湖南省常德市届高三数学上学期检测考试试题理 (1)

湖南省常德市2019届高三数学上学期检测考试试题 理（含解析）第卷（选择题，共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，解不等式求得集合，然后求两个集合的交集.【详解】由，解得；由，解得，故.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.已知复数是虚数单位，则z的实部为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数z，从而得到其实部.【详解】，z的实部为故应选B【点睛】数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3.如图是一个边长为5的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷500个点，其中落入黑色部分的有300个点，据此可估计黑色部分的面积为 （ ）A. 17B. 16C. 15D. 14【答案】C【解析】【分析】利用面积比列方程，解方程求得黑色部分的面积.【详解】设黑色部分的面积为，则，故选C.【点睛】本小题主要考查面积测算的问题，考查方程的思想，属于基础题.4.阅读如图程序框图，运行相应的程序，若输入，则输出的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】运行程序进行计算，当时，退出程序，输出的值.【详解】运行程序，判断否，判断否，判断是，输出，故选B.【点睛】本小题主要考查计算程序框图输出结果，考查运算求解能力，属于基础题.5.张丘建算经卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布.此问题中若记该女子一月中的第天所织布的尺数为，则的值为（ ）A. 56B. 52C. 28D. 26【答案】D【解析】【分析】根据题意设出等差数列的公差，然后利用前项和列方程，解方程求得的值，由此求得的值.【详解】等差数列的首项，设公差为，故，解得，故.故选D.【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查中国古代数学文化，属于基础题.6.已知函数的图象向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍得函数的图象，则下列区间为的单调递增区间的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由图像变换知识可得，求出其单调增区间即可.【详解】函数，向左平移个单位长度，可得再把所得图象上每个点横坐标伸长为原来的2倍得函数的图象，令2k2k，kZ，当k0时，函数yg（x）的一个单调递增区间为：，故选：A【点睛】本题主要考查利用yAsin（x+）的图象变换，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题7.已知，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断出小于零的数，然后判断出到之间的数，最后判断出大于的数，由此得出的大小关系.【详解】由于，故，故选A.【点睛】本小题主要考查对数比较大小，考查“，”分段法，属于基础题.8.函数的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性，以及函数图像上的特殊点，对选项进行分析和排除，由此得出正确选项.【详解】，定义域为，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除两个选项.，排除D选项，故选A.【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查函数的奇偶性，属于基础题.9.如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为等边三角形，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图判断出几何体的结构，进而求得几何体的体积.【详解】等边三角形的高为，由三视图可知，该几何体的左边是一个三棱锥，右边是一个半个圆锥，由此可求得几何体的体积为 ，故选C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查锥体体积计算公式，考查运算求解能力，属于基础题.10.已知双曲线的右焦点为， 以为圆心，实半轴长为半径的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点，若（其中为原点），则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设双曲线的一条渐近线方程为yx，H为PQ的中点，可得FHPQ，由，可知H为OQ的三等分点，用两种方式表示OH，即可得到双曲线的离心率.【详解】解：设双曲线的一条渐近线方程为yx，H为PQ的中点，可得FHPQ，由F（c，0）到渐近线的距离为FH=db，PH=，又OH=即，故选：D【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a,c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e的取值范围)11.已知是上的偶函数，当时，则函数的零点个数是（ ）A. 12B. 10C. 6D. 5【答案】B【解析】【分析】函数的零点个数即函数与y=的图象的交点个数，数形结合即可得到结果.【详解】由，可得，即，故函数的周期为，作出函数与y=的图象由图可知：当x0时，有5个交点，又函数与y=均为偶函数，函数的零点个数是10个.故选:B【点睛】本题主要考查了周期函数与对数函数的图象，数形结合是高考中常用的方法，考查数形结合，本题属于中档题12.已知的三个内角所对的边为，面积为，且，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用三角形面积公式可得，结合正弦定理及三角恒等变换知识可得，从而得到角A.【详解】即，（舍）故选：C【点睛】此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键第卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.设向量，且，则_【答案】【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】，由于，所以，即，解得，故.【点睛】本小题主要考查平面向量坐标运算，考查向量垂直的坐标表示，考查方程的思想，属于基础题.14.已知，且满足，若的最大值为_【答案】8【解析】【分析】画出可行域，向下平移到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为.【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.已知的展开式的各项系数和为243，则展开式中的二项式系数为_.【答案】10【解析】【分析】由的展开式的各项系数和为243，可得n5，借助二项式展开式的通项公式可得结果.【详解】令x1，可得3n243，解得n5的令，则展开式中的二项式系数为故答案为：10【点睛】本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16.已知抛物线的焦点为为坐标原点，点为抛物线准线上相异的两点，且两点的纵坐标之积为-4，直线，分别交抛物线于，两点，若A，B，F三点共线，则_.【答案】2【解析】【分析】设，分别求出A与B的坐标，结合A，B，F三点共线可得结果.【详解】设，则直线的方程为：，代入抛物线方程可得：，解得：，故A点坐标为：同理可得：B点坐标为：又，又A，B，F三点共线，由，即又，故答案为：2【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查转换能力与计算能力，是中档题三、解答题： 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17.已知等比数列的各项均为正数，且，数列的前项和为.（）求；（）求数列的前项和【答案】（）；（）.【解析】【分析】（I）将已知条件转化为，由此求得的值，进而求得的通项公式.（II）利用求得的表达式，由此求得的表达式，利用分组求和法求的值.【详解】（）设等比数列的公比 即， 解得：或 ，又的各项为正，故 （）设，数列前n项和为.由解得. .,【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查数列通项公式的求法，考查分组求和法，所以中档题.18.如图，在直三棱柱中， ，为线段的中点，为线段上一动点（异于点），为线段上一动点，且.（）求证：平面平面；（）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（）证明见解析；（）.【解析】【分析】（）要证平面平面，转证平面即证（）建立如图空间直角坐标系，求出平面的法向量，代入公式可得结果.【详解】（I）证明：因为，为线段的中点，所以， 在直三棱柱中，易知平面，而；平面，；又因为，；所以平面， 又平面；所以平面平面； （II）由（I）可建立如图空间直角坐标系，因为所以，则，设， 所以，因为，所以，解得：（异于点） , 设平面 的法向量为 ，则 即 ，可取 ，设直线与平面所成角为 ，则 ,直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用，线面角的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题19.某地因受天气，春季禁渔等因素影响，政府规定每年的7月1日以后的100天为当年的捕鱼期.某渔业捕捞队对吨位为的20艘捕鱼船一天的捕鱼量进行了统计，如下表所示：捕鱼量(单位：吨)频数27731根据气象局统计近20年此地每年100天的捕鱼期内的晴好天气情况如下表（捕鱼期内的每个晴好天气渔船方可捕鱼，非晴好天气不捕鱼）：晴好天气(单位：天)频数27632（同组数据以这组数据的中间值作代表）（）估计渔业捕捞队吨位为的渔船单次出海的捕鱼量的平均数；（）已知当地鱼价为2万元/吨，此种捕鱼船在捕鱼期内捕鱼时，每天成本为10万元/艘，若不捕鱼，每天成本为2万元/艘，若以（）中确定的作为上述吨位的捕鱼船在晴好天气捕鱼时一天的捕鱼量.请依据往年天气统计数据，试估计一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元的概率；设今后3年中，此种捕鱼船每年捕鱼情况一样，记一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元的年数为，求的分布列和期望.【答案】（）16吨；（）；见解析.【解析】【分析】（）根据频数分布表计算单次出海的捕鱼量的平均数；（）设每年100天的捕鱼期内晴好天气天数为，利润为,可得捕鱼期内的晴好天气天数不低于75天，从而可得结果；由题可知：随机变量的可能取值为0，1，2，3，且 ,从而可得的分布列和期望.【详解】（）此吨位的捕鱼船一天的捕鱼量的平均数为：吨.（）设每年100天的捕鱼期内晴好天气天数为，则年利润为,由得： ,一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元，即捕鱼期内的晴好天气天数不低于75天又100天的捕鱼期内的晴好天气天数不低于75天的频率为预测一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元的概率为.由题可知：随机变量的可能取值为0，1，2，3，且 , ,的分布列为：X0123P .【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用20.已知椭圆的离心率为，为椭圆的左、右焦点，过右焦点的直线与椭圆交于两点，且的周长为.（）求椭圆的方程；（）若点A是第一象限内椭圆上一点，且在轴上的正投影为右焦点，过点作直线分别交椭圆于两点，当直线的倾斜角互补时，试问：直线的斜率是否为定值；若是，请求出其定值；否则，请说明理由.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）由题意求出a，b,即可得到椭圆的方程；（）依题意知，点，设，直线的方程为：，联立方程可得利用韦达定理表示G点坐标，同理可得： ，），从而得到结果.【详解】（）由题设知，由椭圆的定义知：的周长为，解得. 故因此，所以椭圆的方程为. （）证明：依题意知，点，设直线的方程为：，联立，得，则， 即，又，即 ，）又直线的倾斜角互补，则直线的斜率为同理可得： ，）， 因此，直线的斜率为为定值.点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题21.已知函数.（）讨论的单调性；（）若为曲线上两点， 求证：.【答案】（）当 时， 在 上单调递增； 当 时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；当 时， 的单调递增区间为，的单调递减区间为；（）证明见解析.【解析】【分析】（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（）要证, 即证 ；即证,构造新函数，研究函数的最值即可.【详解】（）， ；当 时， ， 在 上单调递增； 当 时，令 ，得 ，令 ，得 ；所以，当 时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；当 时， 的单调递增区间为， 的单调递减区间为 .（）要证即证 即证 ；即证；令，构造函数，则，所以 在上单调递增; ，即成立，所以成立， 所以 成立.点睛】本题考查利用导数研究函数单调性及求函数最值，考查函数恒成立问题，函数恒成立问题往往转化为函数最值解决，是中档题请考生在第22，23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计分选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），.以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（I）写出曲线与圆的极坐标方程；（II）在极坐标系中，已知射线分别与曲线及圆相交于，当时，求的最大值.【答案】（I）,；（II）.【解析】【分析】（I）将曲线的参数消去转化为普通方程，然后转化为极坐标方程.利用普通方程与极坐标方程的互化公式将圆的普通方程转化为直角坐标方程.