湖南衡阳第八中学高三数学第二次月考理

衡阳市八中2019届高三第二次月考试题理科数学 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化简集合B,再求AB.【详解】由题得B=y|0y4，所以.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 集合的运算要注意灵活运用维恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用.2.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】为纯虚数，所以，故选A.3.函数的导函数的图象如图所示，则函数的图像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由的图像可知函数在上的单调性为单调递减，单调递增，单调递减，单调递增，选项AC不合题意，且函数的第二个拐点出现在轴右侧，选项B错误.本题选择D选项.4.已知等差数列中，是函数的两个零点，则的前8项和等于（ ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 20【答案】C【解析】【分析】先由题得,再利用等差数列的性质求前8项的和.【详解】由题得,所以.故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查等差数列的性质和前n项和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等差数列中，如果m+n=p+q,则,特殊地，2m=p+q时，则，是的等差中项.5.下列命题错误的是（ ）A. 命题“ ，”的否定是“，”;B. 若是假命题，则，都是假命题C. 双曲线的焦距为D. 设，是互不垂直的两条异面直线，则存在平面，使得，且【答案】B【解析】【分析】对每一个选项逐一判断得解.【详解】对于选项A，由于特称命题的否定是特称命题，所以命题“ ，”的否定是“，”，是正确的.对于选项B, 若是假命题，则，至少有一个是假命题，所以命题是假命题.对于选项C, 双曲线的焦距为2c=2 ,所以是真命题.对于选项D, 设，是互不垂直的两条异面直线，则存在平面，使得，且,是真命题.故答案为：B【点睛】本题主要考查特称命题的否定，考查复合命题的真假，考查双曲线的简单几何性质和直线平面的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.6.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】 得解.【详解】 .故答案为：D【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.7.已知函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，的几何意义是以原点为圆心，半径为的圆的面积的，故，故选D.8.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先跟别判断出所在的范围，然后再比较大小详解：，故选A点睛：比较幂和对数的大小时，由于面对的是两类不同的数，因此比较时可先判定出数所在的范围，从而可得大小关系；若仍无法比较，则选取适当的中间量（如0或1），根据各数与中间量的大小关系得到所求结论9.将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴是直线（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题设有，令，解得，故选C.10.已知，点为斜边的中点，则等于（ ）A. B. C. 9 D. 14【答案】D【解析】在，点为斜边的中点，,，故选D点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的数量积运算.解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底.11.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形，点为的中点，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个六棱锥，其底面是边长为的正六边形，有一个侧面是底边上的离为的等腰三角形，且有侧面底面，设球心为，半径为到底面的距离为，底面正六边形外接球圆半径为，解得此六棱锥的外接球表面枳为，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力以及外接球的表面积，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.12.若函数， ，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时， 函数若， ，使成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数f（x）在0，2）上的解析式，分析可得函数f（x）在0，2）上的最值，结合a级类周期函数的含义，分析可得f（x）在6，8上的最大值，对于函数g（x），对其求导分析可得g（x）在区间（0，+）上的最小值；进而分析，将原问题转化为g（x）minf（x）max的问题，即可得+m8，解可得m的取值范围，即可得答案【详解】根据题意，对于函数f（x），当x0，2）时，分析可得：当0x1时，f（x）=2x2，有最大值f（0）=，最小值f（1）=，当1x2时，f（x）=f（2x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有f（x），又由函数y=f（x）是定义在区间0，+）内的2级类周期函数，且T=2；则在6，8）上，f（x）=23f（x6），则有12f（x）4，则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，则函数f（x）在区间6，8上的最大值为8，最小值为12；对于函数 ，有g（x）=+x+1=，分析可得：在（0，1）上，g（x）0，函数g（x）为减函数，在（1，+）上，g（x）0，函数g（x）为增函数，则函数g（x）在（0，+）上，由最小值f（1）=+m，若x16，8，x2（0，+），使g（x2）f（x1）0成立，必有g（x）minf（x）max，即+m8，解可得m，即m的取值范围为（，；故答案为：B【点睛】本题主要考查函数的最值问题和新定义，注意将题目中“x16，8，x2（0，+），使g（x2）f（x1）0成立”转化为函数的最值问题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量与的夹角为，且，则_【答案】【解析】分析：先根据求得，再由数量积求得详解：，整理得，解得点睛：本题考查数量积的运算，解题时注意数量积的运算满足多项式运算的运算律解答本题的关键是把作为未知数，并结合题意构造出相应的方程，通过解方程达到求解的目的14.设实数满足约束条件，则的最大值是_.【答案】1【解析】表示点到的斜率，由可行域可知，过点时，取最大值1。15.有一个游戏：盒子里有个球，甲，乙两人依次轮流拿球（不放回），每人每次至少拿一个，至多拿三个，谁拿到最后一个球就算谁赢。若甲先拿，则下列说法正确的有：_若，则甲有必赢的策略；若，则乙有必赢的策略； 若，则乙有必赢的策略；若，则甲有必赢的策略。【答案】【解析】【分析】对每一个选项逐一判断，前面3个可以举反例说明其是错误的，对最后一个要正面分析推理.【详解】先证明以下事实：当遇到盒中球数为3、4、5时，先拿者赢。证明：不妨设甲先拿，因为最后为一个球，所以当球数为3时，甲先拿1个，乙只能拿一个，最后甲拿1个赢。当球数为4时，甲先拿2个，乙只能拿一个，最后甲拿1个赢。当n=5时，甲先拿3个即可赢。当球数5时，甲先拿3个，乙只能拿一个，最后甲拿1个赢。证完。由已证命题可知正确。当n=6时，无论甲先拿几个球皆输。因为若甲先拿1个，则还剩5个，据上述命题这时乙必赢；若甲先拿2个，则还剩4个，据上述命题这时乙必赢；若甲先拿3个，则还剩3个，据上述命题这时乙必赢；所以正确。当n=7时，乙不能必赢。反例：当甲先拿1个时，还剩6个，由知甲赢。所以错误。当n=9时，甲先拿3个，还剩6个，据知甲赢。所以正确。综上，应填.【点睛】(1)本题主要考查推理证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)说明一个命题是假命题，只要列举一个反例即可,如果要说明它是真命题，则要分析推理证明.16.中，三内角的对边分别且满足，是以为直径的圆上一点，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】根据，a=1，利用正弦定理和三角形内角和定理即可求解A，作ABC的外接圆，当AD经过ABC的外接圆的圆心且垂直于BC时，AD最大即可求解【详解】由，a=1，得，根据正弦定理sinB=sinAsin（C+），sin（A+C）=sinAsin（C+），可得cosAsinC=sinAsinCsinC0，cosA=sinA即A=作ABC的外接圆，当AD经过ABC的外接圆的圆心且垂直于BC时，AD最大设BC中点为O，此时OA=那么：AD=OA+OD=故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理以及ABC的外接圆的最大值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是作ABC的外接圆，当AD经过ABC的外接圆的圆心且垂直于BC时，AD最大三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.如图，已知是中的角平分线，交边于点.（1）用正弦定理证明：；（2）若，求的长.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）根据是的角平分线,利用正弦定理、三角形内角和定理及诱导公式，即可证明结论成立；(2)根据余弦定理，先求出的值，再利用角平分线和余弦定理，即可求出的长.试题解析：（1）AD是BAC的角平分线，BAD=CAD根据正弦定理，在ABD中，=在ADC中，= sinADB=sin（ADC）=sinADC=，=（2）根据余弦定理，cosBAC=即cos120=解得BC=又=，解得CD=，BD=； 设AD=x，则在ABD与ADC中，根据余弦定理得，cos60=且cos60=解得x=，即AD的长为18.如图，由，围成的曲边三角形，在曲线弧上有一点，（1）求以为切点的切线方程；（2）若与，两直线分别交于两点，试确定的位置，使面积最大。【答案】(1)；（2）M(，.【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义先求切线的斜率，再写出直线的点斜式方程.(2)先求出，再利用导数求函数的最大值得解.【详解】因为y=所以切线方程为（2）由题得0t8，当y=0时，0=2tx-当x=8时，.所以函数在单调递增，在单调递减，所以当x=时，.此时M(.【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和曲线的切线方程的求法，考查利用导数求函数的最大值，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.(3) 利用导数解应用题的步骤：读题和审题，主要是读懂那些字母和数字的含义;分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系（注意确定函数的定义域）；求函数的导数，解方程；如果函数的定义域是闭区间，可以比较函数在区间端点和使的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；如果函数的定义域不是闭区间，又只有一个解，则该函数就在此点取得函数的最大（小）值，但是要进行必要的单调性说明.19.如图，已知平面，平面，为等边三角形，为的中点（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值的大小【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）设，以，所在的直线分别作为轴、轴，以过点在平面内和垂直的直线作为轴，建立如图所示的坐标系，利用向量法证明，即证平面.(2)利用向量法求二面角的余弦值的大小【详解】设，以，所在的直线分别作为轴、轴，以过点在平面内和垂直的直线作为轴，建立如图所示的坐标系，为的中点，（1）证明，平面，平面（2）设平面的一个法向量，则，即，不妨令可得设平面的一个法向量，则，即，令可得于是，故二面角的余弦值为【点睛】（1）本题主要考查空间位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.（2）二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）20.若数列是公差为2的等差数列，数列满足，且（1）求数列，的通项公式；（2）设数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出，再求出，再利用求出的通项公式.(2)先求出足，再利用错位相减求得，即得，再对n分奇偶讨论即得解.【详解】（1）数列满足，且时，解得又数列是公差为2的等差数列，化为，数列是首项为1，公比为2的等比数列（2）由数列满足，数列的前项和为，两式作差，得，不等式，化为，时，取，时，取，综上可得：实数的取值范围是【点睛】(1)本题主要考查等差数列等比数列的通项的求法，考查错位相减法求和，考查数列的最值问题，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是错位相减准确计算出，其二是再对n分奇偶讨论求得实数的取值范围21.已知，.（）若，求的极值；（）若函数的两个零点为，记，证明：【答案】（）极大值为，无极小值；（）证明见解析.【解析】分析：（）先判断函数在上的单调性，然后可得当时，有极大值，无极小值（）不妨设，由题意可得，即，又由条件得，构造，令，则，利用导数可得，故得，又，所以详解：（），由得，且当时，即在上单调递增，当时，即在上单调递减，当时，有极大值，且，无极小值（）函数的两个零点为，不妨设， ，即，又，令，则，在上单调递减，故，即，又，点睛：（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数的变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的大体图象，然后通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现（2）证明不等式时常采取构造函数的方法，然后通过判断函