高二数学：三角函数的性质及三角恒等变形人教实验B知识精讲

用心 爱心 专心 高二数学专题：三角函数的性质及三角恒等变形高二数学专题：三角函数的性质及三角恒等变形人教实验版（人教实验版（B B） 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 专题：三角函数的性质及三角恒等变形 【考点梳理考点梳理】 一、本章考试内容 1. 角的概念的推广，弧度制 2. 任意角的三角函数、单位圆中的三角函数、同角三角函数的基本关系、正弦、余弦的 诱导公式 3. 两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切 4. 正弦函数、余弦函数的图像和性质、周期函数、函数 y=Asin（x+）的图像、正 切函数的图像和性质、已知三角函数值求角 5. 余弦定理、正弦定理利用余弦定理、正弦定理解斜三角形 二、本章考试要求 1. 理解任意角的概念、弧度制的意义，并能正确地进行弧度和角度的换算 2. 掌握任意角的三角函数的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的 基本关系，掌握正弦、余弦的诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义，了解奇函数、 偶函数的意义 3. 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公 式 4. 能正确地运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明 5. 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余 弦函数和函数 y= Asin（x+）的简图，理解 A、的物理意义 6. 会由已知三角函数值求角，并会用符号表示arcsin ,arccos ,arctanxxx 7. 掌握余弦定理、正弦定理，并能初步运用它们解斜三角形 三、全章知识网络： 用心 爱心 专心 【命题研究命题研究】 分析近五年的全国高考试题，有关三角函数的内容平均每年有 25 分，约占 17%试题 的内容主要有两方面；其一是考查三角函数的性质和图象变换；尤其是三角函数的最大值、 最小值和周期，题型多为选择题和填空题；其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有 关公式求值，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题中出现外，解答题的中档题也 经常出现这方面的内容，是高考命题的一个常考的基础性的题型其命题热点是章节内部 的三角函数求值问题，命题新趋势是跨章节的学科综合问题数学试题的走势，体现了新 课标的理念，突出了对创新能力的考查 如：福建卷的第 17 题设函数，ba)x(f 2cos ,1 ,ax 其中向量 ； cos , 3sin2bxx ,.xR 113, 3 3 xx 若fx且求 （2）若函数的图象按向量平移后得到函数的y=2sin2x, 2 m nm c y=fx 图象，求实数的值此题“重视知识拓宽，开辟新领域” ，将三角与向量知识交汇m、n 【复习策略复习策略】 三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的 降调倾向，突出“和、差、倍角公式”的作用，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对 三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点第一轮复习的重 点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能 的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习 以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度当然，这 一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和 用心 爱心 专心 特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，难度以灵活掌握倍角的余弦公式 的变式运用为宜由于三角函数解答题是基础题、常规题，属于容易题的范畴，因此，建 议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋 势总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力 解答三角函数高考题的一般策略： （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析” （2）寻找联系：运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系 （3）合理转化：选择恰当的三角公式，促使差异的转化 三角函数恒等变形的基本策略： （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如 1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45 等 （2）项的分拆与角的配凑如分拆项：sin2x+2cos2x=（sin2x+cos2x） +cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+），=等 2 2 （3）降次，即二倍角公式降次 （4）化弦（切）法将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切） （5）引入辅助角asin+bcos=sin（+） ，这里辅助角所在象限 22 ba 由 a、b 的符号确定，角的值由 tan=确定 a b 【典型例题分析与解答典型例题分析与解答】 例 1、化简sinsincoscoscoscos 2222 1 2 22 分析：分析：对三角函数式化简的目标是： （1）次数尽可能低； （2）角尽可能少； （3）三角函数名称尽可能统一； （4）项数尽可能少 观察欲化简的式子发现： （1）次数为 2（有降次的可能） ； （2）涉及的角有 、2、2， （需要把 2 化为 ，2 化为 ） ； （3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一） ； （4）共有 3 项（需要减少） ，由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一 种 解法一：解法一：（复角单角，从“角”入手） 原式 sinsincoscos( cos)( cos) 222222 1 2 21 21 sinsincoscos( coscoscoscos) 22222222 1 2 4221 sinsincoscoscoscos 222222 1 2 用心 爱心 专心 sinsincossincos 22222 1 2 sincos 2 1 2 1 1 2 1 2 解法二：解法二：（从“名”入手，异名化同名） 原式 sinsin(sin) coscoscos 2222 1 1 2 22 cossin(cossin)coscos 2222 1 2 22 cossincoscoscos 22 2 1 2 22 coscos(sincos) 22 2 1 2 2 12 2 2 1 2 12 22 cos cossin(sin) 12 2 1 2 2 1 2 cos cos 解法三：解法三：（从“幂”入手，利用降幂公式先降次） 原式 12 2 12 2 12 2 12 2 1 2 22 coscoscoscos coscos 2cos2cos1 ( 4 1 )2cos2cos2cos2cos1 ( 4 1 )2cos2cos2cos2cos 2 1 1 4 1 4 1 2 解法四：解法四：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） 原式 (sinsincoscos )sinsincoscoscoscos 2 2 1 2 22 2cos2cos 2 1 2sin2sin 2 1 )(cos 2 cos ()cos() 2 1 2 22 1)(cos2 2 1 )(cos 22 1 2 点评：点评：在对三角函数式作变形时，以上四种方法，提供了四个变形的角度，这也是研 究其他三角函数问题时经常要用的变形手法 例 2、已知函数的图像过点，且( )sincos ()f xabxcx xR(01)(1) 2 AB且且且 b0，又的最大值为， （1）求函数 的解析式；（2）由函数y=图( )f x2 21( )f x( )f x 像经过平移是否能得到一个奇函数y=的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，( )g x 请说明理由 用心 爱心 专心 解析：解析：（1），由题意， 22 ( )sincossin()(tan) c f xabxcxabcx b 可得 ，解得， 22 1 1 2 21 ac ab abc 1 2 2 a b c 所以；( )12sin2cosf xxx （2），将的图像向上平移 1( )12sin2cos2 2sin() 1 4 f xxxx ( )f x 个单位得到函数的图像，再向右平移单位得到的图像，2 2sin() 4 yx 4 2 2sinyx 故将的图像先向上平移 1 个单位，再向右平移单位就可以得到奇函数y=的图( )f x 4 ( )g x 像 点评：点评：本题考查的是三角函数的图象和性质等基础知识，这是高考命题的重点内容， 应于以重视 例 3、为使方程在内有解，则的取值范围是（ ）0sincos 2 axx 2 , 0 a AaBa.1111 CaD a. 10 5 4 分析一：分析一：由方程形式，可把该方程采取换元法，转化为二次函数：设 sinx=t，则原方 程化为，且，于是问题转化为：若关于 的一元二次方程0=1-a-t+t 2 10t，t 在区间上有解，求的取值范围，解法如下： 01 2 att10，a 设由已知条件f ttta( ) 2 1 有 f f a a a ( ) ( ) 00 10 10 10 11 aaB的取值范围为，故选（ ）11 用心 爱心 专心 分析二：分析二： 2 0sincos0sincos 22 ，得由方程xxxaaxx 于是问题转化为：求函数上的值域 2 0(xsinxcosa 2 ，在 解法如下： axxxxx cossinsinsin(sin) 222 1 1 2 5 4 x 0 2 ， sinx01， ，从而 当时， 无限逼近；sinxa01 当时， 取最大值sinxa 11 aaB的取值范围为，故选（ ）11 点评：点评：换元法或方程思想也是高考考查的重点，尤其是计算型试题 例 4、已知向量， 2 5 (cossin )(cossin) | 5 abab 且且=且且 （1）求的值；（2）若cos() 的值 5 00sinsin 2213 且且且且且 解析：解析：（1）因为(cossin )(cossin)ab 且且=且且 所以(coscossinsin)ab 且且 又因为，所以， 2 5 | 5 ab 22 2 5 (coscos )(sinsin) 5 用心 爱心 专心 即； 43 22cos()cos() 55 且 （2） ，00 0 22 且且 又因为，所以 ， 3 cos() 5 4 sin() 5 因为，所以，所以 5 sin 13 12 cos 13 63 sinsin() 65 点评：点评：本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换的基本技能，着 重考查数学运算能力平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点 例 5、已知向量，向量与向量的夹角为，且，1 , 1mnm 4 3 1nm （1）求向量；n （2）若向量与向量的夹角为，向量，其中n0, 1q 2 2 cos2,cos 2C Ap 为的内角，且依次成等差数列，求的取值范围CBA、ABCCBA、pn 分析：分析：本题的特色是将向量与三角函数知识综合，体现了知识的交汇性，这是高考命 题的一个创新，也是高考命题的新趋势，关联三角形的三角函数解答题是高考命题的又一 个热点解答本题应先翻译向量语言，脱去向量语言的外衣，这时问题（1）就转化为解方 程组的问题了，而问题（2）就化归为三角形中的三角函数问题了 解析：解析：（1）设，由，有 yxn,1nm1 yx 向量与向量的夹角为，有，nm 4 3 1 4 3 cosnmnm ，则 1 n1 22 yx 由、解得： 1 0 0 1 y x y x 或 1,00, 1nn或 （2）由与垂直知，nq1,0 n 由, 3 2 0, 3 2 , 3 ,2 ACABCAB知 若，则，1,0 nCA C Apncos,cos1 2 cos2,cos 2 2 22 1 cos2A1 cos2C npcos Acos C 22 用心 爱心 专心 ， 3 2cos 2 1 12 3 4 cos2cos 2 1 1 AAA ， 3 5 3 2 3 , 3 2 0 AA 2 1 3 2cos1 A 2 5 , 2 2 , 4 5 , 2 1 , 4 5 3 2cos 2 1 1 2 1 2 pnpnA即 例 6、如图，某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地，ABC 外的地方种草， ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池，其余的地方种花.若 BC=a，ABC=，设ABC 的面 积为 S1，正方形的面积为 S2 （1）用a，表示 S1和 S2； （2）当a固定，变化时，求取最小值时的角 2 1 S S 解析：解析：（1） 22 1 11 sin ,cossincossin2 24 ACaABaSaa 设正方形边长为，则xcot ,tancottanBQxRCxxxxa 2 sincossin2 cottan11 sincos2sin2 aaa x 2 22 2 2 sin2sin 2 2sin24sin 24sin2 aa S （2）当固定，变化时，a 1 2 14 sin24 4 sin2 S S 令 1 2 11 sin2,4 4 S tt St 则 ，用导数知识可以证明： 1 0,01. 2 tf tt t 令 函数在上是减函数，于是当时，取最小值，此 1 f tt t 0,11t 1 2 S S 用心 爱心 专心 时 4 点评：点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例通过引入角度，将图形 的语言转化为三角函数的符号语言，再将其转化为我们熟知的函数三角函数 t ttf 1 的应用性问题是历年高考命题的一个冷点，但在复习中应引起足够的关注 【模拟试题模拟试题】 一、选择题 1、函数的图象的一条对称轴方程是（ ）yxsin()2 5 2 A. B. x 2 x 4 C. D. x 8 x 5 4 2、下列函数中，以为周期的函数是（ ） 2 A. 1cos2 2 xy B. 32 1 tan xy C. yxxsincos22 D. yxxsincos22 3、已知是第三象限的角，若等于（ ）sincossin 44 5 9 2，则 A. B. 2 2 3 2 2 3 C. D. 4 3 2 3 4、已知，则以下选项正确的是（ ） 3sin 2 3 f xx A. B. 312fff 123fff C. D. 321fff 132fff 5、函数以 2 为最小正周期，且能在 x=2 时取 0 xcosxsinxf 得最大值，则的一个值是（ ） 用心 爱心 专心 A、 B、 C、 D、 4 3 4 5 4 7 2 6、如图，半径为 2 的M 切直线 AB 于 O 点，射线 OC 从 OA 出发绕着 O 点顺时针方向旋 转到 OB旋转过程中，OC 交M 于 P，记PMO 为 x，弓形 PnO 的面积为，那么 xfS 的图象是（ ） xf 7、tan15cot15（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3232 8、给出下列的命题中，其中正确的个数是（ ） （1）存在实数 ，使 sincos=1； （2）存在实数 ，使 sin+cos=； 2 3 （3）是偶函数； xxf2 2 5 sin （4）若 、 是第象限的角，且 ，则 tgtg （5）在ABC 中 AB 是 sinAsinB 的充要条件 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9、函数的值域为（ ） 11 4sin5sin y xx A. B. C. D. 11 , 12 6 11 , 30 12 1 1 , 9 3 1 1 , 15 9 10、函数在下面哪个区间内是增函数（ ）sincosyxxx A. B. C. D. 3 (,) 22 (0, )(,) 2 2 35 (,) 22 11、若点 P在第一象限，则在，2内的取值范围是（ (sincos)，tg 用心 爱心 专心 ） A. ()() 2 3 4 5 4 ， B. ()() 42 5 4 ， C. ()() 2 3 4 5 4 3 2 ， D. ()() 42 3 4 ， 12、定义在 R 上的函数即是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且 xf xf 当时，则的值为（ ） 2 , 0 x xxfsin 3 5 f A. B. C. D. 2 1 2 1 2 3 2 3 二、填空题 13、_的值为，则，且已知 sincos 248 1 cossin 14、如图，一个半径为 10 米的水轮按逆时针方向每分钟转 4 圈，记水轮上的点 P 到水面 的距离为米（P 在水面下则为负数） ，则（米）与时间 （秒）之间满足关系式：dddt ，且当 P 点从水面上浮现时开始计算sin0,0 , 22 dAtk A 时间，有以下四个结论： ；，则其中所有正确结论的序号是 (1)10A 2 2 15 3 6 45k 15、给出问题：已知中，满足，试判定的形状，某学生ABCcoscosaAbBABC 的解答如下：由条件可得：，去分母整理可得 222222 22 bcaacb ab bcac ，故是直角三角形该学生的解 2222222 abcabab 222 cabABC 答是否正确？若正确，请将他的解题主要依据填在下面横线上；若不正确，将正确的结果 填在下面的横线上 用心 爱心 专心 16、已知_ 1 sincos0tan 5 且且且且且 三、解答题 17、已知函数， 2sin ( ) 1 cos2 x f x x （1）求函数的定义域、值域、最小正周期；( )f x （2）判断函数的奇偶性( )f x 18、 （1）已知：，求证：；kkZ 1 cos tan 2sin （2）已知：，求：的值 4 sin 5 tan 24 19、已知偶函数的最小值为 0，( )cos sinsin()(tan2)sinsinf xxxx 求的最大值及此时x的集合( )f x 20、在中，角所对的边分别为，且，ABCCB、Acba、 3 1 cosA （1）求的值；A CB 2cos 2 sin 2 （2）若，求的最大值3abc 21、已知向量，其中是常数，且()(cossin)amnbxx 且且且mn且且 ，函数的周期为，当时，函数取得最大值 10xR且( )yf xa b 12 x （1）求函数的解析式；（2）写出的对称轴，并证明之( )yf x( )yf x 22、如图，足球比赛场的宽度为 a 米，球门宽为 b 米，在足球比赛中，甲方边锋沿球场 边线，带球过人沿直线向前推进试问：该边锋在距乙方底线多远时起脚射门可命中角的 正切值最大？（注：图中表示乙方所守球门，所在直线为乙方底线，只考虑在同一平面上 的情形） 用心 爱心 专心 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 1、A 2、D 3、A 4、A 5、A 6、A 7、D 8、B 9、B 10、D 11、B 12、D 13、 2 3 14、 （1） （2） （4） 15、不正确，直角三角形或等腰三角形 16、 3 4 17、解：（1）， tan(22) 2sinsin 22 ( ) 3|cos|1 cos2 tan(22) 22 xxkk xx f xkZ xx xxkk 且且 且且 定义域：，值域为：R，最小正周期为； | 2 x xkkZ且2T （2） ，且定义域关于原点对称， sin()sin ()( ) |cos()|cos| xx fxf x xx 所以为奇函数( )f x 18、解：（1）, 22 k kkZ 2 sin2sin 1 cos 22 tan 2sin cos2sincos 222 （2） 43 sin,cos 55 当时， 34 cos,sin 55 1 cos1 tan 2sin2 tan1 1 2 tan 243 1tan 2 当时， 34 cos,sin 55 1 cos tan2 2sin tan1 1 2 tan 243 1tan 2 19、解：( )cos sinsin()(tan2)sinsinf xxxx 用心 爱心 专心 ，因为为偶函数，sincos(tan2)sinsinxx( )f x 所以，对，有，即xR()( )fxf x ，sincos()(tan2)sin()sinsincos(tan2)sinsinxxxx 亦即，所以，由，(tan2)sin0xtan2 22 sincos1 sin tan2 cos 解得，此时， 2 52 5 sinsin 55 55 coscos 55