高二数学导数的应用知识精讲人教实验B

高二数学导数的应用知识精讲一. 本周教学内容：3.3 导数的应用二. 教学目的1、掌握用导数判断函数的单调区间的一般方法2、掌握用导数求函数的极值(最值)的一般方法三. 教学重点、难点重点：用导数判断函数的单调区间和极值(最值)难点：利用导数解决实际问题中的最优化问题四. 知识分析（一）利用导数研究函数的单调性1、利用导数判断函数的单调性的基本方法设函数在区间内可导，那么在区间内(1)如果恒有，则函数在区间内为增函数；(2)如果恒有，则函数在区间内为减函数；(3)如果恒有，则函数在区间内为常数函数2、利用导数判断函数的单调区间的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求函数的导数；(3)在函数的定义域内解不等式或；(4)确定函数的单调区间注意以下几点： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调性及单调区间； (2)不能随意将函数的两个各自独立的单调区间写成并集形式； (3)利用导数解决含有参数的单调性问题时，一般将问题化成不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用； (4)函数在某个区间上单调递增和导数在该区间大于零并不是等价的，严格来讲，“导数大于零”是“单调递增”的充分非必要条件，函数在某个区间上单调递增可能存在某个点的导数为零，例如函数在整个定义域R上是单调递增的，但它在处的导数为零（二）利用导数来研究函数的极值和最值：1、利用导数来研究函数的极值：(1)极值的概念：如果函数在点的函数值比它在附近的函数值都小，那么叫作函数的极小值，点叫作函数的极小值点；如果函数在点的函数值比它在附近的函数值都大，那么叫作函数的极大值，点叫作函数的极大值点(2)判断方法： 求函数的导数； 求方程的所有实根； 检验在每个根左右两侧的符号，如果在某个根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在某个根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值；如果在某个根的左侧、右侧附近符号相同，那么函数在这个根处没有极值 注意：函数在点处的导数为零，既不是为极值的充分条件，也不是必要条件如果是可导函数，那么是的必要条件，然后我们用上述第条来判断；但对于在处不可导的情况并不适用，我们可依据定义来判断如函数在处是不可导的，但是它的极小值点2、利用导数求函数的最值：函数在闭区间上的图像是一条连续的曲线，则函数在上一定能够取得最大值与最小值 (1)求函数在闭区间上的最值的步骤： 求函数在区间内的极值； 将函数的各极值点处的函数值与端点处的函数值和比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值(2)注意以下两点： 求函数的最值与极值不同，在求可导函数的最值时，不需要对各导数为0的点讨论是极大值还是极小值，只需将导数为0的点的函数值和端点处的函数值进行比较即可； 有时可利用函数的单调性来求在闭区间上的最值，如果在上单调递增，那么的最大值为，最小值为；如果在上单调递减，那么的最大值为，最小值为3、导数在解决实际应用题中的运用 在实际问题中，常常会碰到最优化的问题，导数是解决这类问题的方法之一，利用导数可以求实际问题中的最大值和最小值的问题具体方法如下： 建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量的函数关系；求函数的导数，解方程求出极值点； 比较函数在区间端点和极值点处的取值的大小，确定其最大值(或最小值)注意：在实际问题中要考虑变量的实际意义，弄清变量的取值范围，然后在此范围内来求它的最大或最小值 【典型例题】（一）利用导数求函数的单调区间：例1. 求导数yx42x28的单调区间解析：函数的定义域为(，)f(x)4x34x，令f(x)0，得x10，x21，x31用x1，x2，x3分割定义域，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，0)0(0，1)1(1，)f(x)000f(x)f(x)的单调增区间为(1，0)和(1，)，f(x)的单调减区间为(，1)和(0，1)点评：也可解不等式f(x)0，f(x)0若不等式是一元一次或一元二次的可直接解出；若是一元三次或三次以上的不等式可采用同解变形的方法转化成不等式组求解，也可直接采用穿根法求解例2. 若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，)上为增函数，试求实数a的取值范围解析：函数f(x)的导数f(x)x2axa1，令f(x)0，解得x1或xa1当a11即a2时，函数f(x)在(1，)上为增函数，不合题意当a11，即a2时，函数f(x)在(，1)上为增函数，在(1，a1)内为减函数，在(a1，)上为增函数依题意应有：当x(1，4)时，f(x)0；当x(6，)时，f(x)0.所以4a16，解得5a7，所以a的取值范围是5，7点评：本题关键之处在于一定要就小的值进行分类讨论.本题主要考查导数的概念和计算应用导数研究函数单调性的基本方法，考查了综合应用所学知识解决问题的能力例3. 设恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间解析：函数的定义域为，(1)若，则恒成立，与已知矛盾(2)若，则，因此函数有三个单调区间，其中增区间为，；减区间为点评：含参数函数单调性的确定，关键是由定义域内自变量的取值范围及参数的取值共同确定的符号（二）利用导数求函数的极值和最值例4. 求下列函数的极值：(1)；(2)解析：(1)函数的定义域为R令f(x)0，得x0或x2当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知当x0时，函数f(x)取得极小值0；当x2时，函数取得极大值(2)函数的定义域为R，令f(x)0，得x1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知：当x1时，f(x)取得极小值3；当x1时，f(x)取得极大值1点评：利用导数求函数极值时，只是函数f(x)在处有极值的必要条件，要判别处是否是极值，还要看附近导数的符号是否相反，如果相反，处有极值；如果相同，则处没有极值例5. 求函数的极值解析：，令f(x)0，得x0或x2，又函数f(x)定义域为xR且x1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知，当x0时，函数f(x)取得极小值2；当x2时，函数f(x)取得极大值2点评：此函数解析式较复杂，若直接求导，则较繁，故应先化简，再求导数较好例6. 已知在x1处取得极值，且f(1)1(1)求a，b，c的值；(2)判断x1是函数的极大值还是极小值，并说明理由解析：(1)x1是函数的极值点x1是的两个根又已知f(1)1，a+b+c1 解、得：(2) 列表如下：由表可知：当x1时，函数f(x)取得极大值1，当x1时，函数f(x)取得极小值1点评：实数域上的可导函数的极值点，必为f(x)0的根，由此建立等式，解出待定系数a、b、c例7. 求函数在区间2，2上的最大值与最小值解析：4x34x令0，有4x34x0，解得：x1，0，1当x变化时，y的变化情况如下表：2(2，1)1(1，0)0(0，1)1(1，2)20+00+1345413从上表可以看出，最大值是13，最小值是4点评：只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比 较，就可以求出函数的最大(最小)值了（三）实际应用题：例8. 用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积解析：设容器底面短边长为x m，则底面的长边长为(x0.5)m，容器的高为3.22x，由3.22x0和x0，得0x1.6设容器的容积为V m3，则有Vx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x(0x1.6V6x24.4x1.6令V0，有6x24.4x1.60，即15x211x40解之得x1或x(不合题意，舍去)在定义域(0，1.6)内只有x1处使V0由题意，若x过小(接近0)或过大(接近1.6)时，V值很小，因此，当x1时，V取得最大值，Vmax214.411.611.8，这时高为3.221.2(m)当容器的高为1.2 m时容积最大，最大容积为1.8 m3点评：(1)如果容器的高度为x m，也可以表示出容器底面的各边长，用x表示出容积，从而将问题转化为求函数的最大值问题，但运算相对复杂，也就是说，合理地选择设置变量x，有利于问题的顺利解决(2)确定函数的定义域是解决问题的一个关键.注意实际问题的定义域除了使函数解析式有意义外，还有它的实际意义例9. 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时？箱子容积最大？最大容积是多少？解析：设箱底边长为x，则箱高h60x/2箱子容积V(x)x2h(60x2x3)/2(0x，60)V(x)60x3x2/2令V(x)0解得：x0(舍去)，x40，并求得V(40)16 000由题意可知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3点评：求最大(最小)值应用问题的一般方法：(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，并建立函数关系式，这是关键一步；(2)确定函数的定义域，并求出极值点；(3)比较各极值与定义域端点函数值的大小，结合实际问题，确定最大值或最小值点注意：在实际问题中，有时会遇到在区间内只有一个点值的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值这时所说的也适用于开区间或无穷区间【模拟试题】一、选择题1. 已知曲线yx5上一点M处的切线与直线y3x垂直，则此切线方程只能是A. 5x5y40B. 5x5y40C. 5x5y40D. 5x5y402. 函数yx3x的单调增区间为A. (，)B. (0，)C. (，0)D. 不存在3. 下列图象中，可以作为yx4ax3bx2cxd的图象的是4. 函数f(x)ax3x1有极值的充要条件是A. a0B. a0C. a0D. a05. 函数f(x)x3ax2在区间(1，)内是增函数，则实数a的取值范围是A. 3，B. 3，C. (3，)D. (，3)6. 函数yx5x32x，则下列判断正确的是A. 在区间(1，1)内函数为增函数B. 在区间(，1)内函数为减函数C. 在区间(，1)内函数为减函数D. 在区间(1，)内函数为增函数7. 若函数f(x)x3ax21在(0，2)内单调递减，则实数a的取值范围是A. a3B. a2C. a3D. 0a38. 下列说法正确的是A. 函数的极大值就是函数的最大值B. 函数的极小值就是函数的最小值C. 函数的最值一定是极值D. 闭区间上的连续函数一定存在最值9. 设函数f(x)x3ax2bxc，且f(0)0为函数的极值，则有A. c0B. b0C. 当a0时，f(0)为极大值D. 当a0时，f(0)为极小值10. 函数yx4x3x2在1，1上的最小值为A. 0B. 2C. 1D. 二、填空题：11. 有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m212. 设函数f(x)2x25x3，则函数的单调增区间是_，单调减区间是_13. 已知实数a0，函数f(x)ax(x2)2(xR)有极大值32，则实数a等于_14. 已知f(x)4xax2x3(xR)在区间1，1上是增函数，则实数a的取值范围是_三、解答题15. 确定函数f(x)2x36x2在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数.16. 求函数f(x)3xx3在闭区间，3上的最大值与最小值.17. 在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(12t，2t)，R(2t，2)，其中t(0，)(1)求矩形在第一象限部分的面积S(t)；(2)讨论函数S(t)的单调性18. 已知函数f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函数，当x1时f(x)取得极值2，求f(x)的单调区间和极大值19. 设f(x)x3x22x5(1)求函数f(x)的单调递增、递减区间；(2)当x1，2时，f(x)m恒成立，求实数m的取值范围参考答案一、15 DACCB 610 DADBA二、11、16 12、(，) (，) 13、27 14、1a1三、15、解：f(x)6x212x 令f(x)0，即6x212x0，得x0或x2因此，函数yf(x)在区间(，0)上是增函数，在区间(2，)上也是增函数再令f(x)0，即6x212x0，得0x2 因此，函数yf(x)在区间(0，2)上是减函数16、解：f(x)3xx3，f(x)33x2 令f(x)0，解得x11，x21当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0 f(1)为极小值，f(1)2同理，f(1)为极大值，f(1)2又f()0，f(3)18，f(x)max2，f(x)min1817、(1)0t，12t0 点Q落在第一象限内(如图)观察图形可得S(t)S矩形SOAR|OP|，|OR|2，S矩形OPQR2(1t2)直线RQ的方程为y2t(x2t)，令x0，得y2t22，|OA|2t22过点R作RBOA，则|RB|2tSOAR|OA|RB|(2t22)2t2t32tS(t)2(1t2)(2t32t)2t32t22t2，t(0，)(2)对S(t)求导得S(t)6t24t2424(6)(2)16480又60，S(t)0函数S(t)在区间(0，)上为单调递减函数18、解：由奇函数的定义，有f(x)f(x)，xR，即(ax3+cxd)ax3cxd，所以d0因此f(x)ax3cx，f(x)3ax2c 由条件f(1)2为f