江苏数学二轮复习十三附加题21题苏教

江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题13 附加题21题回顾20092012年的高考考题，附加题选做(四选二)中分别考查几何证明选讲、极坐标与参数方程、矩阵与变换、不等式选讲这四个内容，要求考生从中选择两个来完成，每题10分，难度不是很大，但是要求考生对所学知识点熟练掌握.(2012江苏高考)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BDDC，连结AC，AE，DE.求证：EC.解证明：如图，连结AD.AB是圆O的直径，ADB90.ADBD.又BDDC，AD是线段BC的中垂线ABAC.BC.又D，E为圆上位于AB异侧的两点，BE.EC.(1)本题利用中间量代换的方法证明EC，一方面考虑到B和E是同弧所对圆周角相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到BC.(2)本题还可连结OD，利用三角形中位线来证明BC.(2012泰州期末)已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连结FB，FC.(1)求证：FBFC；(2)若AB是ABC外接圆的直径，EAC120，BC3，求AD的长解：(1)证明：AD平分EAC，EADDAC.四边形AFBC内接于圆，DACFBC.EADFABFCB，FBCFCB，FBFC.(2)AB是圆的直径，ACD90.EAC120，DACEAC60，D30.在RtACB中，BC3，BAC60，AC3.又在RtACD中，D30，AC3，AD6.(2012江苏高考)已知矩阵A的逆矩阵A1，求矩阵A的特征值解A1AE，A(A1)1.A1，A(A1)1.矩阵A的特征多项式为f()234.令f()0，解得矩阵A的特征值11，24.由矩阵A的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A，从而可求出矩阵A的特征值(2012泰州期末)已知矩阵A，B，求满足AXB的二阶矩阵X.解：由题意得A1，AXB，XA1B.(2012江苏高考)在极坐标中，已知圆C经过点P，圆心为直线sin与极轴的交点，求圆C的极坐标方程解圆C圆心为直线sin与极轴的交点，在sin中令0，得1.圆C的圆心坐标为(1,0)圆C经过点P，圆C的半径为PC1.圆C经过极点，圆C的极坐标方程为2cos .求圆的方程的关键是求出圆心坐标和圆的半径(2012南通二模)在极坐标系中，圆C1的方程为4cos，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程(为参数)，若圆C1与圆C2相切，求实数a的值解：C1：(x2)2(y2)28，圆心C1(2,2)，半径r12.C2：(x1)2(y1)2a2，圆心C2(1，1)，半径r2|a|.圆心距C1C23.两圆外切时，C1C2r1r22|a|3，a；两圆内切时，C1C2|r1r2|2|a|3，a5.综上，a或a5.(2012江苏高考)已知实数x，y满足：|xy|，|2xy|，求证：|y|.证明3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由题设知|xy|，|2xy|，3|y|.|y|.解决本题的关键是用(xy)和(2xy)表示y.(2012南通二模)已知x，y，z均为正数求证：.证明：因为x，y，z都为正数，所以.同理，可得，.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得.(1)几何证明选讲主要考查直线与圆的相切关系，弦切角定理是沟通角的桥梁，解决与圆有关的线段问题常利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理，并结合三角形相似等知识；(2)矩阵与变换主要考查变换、矩阵的特征值与特征向量、逆矩阵、二阶矩阵的乘法；(3)极坐标与参数方程主要考查参数方程与普通方程的互化及应用参数方程求最值、范围等问题；(4)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号化为不含绝对值的不等式，其过程体现了分类讨论思想的应用1.(2012苏北四市三模)如图，圆O的直径AB4，C为圆周上一点，BC2，过C作圆O的切线l，过A作l的垂线AD分别与直线l，圆O交于点D，E，求线段AE的长解：在RtABC中，因为AB4，BC2，所以ABC60，因为l为过C的切线，所以DCACBA，所以DCAABC60.又因为ADDC，所以DAC30.在AOE中，因为EAODACCAB60，且OEOA，所以AEAOAB2.2.如图，O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为O上一点，AEAC，求证：PDEPOC.证明：因AEAC，AB为直径，故OACOAE.所以POCOACOCAOAEOACEAC.又EACPDE，所以PDEPOC.3(2012扬州期末)求矩阵M的特征值和特征向量解：f()(1)(6)82514(7)(2)，由f()0，可得17，22.由可得属于17的一个特征向量为.由可得属于12的一个特征向量为.4(2012南通二模)已知M，计算M5.解：矩阵M的特征多项式为f()223.令f()0，解得13，21，从而求得它们对应的一个特征向量分别为1，2.令m1n2，所以求得m4，n3.M5M5(4132)4(M51)3(M52)4(1)3(2)4353(1)5.5已知矩阵A，向量.求向量，使得A2.解：A，A2.设，则A2.6已知P(x，y)是椭圆y21上的点，求Mx2y的取值范围解：y21的参数方程(为参数)设P(2cos ，sin )Mx2y2cos 2sin 2sin.Mx2y的取值范围是2，2 7(2012泰州期末)已知曲线C的极坐标方程为6sin ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l被曲线C截得的线段长度解：将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2y26y0，即x2(y3)29，它表示以(0,3)为圆心，3为半径的圆直线方程l的普通方程为yx1，圆C的圆心到直线l的距离d1，故直线l被曲线C截得的线段长度为24.8在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为2cos.(1)求直线l的倾斜角；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求AB.解：(1)设直线l的倾斜角为，则且0，)，即直线l的倾斜角为.(2)l的直角坐标方程为yx，2cos的直角坐标方程为221，圆心到直线l的距离d，AB.9对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|xy1|的最大值解：法一：|xy1|(x1)(y2)|x1|y2|2.当且仅当x2，y3或x0，y1时，取等号|xy1|的最大值为2.法二