高考数学二轮复习热点命题探究2应用问题学案

专题2应_用_问_题回顾20082012年的考题，2008年第17题考查了三角函数解决简单的实际问题，2009年第19题考查了函数的实际应用，2010年第14题考查了导数的实际应用，2011年第17题考查了函数的实际应用，2012年第17题考查了实际问题中的二次方程的应用.预测在2013年的高考题中：依然可能考查函数的实际应用，利用导数或基本不等式研究最值，也可能考查分类讨论的思想.1某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成_个解析：细菌数构成以1为首项，2为公比的等比数列an，由等比数列的通项公式可知：a102101512.答案：5122两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm，4 cm，3 cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是_解析：重叠为长、宽、高分别为5,4,6时，l；长、宽、高分别为5,8,3时，l；长、宽、高分别为10,4,3时，l5.故最长为5 cm.答案：5 cm3国家规定某行业收入所得税如下：年收入在280万元以及以下的税率是P%，超过280万元的部分按(P2)%征税有一公司的实际缴税比例为(P0.25)%，则该公司的年收入是_万元解析：设年收入为x万元，则280P%(x280)(P2)%x(P0.25)%，即1.75x560.解得x320.答案：3204某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_吨解析：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为44x万元，44x160，当且仅当4x即x20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小答案：205(2012淮阴联考)将一个长宽分别是a，b(0ba)的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是_解析：设减去的正方形边长为x，则长方体的长、宽、高分别为a2x，b2x，x其外接球直径的平方4R2(a2x)2(b2x)2x29x24(ab)xa2b2，0x，由题意得0(ab)，解得1.答案：(2012常州检测)如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为2a的正方形，周围是四个全等的弓形已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H.设弧AD的长为l，APH，.(1)求l关于的函数关系式；(2)定义比值为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美证明：当角满足tan时，招贴画最优美解(1)当时，点P在线段OG上，AP；当时，点P在线段GH上，AP；当时，APa.综上所述，AP，.所以弧AD的长lAP2，故所求函数关系式为l，.(2)当时，OPOGPGaa；当时，OPOGPGaaa；当时，OPa.所以OPa，.从而.记f()，.则f().令f()0，得(cos sin )sin cos .因为，所以cos sin 0，从而.显然，所以tan.记满足tan的0，下面证明0是函数f()的极值点设g()(cos sin )(sin cos )，.则g()(cos sin )0，即f()0，f()在上单调递增；当时，g()0，即f()0，f()在上单调递减故f()在0处取得极大值，也是最大值所以当满足tan时，函数f()即取得最大值，此时招贴画最优美本题的难度不在于函数模型的建立，而是在于利用导数解决函数的最值问题，求解时要注意极值点是否在所研究的范围内(2012南通二模)如图，矩形ABCD中，AB3，AD2，一质点从AB边上的点P0出发，沿与AB的夹角为的方向射到边BC上点P1后，依次反射(入射角与反射角相等)到边CD，DA和AB上的P2，P3，P4处(1)若P4与P0重合，求tan 的值；(2)若P4落在A，P0两点之间，且AP02.设tan t，将五边形P0P1P2P3P4的面积S表示为t的函数，并求S的最大值解：(1)设P0Bx0，则P1Bx0tan ，P1C2x0tan .P2Cx0，P2D3x0.P3D(3x0)tan 2，P3A4(3x0)tan ，AP4(3x0)由于P4与P0重合，AP4P0B3，所以6，即tan .(2)由(1)知，可知AP44.因为P4落在A，P0两点之间，所以tan 1，即t1.SS四边形ABCDSP0BP1SP1CP2SP2DP3SP3AP46tan (2tan )(4tan 2)(44tan )3232.由于t0)(2)y30cv222 212.当且仅当30cv，即v 时取等号当 5，即c时，v 时，y的最小值为212.当5，即c时，y30c0，因此函数y30cv2在(0,5上为减函数，所以当v5时，y的最小值为150c.综上，当c时，下潜速度为时，用氧量最小为212；当0c时，下潜速度为5时，用氧量最小为150c.(2012淮阴中学)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)2a，x0,24，其中a是与气象有关的参数，且a，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)(1)令t，x0,24，求t的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？解(1)当x0时，t0；当0x24时，x2(当x1时取等号)，t，即t的取值范围是.(2)当a时，记g(t)|ta|2a，则g(t)g(t)在0，a上单调递减，在上单调递增，且g(0)3a，ga，g(0)g2，令M(a)即M(a)当且仅当a时，M(a)2.故当0a时不超标，当a时超标本题主要考查分段函数的概念，考查数学建模能力、数学阅读能力及解决实际问题的能力如图，在半径为30 cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A，B在直径上，点C，D在圆周上(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子的体积最大？并求最大体积解：(1)连结OC.设BCx，矩形ABCD的面积为S.则AB2，其中0x30.所以S2x2x2(900x2)900.当且仅当x2900x2，即x15时，S取最大值为900.所以当取BC为15 cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900 cm2.(2)设圆柱底面半径为r，高为x，体积为V.由AB22r，得r.所以Vr2h(900xx3)，其中0x30.令V(9003x2)0，得x10.由此V(900xx3)在(0,10)上是增函数，在(10，30)上是减函数所以当x10时，V的最大值为.所以取BC为10 cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为 cm3.求解数学应用题的突破口在于阅读与转译我们可以从四个方面入手：(1)划分题目的层次应用题题目篇幅长，信息容量大，涉及知识点多，划分好层次是审题的关键；(2)领会关键词语领会定义的内涵和外延是解决问题的关键；(3)重视条件转译准确的条件转译是解应用题分析联想转化的关键步骤，也是分步解应用题采点得分原则的具体体现注意将条件公式化、符号化，使条件和结论相互靠拢；与图形有关的应用题注意数形结合；(4)弄清题图联系分清题目条件与图形元素间的对应关系，也是审题过程中不可缺少的环节1将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为_解析：设正方形的周长为x(0x1)，则圆的周长为1x，则S22x2x，当x时，S取最小值答案：2某企业2012年12月份的利润是这年1月份利润的p倍，则该企业2012年年度利润的月平均增长率是_解析：设月平均增长率为x，则(1x)11px1.答案：13某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他只去一次购买上述同样的商品，则应付款是_解析：所买商品实际总价格为168168470638元，一次购买上述商品应付款：5000.91380.7546.6元答案：546.6元4某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L15.06x0.15x2和L22x，其中x为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为_解析：设在甲地销售x辆(xN，x15)，则总利润y5.06x0.15x22(15x)x2x30.图象的对称轴x，所以当甲地销10辆，乙地销售5辆时，获得最大利润为：5.06100.151002545.6(万元)答案：45.6万元5现有水平截面如图1的一个家具，已知BCEF，BAFCDE，CDDE2 m，BAAF.家具在水平状态下，通过如图2的走道搬入空间足够大的房间(搬运过程中不准拆卸家具，也不准破坏墙壁)，则走道的宽度a必须大于_ m.解析：由题意可知，CDBA，DEAF，连结CE，则过A点作AHCE于点H，其中AH必过点D，当走道的宽度大于家具中AH的长即可通过，根据家具的对称性，在RtCDH中，CD2，CDH，HDCDcos，作DKAB于点K，在RtADK中，DK0.5，DAK，则AD，其中AHADDH，故走道的宽度a必须大于() m.答案：6某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元在满足需要的条件下，最少要花费_元解析：从单价上考虑，每袋35千克的单价要低于每袋24千克的单价，故应优先考虑购买每袋35千克的包装，设每袋35千克的包装购买x袋，每袋24千克的包装购买y袋，则有：当x4时，y0，这时共购进化工原料140千克，需要花费1404560元；当x3时，y1，这时共购进化工原料129千克，需要花费540元；当x2时，y2，这时共购进化工原料118千克，需要花费520元；当x1时，y3，这时共购进化工原料107千克，需要花费500元综上，在满足需要的条件下，最少要花费500元答案：5007一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第5次落在地面上时，经过了_米解析：小球经过的路程为：s100210021002310024100287.5(米)答案：287.58某旅店共有客床100张，每床每晚收费10元时可全部客满，若每床每晚收费提高2元，便减少10张客床租出，再提高2元，则又减少10张客床租出，依此变化，为了减少投入，多获利，每床每晚收费应提高_元解析：设每床每晚收费增加x元，则总收入y与x之间的关系为y(10x)(1005x)5(x210x200)2,4,6，所以当x4或6时y取最大值，即每床每晚收费提高4元或6元时，获利相等且最大，考虑到投入较少，即出租的床位较少又获利最大，取x6元答案：69一只小船以10 m/s的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20 m的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s的速度前进(如图)，现在小船在水平面P点以南的40 m处，汽车在桥上以西Q点30 m处(其中PQ水面)，则小船与汽车间的最短距离为_(不考虑汽车与小船本身的大小)解析：设经过时间t汽车在A点，船在B点，(如图)，则AQ3020t，BP4010t，PQ20，且有AQBP，PQAQ，PQPB.设小船所在平面为，AQ，QP确定平面为，记l，由AQ，AQ得AQl.又AQPQ，得PQl，又PQPB，及lPBP得PQ.作ACPQ，则AC.连CB，则ACCB，进而AQBP，CPAQ得CPBP，AB2AC2BC2PQ2PB2PC2202(4010t)2(3020t)21005(t2)29t2时AB最短，最短距离为30 m.答案：30 m10某人用10万元买了一辆小汽车用来跑出租，已知这辆汽车从启用的第一年起连续使用，第n年的保养维修费为2 000(n1)元，使用它直到“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这辆汽车的年平均耗资最少)为止，则最佳报废时间为_年解析：由题意知汽车在这n年的平均耗资为f(n)0.1，由基本不等式可得f(n)0.12 0.11.9，当且仅当，即n10时取得最小值答案：1011(2012南通模拟)某省高考数学阅卷点共有400名阅卷老师，为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务，需将400名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作，一组完成269捆文科卷，另一组完成475捆理科卷根据历年阅卷经验，文科每捆卷需要一位阅卷老师工作3天完成，理科每捆卷需要一位阅卷老师工作4天完成(假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同，每捆卷的份数也相同)(1)如何安排文、理科阅卷老师