高二数学空间向量的应用文知识精讲苏教

高二数学 空间向量的应用（文） 苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：空间向量的应用二. 本周教学目标：1、理解直线的方向向量与平面的法向量2、会用代定系数法求平面的法向量3、能用向量语言表述线线、线面、面面平行和垂直的关系4、能用向量的方法证明空间线面位置关系的一些定理5、能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题知识要点一、直线的方向向量与平面的法向量1、直线的方向向量我们把直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量2、法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面，那么称n向量垂直于平面，记作，此时，我们把向量n叫做平面的法向量二、空间线面关系的判定证明两平面平行或垂直：证明直线与平面垂直，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线；证明平面与平面垂直，可转化为证明这两个平面的法向量互相垂直三、空间角的计算1、要求斜线与平面所成的角，可先求斜线与该平面的法向量所成的角，再利用关系“斜线与平面所成的角和斜线与该平面的法向量所成角（锐角）互余或和斜线与该平面的法向量所成的角（钝角）的补角互余”求出斜线与平面所成的角；求平面与平面所成的二面角，即求两平面的法向量所夹的角（它与面面夹角相等或互补）2、求二面角的大小：二面角，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，则二面角的大小为或【典型例题】例1. 在正方体中，求证：是平面的法向量，并求面的一个法向量证：不妨设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示，则各点坐标为：A（1，0，0），C（0，1，0）（0，0，1）（1，1，1）（1，1，1） ，（1，1，0），0，同理平面（2）设求面的一个法向量（x，y，z），则0，0（1，1，0）， 不妨取x1，（1，1，1）例2. 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BB1的中点，F是CD的中点求证：（1）D1F平面ADE；（2）平面证明：（1）如图，所示建立空间直角坐标系Dxyz，令AA12，则D（0，0，0）、D1（0，0，2）、A（2，0，0）、E（2，2，1）、F（0，1，0），所以（2，0，0），（0，2，1），（0，1，2），设，分别是平面ADE、平面A1D1F的法向量则，取，则，同理可得：（1） D1F平面ADE（2）（0，1，2）（0，2，1）0 平面A1D1F平面ADE例3. 用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且求证：证明：在内作不与重合的任一直线，在上取非零向量，相交，向量不平行，由共面定理可知，存在唯一有序实数对，使，又，所以，直线垂直于平面内的任意一条直线，即得例4. 如图正方体中，求与所成角的余弦解：不妨设正方体棱长为，建立空间直角坐标系，则， ，例5. 在棱长为的正方体中，分别是中点，在棱上，是的中点（1）求证：；（2）求与所成的角的余弦；（3）求的长解：如图，以为原点建立直角坐标系，则，（1），（2），与所成的角的余弦（3），【模拟试题】（答题时间：50分钟）1、如图，一空间四边形ABCD的对边AB与CD，AD与BC都互相垂直，用向量证明：AC与BD也互相垂直2、如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系 （1）写出A、B1、E、D1的坐标； （2）求AB1与D1E所成的角的余弦值 3、如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点 （1）求证：EF平面PAD； （2）求证：EFCD； （3）若PDA45，求EF与平面ABCD所成的角的大小 4、在正方体中，如图E、F分别是，CD的中点， （1）求证：平面ADE；（2）COS5、如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，E是PC的中点，作交PB于点F （1）证明 平面； （2）证明平面EFD； （3）求二面角的大小6、如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值【试题答案】1、证明：又，即又，即由得：即 2、解：（1） A（2，2，0），B1（2，0，2），E（0，1，0），D1（0，2，2）（2） （0，2，2），（0，1，2） |2，|，0242， cos ， AB1与ED1所成的角的余弦值为3、证：如图，建立空间直角坐标系Axyz设AB2a，BC2b，PA2c则：A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，2b，0），D（0，2b，0），P（0，0，2c） E为AB的中点，F为PC的中点 E （a，0，0），F （a，b，c）（1） （0，b，c），（0，0，2c），（0，2b，0） （） 与、共面又 E 平面PAD EF平面PAD（2） （2a，0，0 ） （2a，0，0）（0，b，c）0 CDEF（3）若PDA45，则有2b2c，即 bc （0，b，b），（0，0，2b） cos ， ， 45 平面AC， 是平面AC的法向量 EF与平面AC所成的角为：90， 454、解：建立如图所示的直角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），E（1，1，），F（0，0）， 则（0，1），（1，0，0）， （0，1，）， 则0，0， ，. 平面ADE.（2）（1，1，1），C（0，1，0），故（1，0，1），（1，），10， ， 则cos. .5、解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设（1）证明：连结AC，AC交BD于G.连结EG.依题意得底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心，故点G的坐标为且. 这表明.而平面EDB且平面EDB，平面EDB（2）证明：依题意得又故 ，由已知，且所以平面EFD.（3）解：设点F的坐标为则从而所以由条件知，即解得 点F的坐标为 且，即故是二面角的平面角.且 所以，二面角CPBD的大小为6、分析一：利用，以及数量积的定义，可求出cos，从而得到异面直线BD1和B1C所成角的余弦值分析二：建立空