相约期末高中数学 第四章圆与方程期末知识梳理 新人教A必修2_第1页
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第四章 圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1）标准方程，圆心，半径为r；（2）一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点； 当时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；（2）设直线，圆，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有；注：如果圆心的位置在原点，可使用公式去解直线与圆相切的问题，其中表示切点坐标，r表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程：圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为 (课本命题)圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当时两圆外离，此时有公切线四条；当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当时，两圆内含； 当时，为同心圆。例9、已知直线l1：4xy0，直线l2：xy10以及l2上一点P(3，2)求圆心C在l1上且与直线l2相切于点P的圆的方程解：设圆心为C(a，b)，半径为r，依题意，得b4a.又PCl2，直线l2的斜率k21，过P，C两点的直线的斜率kPC1，解得a1，b4，r|PC|2.故所求圆的方程为(x1)2(y4)28.例10已知A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(1,2)，问这四点能否在同一个圆上？若能在同一圆上，求出圆的方程，若不能在同一圆上，说明理由。解：设经过A，B，C三点的圆的方程为(xa)2(yb)2r2.则解此方程组，得所以，经过A、B、C三点的圆的标准方程是(x1)2(y3)25.把点D的坐标(1,2)代入上面方程的左边，得(11)2(23)25.所以，点D在经过A，B，C三点的圆上，所以A，B，C，D四点在同一个圆上，圆的方程为(x1)2(y3)25.例11已知点P(x，y)是圆(x2)2y21上任意一点(1)求x2y的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值解：(1)设tx2y，则直线x2yt0与圆(x2)2y21有公共点
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