高二数学抛物线方程知识精讲苏教

高二数学抛物线方程知识精讲一. 本周教学内容：抛物线方程二. 重点、难点：教学重点：抛物线的定义、标准方程、几何性质及运用教学难点：利用定义解题及求抛物线方程三. 主要知识点：1、抛物线的定义：平面内到定点F的距离与到定直线l（F不在定直线l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线2、标准方程的推导建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的过定点F作FNl，垂足为K，以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系设|FN|p（p0），M（x，y）为抛物线上任意一点，作PHl，垂足为HPFPH化简得y22px（p0）3. 四种标准方程的比较4. 抛物线的简单几何性质 （1）自身固有的几何性质 位置关系：焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴；顶点是焦点及焦点在准线上射影的中点； 数量关系：焦点到准线的距离为p离心率e1，通径长为2p （2）解析性质：以抛物线y22px（p0）为例范围：x0，yR基本参数：焦点F（，0），准线x，顶点（0，0）焦半径：抛物线y22px（p0）上点P（x0，y0）到焦点F距离rx0 抛物线y22px（p0）上点P（x0，y0）到焦点F距离rx0 抛物线x22py（p0）上点P（x0，y0）到焦点F距离ry0 抛物线x22py（p0）上点P（x0，y0）到焦点F距离ry05. 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系与直线与椭圆双曲线的位置关系一样，有三种：相离、相交、相切，判断方程仍然是判别式法（法），其中当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线方程与抛物线方程联立消元后所得方程为一元一次方程所以在用判别式的符号判断直线与抛物线位置关系时，应注意这一退化情形【典型例题】例1. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程法一、设抛物线方程为y22px（p0）.则焦点F（，0）抛物线方程为y28x，m法二、设抛物线方程为y22px（p0），则焦点F（，0），利用定义得（3）5，p4，抛物线方程为y28x，又因为点M（3，m）在抛物线上，故m28（3） m.分析：充分利用抛物线的定义解题例2. 抛物线y24x上一点A到B（3，2）与到焦点F的距离之和最小，求点A的坐标并求最小值分析：因为AFAN，故N，A，B三点共线既可解：在图中画出准线l，过点A作ANl，则ANAF，ABAFABANBN故当A，B，N三点共线时，其和最小，过点B作BNl交抛物线于点A则点A即为所求的点，A（1，2）说明：将最值转化为几何问题解决，从而比较容易解决例3. 求与圆（x3）2y29外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程解题思路分析：设定圆圆心M（3，0），半径r3，动圆圆心P（x，y），半径为R，则由已知得下列等式 |PM|x|3当x0 时，上式几何意义为点P到定点M的距离与它到直线x3的距离相等 点P轨迹为抛物线，焦点M（3，0），准线x3 P6，抛物线方程为y212x当x0），y0（x0得k22k10，当，或时，直线与抛物线有两个公共点由0得k，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点由0）焦点F的直线与抛物线交于P、Q两点，线段PQ的中垂线交x轴于R，求证：|PQ|2|FR|解题思路分析：引入参数求出|PQ|及|FR|，因PQ是过F的旋转直线系，所以将直线PQ的斜率作为参数显然直线PQ的斜率存在设直线PQ：由 得：设P（x1，y2），Q（x2，y2），则由抛物线定义得： 为求|FR|，先求PQ中点M坐标，设PQ中点M（x0，y0）则 ， PQ中垂线方程：令y0，得： |FR| |PQ|2|FR|注：（1）本题在求弦长|PQ|时，因直线PQ过焦点，故采用了定义，简化计算（2）在求PQ中点M坐标时，除了用韦达定理法，还可用点差法，而且因为抛物线方程是非齐次式，用点差法相对来说简单一些得：（y1y2）（y1y2）2p（x1x2） x1x2 【模拟试题】（满分100分，时间60分钟）一、选择题（每题只有一个正确答案，每题5分，共40分）1、已知抛物线的焦点坐标是（2，0），则抛物线的标准方程是A、y24x B、y24x C、y28x D、y28x2、经过点P（4，2）的抛物线的标准方程为A、y2x或x28y B、y2x或y28xC、y28x D、x28y3、抛物线x24ay的准线方程为A、xa B、xa C、ya D、ya4、焦点在直线3x4y120上的抛物线标准方程为A、x216y或y216x B、y216x或x212yC、y216x或x212y D、x216y或y212x5、已知动点M的坐标满足，则动点M的轨迹是A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、以上均不对6、抛物线y24x上一点P到焦点F的距离是10，则点P的坐标是A、（6，9） B、（9，6） C、（9，6） D、（6，9）7、已知A、B是抛物线y22px（p0）上两点，O为坐标原点，若|OA|OB|，且AOB的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB的方程是A、x9 B、x3p C、xp D、xp8、过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1x26，则|AB|等于A、10 B、8 C、6 D、4二、填空题（每题6分，共12分）9、动圆M经过点A（3，0）且与直线l：x3相切，则动圆圆心M的轨迹方程是 10、已知P（4，1），F为抛物线y28x的焦点，M为此抛物线上的点，且使|MP|MF|的值最小，则M点坐标是 三、解答题（共48分）11、（本题满分14分）、若抛物线y22px（p0）上一点P到准线及对称轴距离分别是10和6，求P点横坐标及抛物线方程12、（本题满分16分）、求以点F（1，1）为焦点，以l：xy20为准线的抛物线方程13、（本题满分18分）、抛物线C：y24ax（a0）上动点M，当M到点A（1，0）的距离|MA|最小时，M的位置为M0，若|M0A|1，求： （1）a的取值范围；（2）a变化时，点M0的轨迹方程参考答案一、选择题题号12345678答案DACCCBCB二、填空题9、y12x10、M（，0）三、解答题11、解：设P（x，y）则 6 10 P点横坐标为9，抛物线方程为y24x1412、解：设抛物线上任一点P（x，y），则由定义得： 6两边平方得： 2（x1）2（y1）2（xy2）212展开，整理得： x22xyy28x01613、解：（1）设M（x，y）则 |MA|2（x1）2y2（x1）24axx22（2a1）x1 x（2a1）24a4a2（x0）