高二数学棱柱人教

高二数学棱柱【教学内容】 棱柱【教学目标】1、 理解棱柱的概念，能分清斜、直、正棱柱。2、 掌握棱柱的性质，能根据所给条件确认直、正棱柱。3、 能利用添畏助线、面，分析线面半径计算出长度、角度。4、 理解平行六面体的概念，能理清长方体、直平行六面体、正四棱柱、正方体的关系。5、 掌握关于长方体的对角线性质，能用其计算长度、角度。【知识讲解】1、 棱柱的概念棱柱是由满足下列三个条件的面围成的几何体：有两个面互相平行其余各面都是四边形每相邻两个四边形的公共边都互相平行那两个互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面称为棱柱的侧面；两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点；不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。要注意几何体的对角线与几何体某个面的对角线是两个不同的概念，如三棱栏没有对角线，但却有六条面对角线。2、 棱柱的分类棱柱的分类法有两种，一种是根据底面边数分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等；另一种是按侧棱与底面是否垂直分为：直棱柱、斜棱柱，直棱柱又可按底面是不是正多边形分为：正棱柱、其他直棱柱，这种分类如下表： 正棱柱 直棱柱 棱柱 其他棱柱 斜棱柱注意在正棱柱，首先必须是直棱柱，而不能仅由底面是否是正多边形来判定。3、 棱柱的性质棱柱的性质是从棱柱的定义出发，根据第一章有关定理推导出来的。它们是研究棱柱的直观图、侧面展开图的画法以及面积和体积计算的基础。三个性质课本中均未推导，但同学们必须掌握其推导方法，性质1的推导，要用到面面平行的性质定理；性质2的推导要用到性质1、等角定理和全等多边形定义；性质3的推导用到两个平面平行的性质定理和棱柱的定义。4、长方体是一种特殊的四棱柱，它和四棱柱、平行六面体、正四棱柱、正方体的关系如下： 底面是平行四边形 侧棱垂直于底面 四棱柱 平行六面体 直平行六面体 底面是矩形 底面是正方形 侧棱与底面边长相等 长方体 正四棱柱 正方形 四棱柱 平行六面体 直平行六面体 长方体（底面是四边形） （底面是平行四边形） （底面是平行四边形，侧 （底面是矩形，侧棱与底 棱与底面垂直） 面垂直） 正四棱柱 正方体 （底面是正方形，侧棱与 （底面是正方体，侧棱与底 底面垂直） 面垂直，侧棱与底面边长相等）长方体的一个重要性质是：对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。 5、棱柱直观图的画法空间形体直观图的画法跟平面图形的画法虽有相同之处，但多了一个与x轴、y轴都垂直的z轴，要注意其规则：“平行于z轴的线段的平行性质和长度均不变。”直棱柱的直观图可分四步：（1）画轴；（2）画底面；（3）画侧棱；（4）成图。6、直棱柱的侧面积（1）侧面积公式 S直棱柱侧=ch（2）用侧面展开图来求侧面积是一种常用的方法，今后的学习中还会涉及。注意斜棱柱的侧面展开图不是一个平行四边形。（3）课本P56/例1中，若沿直截面将该棱柱截成两个几何体，再上下对调位置，使面ABCE与面ABCE重合，就形成了一个新的直棱柱，该直棱柱与原来的棱柱侧面积相等，而该直棱柱的底面周长为直截面周长c1，高为原棱柱的侧棱长1，从面S侧=c11，故例1也可用“割补”的思想来求解。若将该斜棱柱侧面展开，在展开图中，直截面多边形的各边在同一条直线上，这条直线与侧棱垂直，故可用侧面展开图来得到本题的结论。例1、设有三个命题甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体乙：底面是矩形的平行六面体是长方体丙：直四棱柱是直平行六面体以上三个命题中，真命题的个数是（ ）A、0 B、1 C、2 D、3分析：甲命题是真命题，因为它就是平行六面体的定义；乙命题不是真命题，因为平行六面体的侧棱不一定垂直底面；丙命题也不是真命题，因为四棱柱的底面不一定是平行四边形；所以应选B。评述：对概念，不仅仅是能背诵它，而且应掌握诸概念间的各种关系，如同一关系，从属关系等，只有认清概念间的各种关系，才能加深理解概念和正确运用要领进行推理、计算。例2、长方体的高等于h，底面积等于Q，垂直于底面的对角面的面积等于M，此长方体的侧面积等于（A） （B） (C) (D) 解：设底面两边长分别为x、y S侧 故应选C 评述：在掌握侧面积计算公式的基础上，还应注意解题的灵活性。 例3、求证： (1)平行六面体的各对角线交于一点，并且在这一点互相平分 (2)对角线相等的平行六面体是长方体。 (1)已知：平行六面体ABCDA1B1C1D1求证：AC1、BD1、CA1、DB1交于一点且互相平分证明：AA1 BB1，BB1 CC1，AA1 CC1， AA1C1C是平行四边形 CA1与AC1相交且互相平分设交点为O，即CA1过AC1的中点O同理可证BD1与AC1，DB1与AC1也相交，且互相平分，交点也是OAC1、BD1、DB1、CA1交于一点且互相平分(2)已知：平行六面体ABCDA1B1C1D1，对角线AC1、B1D、C1A、D1B相等 求证：平行六面体ABCDA1B1C1D1是长方体（图见上题）分析：要证平行六面体AC1是长方体需证两条：侧棱与底面垂直底面是矩形证明：平行六面体AC1的对角面A1C1CA、B1D1DB都是平行四边形，且它们的对角线A1C、B1D、C1A、D1B相等 对角面A1C1CA、B1D1DB都是矩形 由此可得CC1A1C1、BB1B1D1 又BB1CC1，BB1A1C1 BB1平面A1C1 平行六面体A1C是直平行六面体同理可证CB平面A1B，则BCAB 平面四边形ABCD是矩形 直平行六面体A1C是长方体例4、如图A1B1C1ABC是直三棱柱，过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l(1)判定直线A1C1和l的位置关系，并加以证明。 (2)若A1A=1，AB=4，BC=3，ABC=90，求顶点A1到直线l的距离 解：(1)IA1C1证明如下：由棱柱定义平面A1B1C1平面ABC，平面A1B1C1与平面A1BC1交于A1C1，平面A1BC1与平面ABC交于直线l根据面面平行的性质定理得1A1C1（2）过点A1作A1E1于E，则A1E即为点A1到1的距离，连结AE由直棱柱可知AA1平面ABC，直线AE是直线A1E在平面的ABC上的射影，1在平面的ABC上，AE1（三垂线定理的逆定理） 由棱柱定义知，A1C1AC，1A1C1 1AC由BDAC于D，则，且AE=BDAE=，在RtA1AE中，A1E=点A1到直线1的距离为。例5、如图，已知A1B1C1ABC是正三棱柱，D是AC中点（1） 证明AB1平面DBC1（2） 设AB1BC，求以BC1为棱，DBC1为棱，DBC1与OBC1为面的二面角a的度数。（1） 证明：A1B1C1ABC是正三棱柱 四边形B1BCC1是矩形， 连结B1C交BC1于E，则B1E=EC 连结DE 在AB1CK AC=DC DEAB1 又AB1平面DBC1 DE平面DBC1 AB1平面DBC1 （II）解：作DFBC于F，则DF平面B1BCC1，连结EF，同EF是ED在平面B1BCC1上的射影 AB1BC1 由（1）知AB1DE DEBC1 则BC1EF DEF是二面角的平面角，设AC=1，则DC= ABC是正三角形，在RtDCF中，DF=DCsinC= CF=DCcosC=，取BC的中点G，EB=EC，EGBC 在RtBEF中，EF2=BFGF 又BF=BCFC=，GF= EF2=，EF= tgDEF= DEF=45 故二面角为45 例6、若一个斜棱柱底面是等腰ABC，它的三边分别AB=AC=10m，BC=12cm，棱柱的顶点A1与A、B、C三点等距，且侧棱AA1=13cm，求棱柱的面积。解：自B点引BDAA1垂足为D，连CD，AA1=A1B=A1C，又底面为等腰三角形，故顶点A1在底面ABC上的射影O在底边BC的高AE上，由三垂线定理AA1BC，AA1BD，得AA1平面BDCAA1CD在A1AB中，引A1FAB于F在RtA1FA中，AA1=13，AF=5，A1F=12得，则又在ABC中，AEBC，AB=10，BE=6，AE=8评述：求斜棱柱侧面积的基本方法是求出各个侧面的面积再相加，而全面积是侧面积与两底面积之和。【一周一练】 一、选择题 1、设M=棱柱，N=斜棱柱，P=正棱柱，则下列关系不正确的是（ ） （A） （B） （C） （D） 2、下述棱柱中为长方体的是（ ） （A）直平行六面体 （B）对角面是全等矩形的四棱柱 （C）侧面部是矩形的直四棱柱 （D）底面是矩形的直棱柱 3、已知四个命题（ ） 一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 有相邻两个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱 有一条侧棱与底面两边垂直的棱柱是直棱柱 （A）四个都是假命题（B）只有是真命题（C）只有是假命题（D）只有是假命题 4、若长方体的三个面的面积分别是，则长方体的对角线的长是（ ） （A） （B） （C）3 （D）不同于（A）（B）（C） 5、设正三棱柱ABCA1B1C1的每条棱长都是a，则经过ABC1的截面面积等于（ ） （A） （B） （C） （D） 6、斜棱柱直截面的周长为3，高为，侧棱与底面所成的角是600，则它的侧面积等于（ ） A、6 B、3 C、3 D、4二、填空题 7、在三棱柱ABCABC中,侧面AACC是垂直于底面的棱形，BCAC则 AB与AC成 _度角。 8、长方体的一条对角线和同一顶点上的三条棱中的两条所成的角为60、45，则它和另一条棱所成的角为 _。 9、若正方体ABCDABCD的棱长为，则截面ABD与截面BDC的距离为 _。 10、正六棱柱的高为5，最长对角线为13，它的侧面积是 _。 11、长方体三条棱长分别是AA=2，AB=3，AD=4，从A点出发，经过长方体的表面到C的最短距离是 _。 12、设斜棱柱的侧棱与底面成60角，高为2，它的直截面的周长为10，则该斜棱柱的侧面积是 _。三、解答题 13、直平行六面体的底面边长是3cm、5cm，底面平行四边形较短的对角线垂直于短边，侧棱长是cm，求这直平行六面体的对角线长。 14、正三棱柱ABCABC，已知BCAC，求证：ABAC。 15、直三棱柱底面为RtABC，ACB=90，AB=2，ABC=30，把这个棱柱的两个侧面C1CAA1和C1CBB1展开铺平在一个平面内，若C1AC1B，求棱柱的侧面积。【一周一练答案】题号123456答案CDBCAA 7