高二数学排列本课内容

高二数学排列本课内容 看下面的问题 问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？ 这个问题，就是从甲、乙、丙3名同学中每次选出2名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同排法的问题 解决这一问题需分2个步骤第1步，确定参加上午活动的同学从3人中任选1人，有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，于是有2种方法 根据分步计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有32=6种，如下图所示 上午 下午 相应的排法 甲 乙 甲 乙 丙 甲 丙 乙 甲 乙 甲 丙 乙 丙 丙 甲 丙 甲 乙 丙 乙 我们把上面问题中被取的对象叫做元素于是，所提出的问题就是从3个不同的元素a，b，c中任取2个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排列方法所有不同排列是 ab，ac，ba，bc，ca，cb，这些排列的种数是32=6 问题2从a，b，c，d这4个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？ 解决这个问题需分3个步骤第1步，先确定左边的字母，在a，b，c，d这 4个字母中任取1个，有4种方法；第2步，确定中间的一个字母，当左边的字母确定后，中间的字母只能从余下的3个字母中去取，有3种方法；第3步，确定右边的字母，当左边、中间的字母都确定后，右边的字母只能从余下的2个字母中去取，有2种方法根据分步计数原理，从4个不同的字母中，每次取出 3个按顺序排成一列，共有43224种不同的排法，如图 103所示由此可写出所有的排法：abc bac cab dab abd bad cad dacacb bca cba dba acd bcd cbd dbcadb bda cda dca adc bdc cdb dcb一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同例如在问题2中，abc与abd的元素不完全相同，它们是不同的排列；又如 abc与acb，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列。 从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号代表示上面的问题1，是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，它记为，已经算得=32=6.上面的问题2，是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，它记为，已经算得=432=24. 那么，从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？呢？（mn）呢？ 求排列数可以这样考虑：假定有排好顺序的2个空位（图104），从n个不同元素a1，a2，an中任意取2个去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到因此，所有不同填法的种数就是排列数 现在我们计算有多少种不同的填法完成填空这件事可分为2个步骤： 第1步，先填第1个位置的元素，可以从这n个元素中任选1个填空，有n种方法； 第2步，确定填在第2个位置的元素，可以从剩下的n1个元素中任选1个填空，有n1种方法 于是，根据分步计数原理，2个空位的填法种数为=n(nl) 求排列数可以按依次填3个空位来考虑，得到n(nl)(n2)同样，求排列数可以按依次填m个空位来考虑：假定有排好顺序的m个空位（图105），从n个不同元素a1，a2，an中任意取m个去填空，一个空位填1个元素，每一种填法就对应一个排列，因此，所有不同填法的种数就是排列数 填空可分为m个步骤：第1步，第1位可以从n个元素中任选一个填上，共有n种填法；第2步，第2位只能从余下的n1个元素中任选一个填上，共有n1种填法； 第3步，第3位只能从余下的n2个元素中任选一个填上，共有n2种填法； 第m步，当前面的m1个空位都填上后，第m位只能从余下的n(m1)个元素中任选一个填上，共有nm1种填法 根据分步计数原理，全部填满m个空位共有n(nl)(n2)(nm1)种填法 所以得到公式 = n(nl)(n2)(nm1)这里n，mN+，并且mn这个公式叫做排列数公式其中，公式右边中第一个因数是n，后面的每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数为 nm1，共有m个因数相乘 例如，=54=20，=876=336. n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列这时在排列数公式中m=n，即有 =n(nl)(n2)321就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示所以n个不同元素的全排列数公式可以写成 =n!.例1计算：（1）；（2）；（3） 解：（1）=161514=3360； （2）=6!=720； （3）= 6543360 由于已知6!=720，还可这样计算： 上面我们看到，一般地，=n(nl)(n2)(nm1)= 因此，排列数公式还可写成=当m=n时，=n!为了使上面的公式在mn时也能成立，我们规定0!=1. 利用一般的科学计算器，可求出任意一个正整数的阶乘数，从而可简化排列数的计算例如，用计算器算得. 例2某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？ 解：任何2队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列，因此总共进行的比赛场次是=1413182（场） 答：一共进行182场比赛 例3（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ （2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解：（1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是=543=60 答：共有60种不同的送法 （2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学每人各1本书的不同方法种数是555125 答：共有125种不同的送法 注：例3两道小题的区别在于：第（1）小题是从5本不同的书中选出3本分送3位同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第（2）小题中，给每人的书均可从5种不同的书中任选1种，各人得到哪种书相互之间没有影响，要用分步计数原理进行计算 例4某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 解：如果把3面旗看成3个元素，则从3个元素里每次取出l个、2个或3个元素的一个排列对应一种信号 于是，用1面旗表示的信号有种，用2面旗表示的信号有种，用 3面旗表示的信号有种根据分类计数原理，所求的信号种数是 33232115 答：一共可以表示15种不同的信号 例5用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解法1：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是0，可根据所带的这个附加条件将组成没有重复数字的三位数看作是分成两步完成：先排百位上的数字，它可从1到9这9个数字中任选1个，有种选法；再排十位和个位上的数字，它可从余下的9个数字中任选2个，有种选法（图106）根据分步计数原理，所求的三位数的个数是=998=648解法2：如图107，符合条件的三位数可以分成3类：每一位数字都不是0的三位数有个，个位数字是0的三位数有个，十位数字是0的三位数有个根据分类计数原理，符合条件的三位数的个数是+=648 解法3：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为，其中以0为排头的排列数为，因此，它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求的三位数的个数是 = 109898=648 答：可以组成648个没有重复数字的三位数 注：对于例5这类求排列数的问题，可用适当方法将问题分解其中解法1是将组成没有重复数字的三位数这件事看作是分步完成，依据是分步计数原理解法2是将做这件事看作是分类完成，依据是分类计数原理而解法3则是一种逆向思考方法：先求不是三位数的3个不重复数字的排列数，然后从所有不重复的3个数字的排列数中将它减去，就得到所求的三位数练 习1写出： （1）从4个元素a，b，c，d中任取2个元素的所有排列； （2）从5个元素a，b，c，d，e中任取2个元素的所有排列2计算： （1）；（2）； （3）；（4）3计算下表中的阶乘数，并填入表中：n2345678n!4选择题： （1） 18171698等于（