湖南长沙长郡中学高二数学讲座双曲线

湖南省长沙市长郡中学高二数学专题讲座 双曲线一、 知识要点：（一）双曲线的定义：1、平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线 即 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距2、到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率（二）标准方程：1、焦点在轴上时双曲线的标准方程为：；2、焦点在轴上时双曲线的标准方程为：；其中,，其中a与b的大小关系:可以为3、双曲线的标准方程的统一形式：（三）双曲线的几何性质：对，（,）进行讨论：1、 点的范围：2、 对称性：双曲线关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称；3、 顶点坐标为，焦点坐标为（-c,0）,( c,0)；4、 双曲线的实轴长为2a,虚轴长为2b，准线方程为，渐进线方程为；5、 双曲线的离心率，焦准距6、 焦半径公式：设分别是双曲线的左、右焦点。若是双曲线右支上任意一点，则；若是双曲线左支上任意一点，则；（四）具有相同渐进线的双曲线及等轴双曲线，共轭双曲线1、具有相同渐近线方程的双曲线方程为 。2、实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率 3、以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1 二、例题选讲例1、(1)已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为（ ）A B. C.2 D. (2)设点P为双曲线右支上除顶点外的任意一点, 为其两焦点,则的内心M在 ( )A.直线x=2上 B.直线x=1上 C.直线y=2x上 D.直线y=x上(3)已知双曲线,M为其右支上一动点,F为其右焦点,点A(3,1),则|MA|+|MF|的最小值为 .解析(1)设,右点P在双曲线的右支上知,根据双曲线的第二定义及知,点P到左准线的距离等于它到右准线距离的4倍,故,当且仅当时取等号.故选B.(2)设圆心为M,圆与分别切与A,B,C三点,易知,由双曲线第一定义得:,又|PB|=|PC|,|F1B|=|F1A|,|F2A|=|F2C|,故|AF1|-|AF2|=4,即,故选A例2、已知动点P与双曲线的两个焦点F1、F2的距离之和为定值，且cosF1PF2的最小值为.（1） 求动点P的轨迹方程；（2） 若已知D(0, 3)，M、N在动点P的轨迹上且，求实数l的取值范围.解析（1）由题意c2=5,设|PF1|+|PF2|=2a(a)，由余弦定理得：当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1|PF2|取最大值，此时（3） 设M(x,y),N(s,t),则由可得(x,y-3)=l(s,t-3),故x=ls,y=3+l(t-3),例3、已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以点A为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S的一个顶点A与点A关于直线y=x对称，设直线l过点A，斜率为k.（1） 求双曲线S的方程；（2） 当k=1时，在双曲线S的上支上求点B，使其与直线l的距离为（3） 当0k0,x20).由x1x20,x1+x20,得b2-a2k20,即（2）由弦长公式（4） 如图，设右准线为l，AB的中点为M，A、B、M在l上的射影分别为A1、B1、M1，由第二定义知：例5、设双曲线C：（1） 求双曲线C的离心率的取值范围；（2） 设直线l与y轴的交点为P，且解析（1）由C与l相交于不同的点，故知方程组 由于x1、x2都是方程的根，且例6、已知双曲线的中心在原点，右顶点为A(1,0)，点P、Q在双曲线的右支上，点M(m,0)到直线AP的距离为1.（1） 若直线AP的斜率为k，且求实数m的取值范围；（2） 当m=解析（1）由条件得直线AP的方程y=k(x-1).由点M到直线AP的距离为1，得（3） 可设双曲线方程为由A（1，0）、得|AM|=又因为M是APQ的内心，M到AP的距离为1，所以MAP=45，直线AM是PAQ的角平分线，且M到AQ、PQ的距离均为1. 因此，kAP=1,kAQ=-1(不妨设P在第一象限)，直线PQ方程直线AP方程y=x-1.解得点P的坐标是例7、线段AB的垂直平分线交x轴于点P(x0,0)，求x0的取值范围.解析 设A、B坐标分别为因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB与y轴不平行，即又交点为P(x0,0)，故 代入式，得例8、已知抛物线过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|2p.（1） 求a的取值范围；（2） 若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值.（3） 解析 解法1：（1）直线l方程为y=x-a，代入抛物线方程y2=2px,得（3） 设N(n,0)，则|NA|=|NB|，|NA|2=|NB|2，即解法2：（2）直线l方程为y=x-a,代入抛物线方程y2=2px,得例8、设A、B是双曲线上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点。（1） 求直线AB的方程；（2） 若过线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？解；（1）记，两式相减，整理得