江苏江高三数学考前模拟三模

江苏省镇江市2019届高三数学考前模拟（三模）试题（含解析）第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）1.已知集合，则_.【答案】【解析】【分析】利用交集定义直接求解【详解】集合，故答案为：【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2.设复数（为虚数单位），则的共轭复数为_.【答案】【解析】【分析】根据复数运算整理出，根据共轭复数定义得到结果.【详解】 的共轭复数为：本题正确结果：【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属于基础题.3.执行如图所示的伪代码，若输出的值为1，则输入的值为_.【答案】-1【解析】 执行此程序框图可知，当时，此时方程无解；当时，解得，所以输入的值为.4.已知一组数据，则该组数据的方差是_【答案】【解析】数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，该组数据的方差为：s2=（4.85.2）2+（4.95.2）2+（5.25.2）2+（5.55.2）2+（5.65.2）2=0.1故答案为：0.15.一个盒子中放有大小相同的4个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为_.【答案】【解析】【分析】列举出任取两个球所有可能的结果，找到两个球不同色的所有情况，根据古典概型求得结果.【详解】设个白球编号为：；个黑球为：从中任取两个球的所有可能结果为：、，共种所取的两个球不同色的有：、，共种所求概率为：本题正确结果：【点睛】本题考查古典概型的概率问题的求解，考查列举法的应用，属于基础题.6.用半径为4的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为_.【答案】【解析】【分析】由半圆弧长可求得圆锥的底面半径，从而得到圆锥的高，代入圆锥体积公式求得结果.【详解】半圆的弧长为： 即圆锥的底面半径为：圆锥的高为：圆锥的体积为：本题正确结果：【点睛】本题考查圆锥侧面积、体积的相关问题的求解，属于基础题.7.在平面直角坐标系中，双曲线的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为_.【答案】【解析】【分析】根据双曲线方程得到右顶点坐标和渐进线方程；利用点到直线距离公式构造出关于的方程，解方程求得，从而得到双曲线方程.【详解】双曲线的右顶点为：；渐近线为：依题意有：，解得：双曲线的方程为：本题正确结果：【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够熟练应用双曲线的几何性质，利用点到直线距离构造出方程.8.在等比数列中，成等差数列，则_.【答案】【解析】【分析】根据三项成等差数列可构造方程求得等比数列的公比满足，将所求式子化为和的形式，化简可得结果.【详解】，成等差数列 即：，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合应用问题，关键是能够求解出等比数列的基本量，属于基础题.9.若函数 （，）的图像过点，且关于点对称，则_.【答案】【解析】【分析】根据图象过可求得；利用图象关于对称代入，结合求得；从而可得，代入求得结果.【详解】函数的图像过点 ，即： 又函数图象关于点对称 ，即：， ，本题正确结果：【点睛】本题考查根据三角函数的性质求解函数的解析式，利用解析式求值的问题，属于常规题型.10.已知圆：，若直线与圆相交于，两点，且，则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】利用求得；根据直线被圆截得的弦长等于可利用表示出弦长，从而得到方程，解方程求得结果.【详解】圆心的坐标为：，半径 弦长圆心到直线的距离为：弦长，化简得：解得：本题正确结果：【点睛】本题考查利用直线被圆截得的弦长求解参数值的问题，关键是能够明确直线被圆截得的弦长等于.11.已知函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】将问题转变为与的图象且只有一个交点，画出的图象，通过平移直线找到符合题意的情况，从而确定参数范围.【详解】由得：函数有且只有一个零点等价于：与的图象且只有一个交点画出函数的图象如下图：的图象经过点时有个交点，平移，由图可知，直线与轴的交点在点的上方时，两图象只有个交点，在点下方时，两图象有个交点，即本题正确结果：【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围，涉及到指数函数、对数函数图象的应用，关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，通过数形结合的方式，结合直线的平移得到结果.12.在等腰中，则面积的最大值为_【答案】4【解析】【分析】由题意建立坐标系，结合向量模的坐标运算及基本不等式求解即可【详解】以为轴，以的垂直平分线为轴，设 ， ， ， ， ， ， ， ，当且仅当时，即 ， ，面积的最大值为4，故答案为：4【点睛】本题考查了用解析的方法解决平面几何问题，考查了向量的坐标运算，模的计算，考查了基本不等式的应用，属于中档题13.若，均为正实数，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】将所求式子变为，利用基本不等式可求得，则可知当时，可求得最小值.【详解】当，即时取得最小值为：本题正确结果：【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够配凑出符合基本不等式的形式，易错点是忽略等号成立的条件.14.设，若存在实数，使得的定义域和值域都是，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据单调性可得，设，由可整理出，从而求得，将方程组变为，整理可得，根据的范围求得的取值范围.【详解】在是减函数 即：设，由，得 则变： ，即： 本题正确结果：【点睛】本题考查函数定义域和值域的应用问题，关键是能够根据单调性确定最值取得的点从而构造出方程组，通过换元的方式可将问题转化为二次函数值域的求解问题；易错点是忽略自变量的取值范围，造成求解错误.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，底面，为上一点，为中点.（1）若平面，求证：为的中点；（2）若，求证：平面.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）连接，根据线面平行的性质定理可知，又为中点，可证得结论；（2）利用线面垂直的性质可知，正方形可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，根据线面垂直性质可知，根据等腰三角形三线合一可知，根据线面垂直判定定理可证得结论.【详解】（1）连接，由四边形是正方形知，为中点平面，面，面面为中点 为的中点（2）在四棱锥中，四边形是正方形 为中点 又底面，底面 而四边形是正方形 平面， 平面又平面 平面，平面【点睛】本题考查立体几何中直线与直线、直线与平面位置关系的证明问题，涉及到线面平行性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于常规题型.16.已知分别为三个内角所对的边，若向量，且.（1）求角；（2）若，且，求边.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用向量垂直可知数量积等于零，从而得到，利用正弦定理可整理为，从而可求得，根据求得；（2）利用构造方程求得，利用余弦定理可构造关于的方程，解方程求得结果.【详解】（1） ，又向量，故由正弦定理得：又 又 （2）由（1）知 ，即：，解得：在中，由余弦定理得：又，故，即：又，解得：或【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到向量模长的求解和垂直关系的应用、正弦定理化简边角关系式、三角形内角和的应用、余弦定理解三角形，属于中档题.17.江心洲有一块如图所示的江边，为岸边，岸边形成角，现拟在此江边用围网建一个江水养殖场，有两个方案：方案l：在岸边上取两点，用长度为的围网依托岸边线围成三角形（，两边为围网）；方案2：在岸边，上分别取点，用长度为的围网依托岸边围成三角形.请分别计算，面积的最大值，并比较哪个方案好.【答案】，面积的最大值分别为，.其中方案好.【解析】【分析】分别在三角形面积公式中应用基本不等式、余弦定理中利用基本不等式计算出方案和方案中和面积的最大值，通过最大值的比较可知方案好.【详解】方案：设，由已知“用长度为的围网，两边为围网”得且当且仅当且时，等号成立面积的最大值为方案：设，在中，由余弦定理得：即（当且仅当时等号成立）（当且仅当时等号成立）面积的最大值为 方案好【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，主要是求解三角形面积的最大值，涉及到基本不等式的应用，属于常规题型.18.在平面直角坐标系中，圆的方程为，且圆与轴交于两点，设直线的方程为.（1）当直线与圆相切时，求直线的方程；（2）已知直线与圆相交于两点.（i），求直线方程；（ii）直线与直线相交于点，直线，直线，直线的斜率分别为，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）（i）直线的方程为；（ii）存在常数，使得恒成立.【解析】【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径构造关于的方程，解方程求得结果；（2）（i）设，由可得，代入圆的方程可求解出点坐标，从而得到斜率，求得直线方程；（ii）将直线方程代入圆的方程可求得点坐标；同理将直线方程代入圆的方程可求得点坐标；利用可求得的关系，利用表示出点坐标，整理可得，进而可得到满足，得到常数.【详解】（1）由题意， 圆心到直线的距离直线与圆相切 ，解得：直线方程为：（2）（i）设，由得：由，解得： 直线的方程为：（ii）由题意知：，则，与圆联立得： 同理可得： ，整理可得： 设 ，即 存在常数，使得恒成立【点睛】本题考查根据直线与圆的位置关系求解直线方程、直线与圆中的存在性、定值类问题，关键是能够灵活运用直线与圆联立，将所涉及的变量用同一变量来表示，从而可整理得到所求参数的值.19.已知函数（，是自然对数的底数）.（1）若函数在点处的切线方程为，试确定函数的单调区间；（2）当，时，若对于任意，都有恒成立，求实数的最小值；当时，设函数，是否存在实数，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）；存在，使得命题成立【解析】【分析】（1）利用切线方程可知，从而构造出方程组求得，得到解析式，根据导函数的符号确定的单调区间；（2）将问题转化为对任意恒成立；设，利用导数求解，可得；设存在，使得，将问题转化为，利用导数分别在，和研究的最大值和最小值，从而根据最值的关系可求得的取值范围.【详解】（1）由题意在点处的切线方程为：，即： 解得：，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增（2）由，即：对任意，都有恒成立等价于对任意恒成立记，设 对恒成立在单调递增而，在上有唯一零点当时，当时，在单调递减，在上单调递增的最大值是和中的较大的一个，即 ，的最小值为假设存在，使得，则问题等价于 当时，则在上单调递减，即，得： （2）当时，则在上单调递增，即，得： （3）当时，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，即（*）由（1）知在上单调递减，故，而不等式（*）无解综上所述，存在，使得命题成立【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数的几何意义的应用、研究函数的单调性、恒成立问题的求解.本题的解题关键是能够将问题转化为函数最值之间的关系，从而将恒成立问题进行等价转化，转变为函数最值的求解问题，20.对于无穷数列，若，则称是的“收缩数列”.其中，分别表示中的最大数和最小数.已知为无穷数列，其前项和为，数列是的“收缩数列”.（1）若，求的前项和；（2）证明：“收缩数列”仍是；（3）若且，求所有满足该条件的.【答案】（1）；（2）详见解析；（3），.【解析】【分析】（1）根据可得为递增数列，从而可得，利用等差数列求和公式可得结果；（2）可证得，即，则可知，可证得结论；（3）令猜想可得，整理可知此数列满足题意；利用反证法可证得不存在数列不满足，的符合题设条件，从而可得结论.【详解】（1）由可得递增数列由通项公式可知为等差数列的前项和为：（2），又的“收缩数列”仍是（3）由可得：当时，；当时，即，所以；当时，即（*），若，则，所以由（*）可得，与矛盾；若，则，所以由（*）可得所以与同号，这与矛盾；若，则，由（*）可得.猜想：满足的数列是：， 经验证，左式右式下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件由上述时的情况可知，时，是成立的假设是首次不符合，的项，则由题设条件可得（*）若，则由（*）式化简可得与矛盾；若，则，所以由（*）可得所以与同号，这与矛盾；所以，则，所以由（*）化简可得.这与假设矛盾.所以不存在数列不满足，的符合题设条件综上所述：，【点睛】本题考查新定义运算的问题求解，关键是能够明确新定义的具体意义，从而将问题转化为最大项与最小项的问题，涉及到递增数列、猜想与证明、反证法等知识，对于学生理解与应用能力、转化与化归能力要求较高，属于难题.第II卷（附加题，共40分）【选做题】本题包括三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.已知矩阵，若直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，求直线的方程【答案】.【解析】分析：先求出AB，再设点P0(x0，y0)是l上任意一点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(x，y)，再求直线的方程详解：因为A，B，所以AB 设点P0(x0，y0)是l上任意一点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(x，y)因为P0(x0，y0)在直线l: xy20上，所以x0y020 由AB，即，得, 即,将代入得x4y40，所以直线l1的方程为x4y40点睛：本题主要考查矩阵和矩阵变换下直线方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.22.极坐标中，过点作曲线的切线，求直线的极坐标方程.【答案】【解析】【分析】将极坐标方程化为普通方程，可验证出点在圆上，从而可得过点切线的直角坐标方程，将直角坐标方程再化回极坐标方程即可.【详解】曲线的直角坐标方程为：点的直角坐标为 点在圆上，又因为圆心故过点的切线为所求的切线的极坐标方程为：【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，涉及到过圆上一点的圆的切线的求解，属于常规题型.23.已知，且，求证：.【答案】详见解析【解析】【分析】根据柯西不等式可证得结果.【详解】又 【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式的问题，属于常规题型.【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.24.某商场进行抽奖活动.已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色.现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为.（1）若取球过程是无放回的，求事件“”的