甘肃兰州一中高三数学上学期月考 理新人教A

甘肃省兰州一中2013届高三数学上学期12月月考试题 理（含解析）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，且为正实数，则2 1 0 【答案】D【解析】，因为为正实数，所以。2.已知随机变量服从正态分布,则A.0.21 B. 0.58 C. 0.42 D. 0.29【答案】D【解析】因为所以所以，所以0.29.3.下列说法正确的是有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱，四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台，以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.【答案】B【解析】选项A不正确，如图：棱台是由棱锥截来的，故要求梯形的腰延长后要交与一点，故C不正确；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥，故D不正确。4.展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为A. B. C. D.【答案】D【解析】令,得，所以，所以，的展开通项为：，由所以展开式中x项的系数为80，展开式中项的系数为-40，所以的展开式中常数项为80-40=40。5.若实数满足，则的最小值为0 1 9【答案】B【解析】画出约束条件的可行域，令，要求目标函数的最小值，只需求的最小值。由可行域知：过点时取最小值，且，所以的最小值为。6. 函数的图像可能是 【答案】B【解析】因为，所以函数是奇函数，因此选项A、C排除；又时，因此选B。7.已知函数，（为常数，）在处取得最小值，则函数是偶函数，且它的图像关于对称 是偶函数，且它的图像关于对称是奇函数，且它的图像关于对称 是奇函数，且它的图像关于对称【答案】D【解析】已知函数，所以函数的周期为，又因为在处取得最小值，不妨设，故是奇函数且它的图像关于点对称，因此选D。8在数列中，若对任意的均有为定值（），且，则数列的前100项的和AB CD【答案】B【解析】不妨设，所以，所以数列是以3为周期的周期数列，所以，。9设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时, 且g(3)=0.则不等式的解集是A（3,0)(3,+) B(3,0)(0, 3) C(,- 3)(3,+) D(, 3)(0, 3)【答案】D【解析】构造函数，因为当x0时,，所以当x0时，所以函数在上单调递增，又因为f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以是奇函数，所以函数在上单调递增，又g(3)=0.所以，所以不等式的解集是(, 3)(0, 3)。10.如图所示，两个不共线向量,的夹角为，分别为与的中点，点在直线上，且，则的最小值为 【答案】B【解析】因为分别为与的中点，所以，因为点在直线上，所以，所以，当且仅当x=y时取等号，因此选B。11.设是定义在上的增函数，且对任意，都有恒成立，如果实数满足不等式，那么的取值范围是（9，49） （13，49） （9，25） （3，7）【答案】A【解析】对任意，都有恒成立，所以函数是奇函数，又因为是定义在上的增函数，所以由得：，所以，即，所以的最大值为，即49；因此最小值为，即9，的取值范围是（9，49），故选A。12.对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意都有恒成立，则称函数有一个宽度为的通道.给出下列函数：，其中在区间上通道宽度可以为1的函数有： 【答案】B【解析】因为在区间上，所以函数在区间上通道宽度可以为1；当时，所以函数的宽度最小为2；当时，表示双曲线在第一象限的部分，双曲线的渐近线为y=x，故可取另一直线为y=x-2，满足在1，+）有一个宽度为1的通道，因此选B。第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.从如图所示的长方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为_.【答案】【解析】长方形的面积为，阴影部分的面积为，所以点取自阴影部分的概率为。14一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何的体积为_。【答案】【解析】由三视图知，该几何体为一个半圆锥和一个四棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为。四棱锥的底面为边长是2的正方形，高为，所以这个几何体的体积为。15.等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表中的同一列，则数列的通项公式_. 第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818【答案】【解析】易知分别是2,6,18，所以。16.已知函数，.若,使,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】要使,，使，只需在的最小值大于等于在上的最小值，因为在上成立，所以在单调递增，所以。因为是单调递减函数，所以，所以。 选择、填空题答案：15：DDBDB 610：BDBDB, 1112：AB13. ; 14. ;15. ;16. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17如图，A,B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点北偏西的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间？解： 18.已知函数数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）令求；（3）若对恒成立，求的最小值.解：(1)因为，又，即是以1为首项，以为公差的等差数列，所以.（2） （3）由，递减，所以，取最大值，由时，恒成立，所以，所以，.19.如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且，分别为的中点.(1)证明: (2)过点作,垂足为点,求二面角的余弦值.19. 20.现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（1）求这4个人中恰好有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件，则.（1）这4个人中恰好有2人去参加甲游戏的概率（2）设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件，故，.所以，这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.（3）的所有可能取值为0,2,4.，所以，的分布列是024.21.已知函数，（1）讨论的单调性，（2）设，证明：当时，（3）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：解：(1) f (x)的定义域为(0,+)() 若时, ,所以f (x)在(0,+)内单调递增() 若时, 由 得 , 且内单调递增时f (x)单调递减(2) 设当时，而 即时 (3) 由(1)可得，当，f (x)单调递增，所以f (x)与x轴至多有一个交点，不合题意. 故a0,从而, 且不妨设，则由(2)知即22选考题（本小题10分）请从下列三道题当中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，请在答题卷上注明题号。221.设函数（1）解不等式,（2）若定义域为,求实数的取值范围.解：(1)原不等式等价于：因此