos22yxxsincos22 3. 函数yx sin() 222 在，上是（） A. 增函数B. 减函数 C. 偶函数D. 奇函数 4. 函数的最小值为（ ）yxxsincos2 A. B. C. 0D. 12222 5.函数的部分图象是（ ）yxx cos y y y y O O x O x x O x A B C D 6. 若x 的取值范围是（ ）sincos 22 xx，则 A. x kxkkZ|2 3 4 2 4 ， B. x kxkkZ|2 4 2 5 4 ， C. x kxkkZ| 44 ， D. x kxkkZ| 4 3 4 ， 7. 已知是第三象限的角，若等于（ ）sincossin 44 5 9 2，则 用心 爱心 专心 A. B. C. D. 2 2 3 2 2 3 4 3 2 3 8. 已知是第三象限的角，且（ ） 24 sintan 252 ，则 A. B. C. D. 4 3 3 4 4 3 3 4 9. 当 22 3xyxx时，函数的（）sincos A. 最大值为 1，最小值为1B. 最大值为 1，最小值为 1 2 C. 最大值为 2，最小值为D. 最大值为 2，最小值为21 二. 填空题 10. 函数的最小正周期为_yxsin()2 11. 函数的最大值为_。f xxxx( )sin coscos34 2 12. 角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若，则ABC 的形状是ABC中， a b B A cos cos _。 13. 求值：_ sincossin cossinsin 7158 7158 三. 解答题： 14. 已知的值 1 tansin() 226 ，求 15. 在分别是角 A、B、C 的对边，设，求ABCabc中， 、 、acbAC2 3 ， sinB 的值。 16. 已知函数，yxxx 1 2 3 2 1 2 cossincosxR （I）当 y 取最大值时，求自变量 x 的集合； （II）该函数的图象可由 ysinx，的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？()xR 用心 爱心 专心 【试题答案试题答案】 一. 选择题 1. 选（A） 提示：由的图象可知，若其对称轴方程为yxxxsin()sin()cos2 5 22 22 ，则 y 取最值，故只需求出使 y 取最值时的即可得到对称轴方程。显然当xx 0 x0 时，y 取最值，2 2 xkx k kZ ，即（）对称轴方程为，x k kZ 2 () 。kx 1 2 时， 2. 选（D） 提示：把 A、B、C、D 选择支中的函数解析式变形为后，易由yAxsin() 的只有（D）TT 2 2 | | ，计算求得 3. 选（C） 提示：yxxsin()cos 2 4. 选（A） 提示：yx2 4 2sin() ， y 有最小值当时，sin()x 4 122 5. 选（B） 提示：显然yxxAC cos 为奇函数，故排除（ ）、（ ） 令且，判断出相应的， 即当横坐标且时，纵坐标，故弃（ ）选（ ） xxy xxyDB 000 000 6. 选（D） 提示：由，得sincoscossin 2222 0 xxxx 即，从而cos202 2 22 3 2 xkxk kxkkZ 4 3 4 ， 7. 选（A） 提示：sincos 44 (sincos)sincos 22222 2 1 1 2 2 5 9 2 sin sin22 8 9 用心 爱心 专心 22 3 2 42243 20 2 2 2 3 kk kkkZ （） sin sin 8. 选（C） 提示：利用半角公式tg 21 sin cos 9. 选（D） 提示：，而yxxxsincossin()32 3 22 x xx 36 5 63 1 2 1，故，sin() yy maxmin 21， 二. 填空题 10. 最小正周期T 2 11. 最大值为 1 2 提示：f xx x x( )sin cos sin() 3 2 24 12 2 5 2 22 当时，取最大值sin()( )21 5 2 2 1 2 xf x 12. 是等腰三角形或直角三角形ABC 提示：利用正弦定理，有 a b A B sin sin 从而 sin sin cos cos A B B A ，故 sinsin222222ABABAB，或 即或ABAB 2 13. 原式23 原式 sin()cossin cos()sinsin 158158 158158 sincos coscos 158 158 tan15tan(4530 ) 1 3 3 1 3 3 33 33 23 用心 爱心 专心 1 sin7(sin23sin7 ) sin23sin72sin15 cos8 2 1 cos23cos72cos15 cos8 cos7(cos23cos7 ) 2 tan15 或原式 （同解法一） 三. 解答题 14. 解：由tg 2 1 2 得tg tg tg 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 4 3 22 ( ) 若是第一象