直线方程的四种特殊形式与求法辅导不分本

直线方程的四种特殊形式与求法 专题辅导http:/www.DearEDU.com陈万龙 直线方程的特殊形式可分为两大类：一类是点斜式，包括其特例斜截式；另一类是两点式，包括其特例截距式。在这四种特殊方程的推导过程中，斜率公式是桥梁，点斜式是基础，其他三种形式均可由点斜式推出来。这四种直线方程的特殊形式自身都有一定的局限性。下面用表格形式给出：名称形式局限性点斜式不能表示垂直于x轴（斜率不存在）的直线斜截式不能表示垂直于x轴（斜率不存在）的直线两点式不能表示垂直于坐标轴的直线截距式不能表示垂直于坐标轴或过原点的直线 对上述四种特殊形式的灵活选择会给解题带来极大的方便。而运用这四种特殊形式求直线方程时，我们应当注意下面几个问题：一、掌握四种形式的互化技巧 例1. 已知直线的点斜式方程为，求该直线另外三种特殊形式的方程。 解：（1）将移项、展开括号后合并，即得斜截式方程。 （2）因为点（2，1）、（0，）均满足方程，故它们为直线上的两点。 由两点式方程得： 即 （3）由知：直线在y轴上的截距 又令，得 故直线的截距式方程 评析：直线方程的四种特殊形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同表现形式，要掌握好它们之间的互化。在解具体问题时，要根据问题的条件、结论，灵活恰当地选用公式，使问题解得简捷、明了。二、克服局限性，防止漏解 例2. 求经过点P（2，3）的直线，使它在两坐标轴上的截距相等。 有些同学是这样来处理的： 设直线在两轴上的截距为a，由截距式得所求直线方程为 又点P（2，3）在此直线上 则有，解之得 故所求直线方程为 评析：很明显，在两轴上截距相等的直线，也可以经过原点，此时直线在两轴上截距均为零，故少了一条符合题设条件的直线方程。 处理这一类型的题目用截距式虽好，但要注意不要漏解。三、抓住特征量，迅速写出方程 在直线方程的四种特殊形式中主要涉及的参数有斜率、截距和已知点的坐标，我们通常把斜率和截距称为直线方程的特征量，只有抓住特征量的最简求法，才能迅速写出方程。 例3. 求过点（0，-4）且倾斜角为直线的倾斜角的一半的直线的方程。 解：将化为点斜式 故有斜率，则倾斜角为120 所以直线的倾斜角为60 直线的斜率为 又直线过点（0，-4） 由直线方程的点斜式，可知直线的方程为 评析：要求直线的方程，须求直线的斜率，而求斜率的方法一般有三种： （1）已知倾斜角，用定义求； （2）已知直线上两点的坐标，用斜率公式求； （3）由点斜式或斜截式方程直接确定。若是其他形式可先化为斜截式。 例4. 直线经过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程。 解：设所求直线的方程为 直线过点P（-5，-4） 即 又由已知有，即 解方程组得： 或 故所求直线的方程为： ，或 即，或 评析：要求的方程，须先求截距a、b的值，而求截距的方法也有三种： （1）从点的坐标或中直接观察出来； （2）由斜截式或截距式方程确定截距； （3）在其他形式的直线方程中，令得轴上的截距b；令得出x轴上的截距a。 总之，在求直线方程时