直线与圆锥曲线的位置关系的判定复习课

直线与圆锥曲线的位置关系的判定复习课一、教学目标 1、知识目标： 掌握点与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判定方法：代数方法 掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系（交点个数）的判定方法：代数方法和几何法（数型结合方法）。 掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的常见题型的解题思路与方法，会根据直线与圆锥曲线的位置确定参数的值（或范围）。 2、能力目标： 培养学生运算能力、探索能力，分析问题解决问题的能力； 培养学生数形结合思想、转化思想函数方程思想及分类讨论思想。 3、思想目标： 培养学生运动变化观点； 培养学生认识事物的特殊性与一般性规律。 二、教材分析：直线与圆锥曲线位置关系的判定是高中数学的重点内容，是高考数学考查的重要内容，在高考试卷中占有相当的分量。该内容经常与方程组的解的讨论、方程的区间根、直线的斜率，以及数形结合思想，分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想方法等知识相结合。该内容知识的综合性、应用性较强，是学生学习的难点之一。 三、教学重点及难点 教学重点：点、直线与圆锥曲线位置关系的判定方法，以及判定方法的灵活应用。 教学难点：直线与圆锥曲线在某个区间内有交点的问题。求参数的取值范围。 四、教学设计：根据本内容的特点结合学生的实际，采用讲解和学生讨论探索，最后教师总结归纳的教学方法。 五、学法指导：指导学生掌握通性，同时注重对一题多解和一题多变的训练，培养思维能力。 六、教学过程： 复习归纳基础知识 1、点与圆锥曲线位置关系的判定方法 方法：点的坐标值代入曲线方程，再判断左边与右边的大小关系。 点P(x0,y0)与椭圆的位置关系的判定 若，则P在椭圆的外部； 若，则P在椭圆上； 若，则P在椭圆的内部 点P(x0,y0)与双曲线的位置关系的判定 若，则P在双曲线的外部； 若，则P在双曲线上； 若，则P在双曲线的内部； 点P(x0,y0)与抛物线的位置关系的判定 若 ，则P在抛物线的外部； 若 ，则P在抛物线上； 若 ，则P在抛物线的内部； 2、直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 通法（代数法）：联立方程,消去x 或y，得到关于x（或y）的方程ax2+bx+c=0（或ay2+by+c=0）。（1）当a=0时 （2）当a0时数形结合法（几何法）：注意：若题目中没给出直线方程，假设直线方程时应对直线方程的斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论。 对于研究给定区间的位置关系问题，应转化为方程ax2+bx+c=0的区间根问题，结合二次函数图象加以解决。 3、常见题形 判断直线与圆锥曲线交点个数； 证明直线与圆锥曲线的位置关系； 已知直线与圆锥曲线的位置关系，求直线方程（或确定参数的值）； 已知直线与圆锥曲线的位置关系，求参数的取值范围。 学生分组讨论、探讨，老师归纳总结： 问题一（过定点的直线）：直线L绕着点(0，3)旋转过程中，直线L与双曲线的交点情况如何？L的斜率变化情况如何？ 引导学生用两种不同的方法（代数法与几何法）解答本题，然后比较两种解法的优劣。通过学生的自由探索、归纳，解决本题的两种方法及注意事项。然后提出下列问题并分小组解答。 改编a、问题一中若L与双曲线只有一个公共点，这样的直线有几条？并 求直线L的方程； 改编b：问题一中的点（0，3）改为点（2，0）情况如何？ 改编c：问题一中的点（0，3）改为点（0，0）情况如何？ 改编d、直线L绕着点(0，3)旋转过程中，与椭圆的交 点情况如何？L的斜率变化情况如何？ 让学生思考，然后教师提问、讲评、纠正学生解题的错误，并把演示过程用投影仪投在屏幕上，归纳解题方法。 拓展延伸（一）：直线y=x+3与曲线交点个数（ ）A、没有交点 B、中有一个交点 C、有两个交点 D、有三个交点 拓展延伸（二）：直线L:y=x+4平移过程中与椭圆交点情况如何？ 问题二、已知直线L：y-kx-1=0（kR）与椭圆，求证L与椭圆恒有公共点。 改编1、问题二中直线l与椭圆 恒有公共点，求m的取值范围； 改编2、问题二中直线l与抛物线x2=2p(y-p)恒有公共点，求p的取值范围； 改编3、问题二中直线l与双曲线恒有公共点，求m的取值范围。 要求学生讨论、探索，然后教师提问、讲评、指出应注意的问题，归纳解题思路方法。并把解答过程投在屏幕上， 课后思考题：求椭圆上的点到直线L:y=x+4的距离的最大值与最小值，并求对 应点坐标。 归纳小结： 直线与圆锥曲线位置关系的判定解题通法是：联立方程，消去一个未知数，转化为一元方程解的讨论。 对于选择、填空题或有关共点直线系问题、平行直线系问题也常用数形结合思想，直观地解决问题。 对于直线与圆锥曲线恒有交点问题，经常转化为直线恒过圆锥曲线内一点的问题。 四、作业： 1、已知直线y=x+m与双曲线恒有交点，求b的取值范围。 2、已知直线y=x+m与与椭圆有两个公共点，求m的取值范围。 3、已知直线y=x+m与抛物线y2=4x相切，求l的方程。 五、课后反思：1、让学生注意代数法与几何法的区别与联系，注意哪种解法简洁；2、让学生注意观察课件中图象运动过程中交点个数、位置及对应直线的斜率；3、让学生注意几个重要结论的推导及应用。4、让学生注意数形结合思想在数学解题中的运用。直线与圆锥曲线 两个“有趣”的动弦性质一、新课引入：一条直线是孤独的，圆锥曲线是美丽的.直线与圆锥曲线的结合，演绎出许多生动有趣的性质.今天我们共同来研究圆锥曲线动弦两个有趣的性质.首先，让我们来重温选自教材的一个例题：二、新课：例题：直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B两点，求AOB的大小？问1：思考一下，说出你的解题思路？答：（1）余弦定理；（2）到角公式；（3）向量夹角公式追问：一定要算出A、B的坐标吗？解：由消去x得y2-2y-4=0设A(x1,y1)、B(x2,y2)则y1+y2=2、y1y2=-4， 所以 所以小结：涉及角的问题，有余弦定理，到角公式，向量夹角公式，但只要涉及直角，锐角，钝角的判断与证明，选用向量知识去解决有时比其他方法简易。师：同学们，题目做完后，不要草率收兵，更重要的是对问题认真地反思与引申.问2:现在我们把直线绕点P（2，0）旋转，观察的变化情况，可以发现什么规律？(齐答) 发现：过定点P（2，0）的直线与抛物线y2=2x相交于A、B两点，则说明设直线AB方程为x=my+2的理由:除直线方程的一般式外,其余直线方程的形式都有它的局限性,直线x=my+2不包括斜率为0的直线,与开口向右的抛物线相交的直线的斜率都不会是0.所以设直线AB方程为x=my+2避免了分类讨论.联立方程组,消去x,得到关于y的一元二次方程,再利用韦达定理与向量数量积求证.证法同上题,所以省略.师：把条件与结论交换,逆命题成立吗?大家不妨再作进一步的猜想.正逆猜想:设A、B在抛物线y2=2x上,(O为原点).直线AB通过一定点吗?解：设直线AB方程为x=my+a，由直线AB方程为x=my+2，直线AB过定点P（2，0）.师问3:对已证的逆问题作进一步的推广,让O点跑动起来,你有何“大胆”的猜想?O-M猜想:已知点M(2,2)是抛物线y2=2x上定点,A、B两点在抛物线上,且,则直线AB通过一定点吗?问4：假设直线AB通过一定点，定点落在哪里呢？落在x轴上吗？（学生猜想定点在x轴上，对待猜想，最好先用特例加以检验，以避免证明上的盲目性.）解：设直线AB方程为x=my+a，由a=2m+4或a=-2m+2当a=2m+4时，直线AB为x=my+2m+4,即x-4=m(y+2),直线AB过点(4,-2).当a=-2m+2,直线AB为x=my-2m+2即x-2=m(y-2),直线AB过点(2,2)(舍). 师:本题结果是否具有偶然性,改变题中M点的坐标,直线AB仍过定点吗?带着疑问,我们来做一个数学实验.得出若M(x0,y0),则定点P(x0+2,y0)(总结)那么,过抛物线上一点M作互相垂直的弦MA、MB，则动直线AB恒过定点.问5:圆是否具有这个性质?(学生):是,动直线过圆心.问6:由于这两种曲线都具有这种性质,你有什么大胆的猜想?生:将结论推广到椭圆和双曲线.师:但对于椭圆或双曲线又将如何证实呢?让我们来做一个实验,“注意了,精彩的画面即将出现”(语言渲染)经实验研究,结论是肯定的.我们得到圆锥曲线一个统一的性质: 过圆锥曲线上一点M作互相垂直的弦MA、MB，则动直线AB恒过定点.换句话说,M是圆锥曲线上一点，若MA、MB的斜率存在且斜率之积为-1，则动直线AB恒过定点.类似地，M是圆锥曲线上一点，若MA、MB的斜率存在且斜率之和为0，则动直线AB又将如何变化呢？我们来看变题变题：过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于两点.当MA与MB的斜率存在且斜率之和为0.证明:直线AB的斜率是非零常数.解法1:由由于,即2m=-2y0,m=-y0直线AB的斜率为.解法2: 由于得:, 总结:解法1是处理直线与圆锥曲线相交问题的常规方法,解法二叫“点差法”,涉及直线与曲线相交所得弦的斜率时可以考虑“点差法”.问7:若M落在顶点,直线AB的斜率如何呢?(不存在)师:乘胜追击,我们不难联想到这个结论对于椭圆和双曲线是否成立呢?还是做一个数学实验.师:同学们,教材是高考命题的参照物,高考试题不乏有源于课本而高于课本的.变题就是2004年北京试题理科17题.三.总结圆锥曲线两个“有趣”的动弦性质:（1） 过圆锥曲线C上任一点M作垂直的弦MA、MB，则动直线AB恒过定点。（2） 若M是圆锥曲线C上除顶点外的任一点，A、B是圆锥曲线C上另外两点，直线MA、MB斜率存在且斜率之和为0，则直线AB的方向一定。直线与圆锥曲线题目千变万化,我们的解题策略是以不变应万变：.基本解题思路：联立方程组，消去x或y，得到关于y或x的一元二次方程，将几何图形坐标化，再利用韦达定理解决。当然,本题涉及的问题还可以用