江苏扬州邗江中学高一数学期中

江苏省邗江中学20182019年度第二学期高一数学期中试卷一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在中，下列等式正确的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理变形得到结果.【详解】由正弦定理可得：，可知正确本题正确选项：【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题.2.若直线的斜率，则直线倾斜角的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据斜率与倾斜角的关系，利用正切值所处范围得到倾斜角的范围.【详解】，且当时，；当时，本题正确选项：【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，利用斜率的取值范围可求得倾斜角范围，需注意的是直线倾斜角范围为：.3.下列说法正确的是（ ）A. 通过圆台侧面一点，有无数条母线B. 棱柱的底面一定是平行四边形C. 用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台D. 圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形【答案】D【解析】【分析】根据空间几何体的定义依次判断各个选项即可.【详解】根据母线定义可知，通过圆台侧面一点，有且仅有一条母线，可知错误；棱柱包括三棱柱、四棱柱等，其中三棱柱底面是三角形，四棱柱底面是四边形即可，可知错误；由棱台的定义可知，需用平行于底面的平面截棱锥可得棱台，不是任意平面都可以，可知错误；圆锥的轴截面为等腰三角形，可知正确.本题正确选项：【点睛】本题考查空间几何体基本概念的判定，属于基础题.4.在ABC中，角所对的边分别为,且则最大角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理可得三边的比例关系；由大边对大角可知最大，利用余弦定理求得余弦值，从而求得角的大小.【详解】 由正弦定理可得：设，最大 为最大角 本题正确选项：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，涉及到三角形中大边对大角的关系，属于基础题.5.已知不重合的直线a，b和平面，下面命题中正确的是() 若a，b，则ab； 若ca，bc，则ab； 若ab，b，则a； 若ab，a，则b或bA. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】在正方体中分别寻找反例，可说明错误，根据平行的位置关系可知正确.【详解】在如下图所示的正方体中：平面，平面，此时与异面，可知错误；，此时，可知错误；，平面，此时平面，可知错误；两条平行直线中的一条直线平行于一个平面，则另一条必平行于该平面或属于该平面，可知正确本题正确选项：【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面之间的位置关系的判定，属于基础题.6.在正方体各个表面的对角线中，与所成角为的有( )A. 4条B. 6条C. 8条D. 10条【答案】C【解析】【分析】首先确定与共面的面对角线中成角的共有条，再通过平行关系确定异面的面对角线中也有条，共条.【详解】以为一边的面对角线构成的等边三角形如上图为：和可知与夹角为的面对角线有：根据平行关系可知也与成角可知满足题意的面对角线共有条本题正确选项：【点睛】本题考查两条直线夹角的问题，关键是在考虑共面的直线的同时，也需要考虑异面直线的情况.7.如果满足，AB=8，AC=k的三角形ABC有两个，那么实数k的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角形解得个数的确定方法，确定当有两个时，需满足，由此得到的范围.【详解】如图所示，当时，以为圆心，为半径的弧与交于两点、即此时有两个可得：本题正确选项：【点睛】本题考查解三角形中三角形解的个数的确定方法，通常我们采用画圆的方式，确定圆弧与边交点的个数，根据交点个数得到三角形个数.8.两点到直线的距离都等于，则直线有（ ）条A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】C【解析】【分析】根据两点间距离可确定直线可在两点连线之间，也可以平行于两点连线所在直线；当平行时，求出斜率，假设直线方程，利用点到直线距离构造方程，求出直线有条；当在两点连线之间时，可确定斜率一定存在，利用点到直线距离构造方程，求出直线有条；所以满足题意的直线共有条.【详解】与之间距离两点、到直线距离都等于可在两点连线之间，也可以平行于两点连线所在的直线平行于两点连线所在的直线，则设直线方程为：，即可得：，解得：或在两点连线之间，则直线必过中点当斜率不存在，即为时，不满足题意则斜率存在，设，即可得：，解得综上所述，直线共有条本题正确选项：【点睛】本题考查点到直线距离公式的应用，关键是要通过两点间距离判断满足题意的直线的位置有可能在连线之间，也可以平行于两点连线，由此分别求解得到结果.9.在中，若，且，则实数的值为( )A. 3B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】将正切化弦后进行整理，得到，根据正余弦定理将角化为边，可得到，从而可求出.【详解】，即由正弦定理、余弦定理得：，即又 本题正确选项：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理对边角关系式进行化简，解决此类问题时如遇到正切、余切，通常采用切化弦的方式，将问题转化到正余弦的问题上再来求解.10.点为直线上任意一点，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】两点关于原点对称，且直线过原点，可知最小值在为坐标原点时取得；利用点关于直线对称点的求解方法求出的对称点，由斜率关系可知直线平行于，则，从而可得到所求范围.【详解】当为坐标原点时，此时，为最小值设关于对称点为则：，解得：，此时又，得：直线平行于可知必构成三角形即综上所述：本题正确选项：【点睛】本题考查直线上动点到两定点距离之差的取值范围的问题，关键是能够通过对称的方式，利用三角形三边关系求解最值，易错点是忽略了平行关系，导致误认为三点共线取最大值，造成求解错误.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。11.动圆的半径的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据一般方程得到圆的半径，再利用二次函数的最值求解方法得到半径的取值范围.【详解】由圆的一般方程可知：圆的半径当时， 本题正确结果：【点睛】本题考查圆的一般方程的应用，涉及到二次函数最值问题的求解，属于常规题型.12.已知正方体ABCDA1B1C1D1，为棱上任意一点，则四棱锥BB1D1D的体积与正方体ABCDA1B1C1D1的体积之比为_【答案】【解析】【分析】利用线面平行关系将所求四棱锥的高变为到面的距离，根据正方体特点可知为；根据体积公式分别求解正方体和四棱锥体积，从而得到结果.【详解】由题意可知：平面到平面的距离即为到平面的距离又， 平面设正方体棱长为则正方体体积四棱锥的体积 本题正确结果：【点睛】本题考查空间几何体体积的求解问题，关键是能够通过平行关系确定几何体的高，从而使问题得以解决.13.设的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若，则的值为_【答案】【解析】【分析】利用正弦定理将边角关系式中的边都化成角，再结合两角和差公式进行整理，从而得到.【详解】由正弦定理可得：即： 本题正确结果：【点睛】本题考查李用正弦定理进行边角关系式的化简问题，属于常规题.14.已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍，则直线的方程为_【答案】或【解析】【分析】讨论截距为零和不为零两种情况，为零时根据斜率直接得到直线；不为零时，假设直线的截距式方程，代入点求得结果.【详解】若在坐标轴的截距均为，即过原点，满足题意此时方程为：，即当在坐标轴截距不为时，设其在轴截距为则方程为：，代入，解得： 方程为：综上，直线方程为：或本题正确结果：或【点睛】本题考查直线方程的求解问题，主要考察直线截距式方程的应用，易错点是忽略了截距为零的情况.15.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60,再由点C沿北偏东15方向走10 m到位置D,测得BDC45,则塔AB的高是_.【答案】10【解析】设塔高为米，根据题意可知，在 中， 从而有 ；在中， ，由正弦定理可得. 故塔高为16.等腰三角形一腰的中线长为，则该三角形面积的最大值为_【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，假设出各点坐标，得到向量，利用得到满足的关系；利用表示出三角形面积后，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出最大值.【详解】由题意，建立如下图所示平面直角坐标系：设，为中点 当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查利用基本不等式解决几何中的最值问题，关键是能够通过长度关系得到满足的关系式，从而利用基本不等式求解积的最大值的方法得到所求最值.三、解答题：17.（1）求过点且和直线平行的直线方程；（2）求过点且圆心在直线上的圆的方程。【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）假设平行直线方程，代入点求得方程；（2）假设圆心坐标，利用圆心到两点距离相等构造方程，求出圆心坐标和半径，从而得到圆的方程.【详解】（1）设所求直线为：代入得： 所求直线方程：（2）圆心在直线上可设圆心为则解得：，则圆心为圆的方程为：【点睛】本题考查利用直线平行关系求解直线方程、已知圆上两点和圆心所在直线求解圆的方程问题，属于基础题.18.已知在中，角所对的边分别为，且（1）求角； （2）若的外接圆半径为2，求的面积【答案】（1）当时，当时，（2）当时，当时，【解析】试题分析：（1）ABC中，3分，又，即 或6分A+B+C=当时，当时， 8分（2），10分当时，12分当时，综上所述：当时，当时，14分考点：本题考查了正余弦定理的综合运用点评：正、余弦定理是解斜三解形强有力的工具，在求解三角形的时候，问题涉及三角形的若干几何量，解题时要注意边与角的互化.一般地，已知三角形的三个独立条件（不含已知三个角的情况），应用两定理，可以解三角形19.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB=AC，D，F分别是棱BC，B1C1的中点，E是棱CC1上的一点求证：（1）直线A1F平面ADE；（2）直线A1F直线DE【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）通过证明四边形为平行四边形可证得，再根据线面平行判定定理得到结论；（2）根据等腰三角形三线合一和线面垂直性质可证得，从而根据线面垂直判定定理得到平面；再根据线面垂直性质定理得到结论.【详解】（1）连接分别为中点 且四边形为平行四边形 又平面，平面平面（2），为中点 又 由直三棱柱可知：平面，且平面，又，平面 平面平面 【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明问题，涉及到线面平行判定定理、线面垂直判定定理、线面垂直性质定理的应用.在立体几何中，如果最终需证明线线垂直，则往往通过线面垂直的性质定理证得结论.20.如图，等边ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BDAE，BD2AE，AEAB，M为AB的中点(1)证明：CMDE；(2)在边AC上找一点N，使CD平面BEN.【答案】（1）见解析；（2）为边上靠近的三等分点；证明见解析.【解析】分析】（1）根据等边三角形证得，再根据面面垂直的性质定理得到线面垂直，利用线面垂直的性质得到结论；（2）取面，当与上一点连线构成平面时，根据线面平行性质定理可知：所得平面与面的交线必平行于；两面已有一个交点，则只需过作的平行线，与交点即为，根据长度关系可知：为边上靠近的三等分点；通过找中点得，易证得为和中点；根据平行线分线段成比例和长度关系可证得，从而证得，再利用三角形中位线得，从而有，根据线面平行判定定理，可证得结论成立.【详解】（1） 为等边三角形，且为中点 又平面平面，平面平面，平面平面又平面 （2）为边上靠近的三等分点，证明如下：取中点，连接交于取中点，连接；连接交于，为中点， 为中点 为边上靠近的三等分点即 即 又分别为中点 又面，面 面【点睛】本题考查线线垂直的证明、补全线面平行的条件的存在性问题，关键是能够根据图形，逆用线面平行性质定理首先确定特殊点的位置，再利用相关定理进行证明.21.已知的面积为，且且（1）求角的大小；（2）设为的中点，且，的平分线交于，求线段的长度。【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量数量积和三角形面积公式可构造出的值，从而得到；（2）利用为中线得到向量关系：；通过平方运算转化为模长的计算可得；再根据（1）中可求出，从而余弦定理可得；根据等高三角形面积之比等于底边之比可求得，进而可求得所求结果.【详解】（1） 又，即又 （2）如下图所示：在中，为中线 由（1）知： 又 ，由余弦定理可得： 又，又 【点睛】本题考查向量与解三角形综合应用问题，涉及到向量数量积运算、余弦定理的应用、三角形面积公式的应用等，关键在于能够通过向量关系构造方程，将解三角形所需的边长、角度求解出来，对学生的综合应用能力要求较高.22.已知点，分别为线段上的动点，且满足（1）若求直线的方程；（2）证明：的外接圆恒过定点（异于原点）。【答案】（1