第二阶段数学能力备考的几点建议二人教

第二阶段数学能力备考的几点建议二5. 特殊与一般的思想 由特殊到一般,再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一，对数学而言，这种由特殊到一般,再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识的过程,就是数学研究的特殊与一般的思想. 在高考中,会有意设计一些能集中体现特殊与一般的思想的试题,例如: (1) 由一般归纳法进行猜想的试题; (2) 由平面到立体,由特殊到一般进行类比猜想的试题; (3) 抽象函数问题; （4）定点,定值问题; (5) 用特殊化方法解选择题等. 【例1】 (2005年,天津卷，理（1）)设集合,则 =（ ）(A) (B) (C) (D)【分析及解】本题可以直接通过解不等式得到答案，也可以通过特殊化方法和估算求解，首先由集合B可知，因而排除(C)，再由，又可排除(A)，(B)，于是选(D).【分析及解】【例2】(2005年，全国卷，文，理2)，设为全集，是的三个非空子集，且，则下面论断正确的是（ ）.（A）（B）（C）（D）本题是一道抽象集合问题,直接求解有困难,但可以用特殊化策略解决问题.可以构造特例,例如设,则, , 经简单的计算,就可以排除(A),(B),(D).而由选择题的四选一的要求,可选(C).【例3】 (2005年，北京卷，理14)已知n次多项式, 如果在一种算法中，计算（k2，3，4，n）的值需要k1次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要 次运算下面给出一种减少运算次数的算法：（k0， 1，2，n1）利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要 次运算【分析及解】本题给出了一个求特殊的多项式的值的算法的运算次数的示范,要求归纳出求一般的多项式的值的运算的次数,这是对特殊与一般的思想和归纳抽象能力的考查.第一种算法, 计算的值共需要次运算,即次运算;第二种算法, 计算的值可以采用递推的方法.设计算的值的次数为,则,由是等差数列及可得.【例4】(2005年，重庆卷，文22)数列记 （）求b1、b2、b3、b4的值； （）求数列的通项公式及数列的前n项和【分析及解】解法一：（I） （II）因，故猜想因，（否则将代入递推公式会导致矛盾）故的等比数列., 解法二：（）同解法一（） 从而6. 有限与无限的思想 考试中心对考试大纲的说明中指出：“对有限的研究往往先于对无限的研究,对有限个研究对象的研究往往有章可循,并积累了一定的经验,而对无限个研究对象的研究,却往往不知如何下手,显得经验不足,于是将对无限的研究化成对有限的研究,就成了解决无限问题的必经之路,反之,当积累了解决无限问题的经验之后,可以将有限问题转化成无限问题来解决,这种无限化有限,有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限的思想.” “高考中对有限与无限的思想的考查才刚刚起步，并且往往是在考查其他数学思想和方法的过程中同时考查有限与无限的思想。例如，在使用由特殊到一般的归纳思想时，含有有限与无限的思想；在使用数学归纳法证明时，解决的是无限的问题，体现的是有限与无限的思想，等等。” 在2005年的高考中，对数学归纳法的考查加强了，除文科之外的16套试卷中，就有7道数学归纳法的试题（全国辽宁，浙江，福建，江西，湖北，重庆），极值和导数问题也是体现有限与无限的思想的一个重要的侧面，在29套试卷中都考查到了。【例1】(2005年，福建卷，理22)已知数列an满足a1=a, an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：当时,得到有穷数列:.（）求当a为何值时a4=0；（）设数列bn满足b1=1, bn+1=，求证a取数列bn中的任一个数，都可以得到一个有穷数列an；（）若，求a的取值范围.【分析及解】 这是一道体现有限与无限的思想的典型试题，对于题设的递推关系，由于所给出的初始条件不同，得到的数列也不同，并在题干中举出了具体的例子，第（）问则是可以通过有有限次试验，得到对无限个都可以得到一个有穷数列an的猜想，再用数学归纳法进行证明，第（）问又是把对无限个都成立的结果，通过有限次分析求的解决。（）解法一： 解法二 故当时，.() 解法一故a取数列bn中的任一个数，都可以得到一个有穷数列an解法二;,当时, ,当时,当时,.一般地, 当时,可得一个含有项的有穷数列.下面用数学归纳法证明.(1) 当时, ,显然,可得一个含有2项的有穷数列(2) 假设当时,得到一个含有项的有穷数列,其中 则时, 由假设可知, 得到一个含有项的有穷数列,其中所以,当时, 可以得到一个含有项的有穷数列,其中由(1),(2)知,对一切,命题都成立.（）要使,即,所以, 要使,当且仅当它的前一项满足.由于,所以只须当时,都有由,得,解此不等式得. 【例2】(2002年,全国卷) 某城市规划2001年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同,为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆? 解 设2001年末汽车保有量为万辆,.以后各年的汽车保有量为(万辆) 设每年新增汽车万辆,则 , 是以为首项,为公比的等差数列. (1) 当,即时,为减数列,所以 又时, .所以此时汽车保有量不超过万辆.(2) 当,即时,为增数列,由于,则所以此时汽车保有量不超过万辆.由以上, 每年新增汽车数量不应超过万辆. 7. 或然与必然的思想 概率所研究的随机现象，研究的过程是在“偶然”中寻找“必然”，然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题，这其中所体现的数学思想就是或然与必然的思想。 随着新教材的实施，高考中对概率内容的考查已经放在了重要的位置，通过对等可能事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，次独立重复试验发生了次的概率以及随机事件的分布列与数学期望等重点内容的考查，一方面考查基本概念和基本方法，另一方面考查在解决实际问题中能否运用或然与必然的辩证关系，从而体现了或然与必然的思想。【例1】（2005年，湖北卷，文21）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换. （）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率； （）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率； （）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）. 【分析及解】 (I）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为需要更换2只灯泡的概率为（II）对该盏灯来说，在第二次灯泡更换工作中，有4种可能的情况:(1) 第一,二次都需要更换,其概率为；(2) 第一次更换,而第二次不需要更换,其概率为;(3) 第一,二次都不需要更换,其概率为;(4) 第一次未更换而第二次需要更换,其概率为 该盏灯第二次需要更换灯泡的情形为上面的(1)和(4)，故所求的概率为（III）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p 5（其中p为（II）中所求，下同）换4只的概率为（1- p），故至少换4只灯泡的概率为二抓住高考热点，拿分点，进行专题复习 高考的第二阶段是在第一阶段基础知识，基本方法复习的基础上，进行能力的提升，并直接进入高考临战状态。重点应放在三个方面： （一）以综合题为核心，围绕高考热点，进行专题复习。注重学科的内在联系和知识的综合性，在知识网络交汇点设计综合试题，是高考数学试题的主要特点之一，这样做，可以从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，可以揭示数学各知识之间深刻的内在联系，可以体现数学各部分知识在各自的发展过程中的纵向联系和各部分知识之间的横向联系，可以使考查达到必要的深度，高考数学综合试题的强化，不仅有利于高校选拔人才，而且也有利于在中学数学教学中，提高中学生的数学素养。1以解答题为例看试题的综合情况在2004，2005年高考中，不管是客观题还是主观题，都十分注重综合，客观题小综合，主观题大综合，下面是2005年共29套试卷关于解答题的综合情况统计：2005年高考数学试卷解答题统计(理) 1 2 3 4 5 6全国(河北,河南,安徽,山西,海南等)三角,导数立体面面垂直,线线成角,二面角数列,不等式概率,统计直线,圆锥曲线,向量,函数,导数,数归法,不等式全国(黑龙江,吉林,广西等)函数,不等式数列,极限概率,统计立体线面垂直,线面成角圆锥曲线,直线,向量,不等式函数,导数,不等式全国(四川,云南,陕西,甘肃等)概率,立体线面垂直,二面角数列,三角数列,圆锥曲线,直线不等式函数, 导数,不等式天津三角数列,极限立体线面成角,线面平行,球的体积函数应用题, 三角,直线方程,导数,不等式圆锥曲线,向量,直线不等式函数, 导数,三角北京函数,导数,不等式立体线线垂直,线线成角,二面角概率,统计圆锥曲线,直线不等式数列,极限函数,导数,不等式山东三角概率,统计函数,导数,不等式立体线线成角,二面角,点面距离数列,函数导数,数归法,直线,圆,圆锥曲线,三角 浙江三角函数，不等式直线,圆锥曲线,不等式立体线面平行,线面成角,重心概率,统计点列，数列,圆锥曲线,导数,数归法福建三角概率,统计函数,导数,不等式立体线面垂直,二面角,点面距离圆锥曲线,直线,向量数列不等式数归法江西函数，不等式向量,三角,函数,导数概率,统计立体线线垂直,点面距离,二面角数列，不等式数归法圆锥曲线,导数,湖北向量,函数三角概率,统计立体线线成角,点线距离圆锥曲线,不等式数列,不等式,极限，数归法湖南三角立体线线垂直,二面角概率,统计,函数圆锥曲线,直线,向量数列应用题,不等式数归法函数,导数,不等式重庆三角概率,统计函数,导数立体线线距离，二面角圆锥曲线,直线,向量数列不等式数归法上海立体线线成角复数圆锥曲线,直线不等式数列应用题,不等式函数,三角,点列，函数,向量,辽宁立体线面垂直,二面角,球三角应用题,导数函数，数列, 数归法，不等式概率,统计,线性规划圆锥曲线,直线,向量函数,导数,不等式广东三角立体线面垂直,二面角直线圆锥曲线,不等式概率,统计函数直线函数,导数江苏圆的方程,圆锥曲线概率,立体线线成角,线面垂直,二面角函数,导数,数列, 不等式2005年高考数学试卷解答题统计(文) 1 2 3 4 5 6全国三角立体面面垂直,线线成角,二面角函数,不等式概率数列直线,圆锥曲线,向量,全国三角概率数列立体线面垂直,线面成角函数,导数,不等式圆锥曲线,直线, 不等式,向量全国三角概率立体线面垂直,二面角数列函数,导数圆锥曲线,直线天津三角数列立体线面成角,线面平行,球的体积函数应用题, 三角,直线方程,导数,不等式函数,导数,不等式圆锥曲线,向量,直线不等式北京三角立体线线垂直,线线成角,二面角数列概率函数,导数,不等式圆锥曲线,直线不等式山东三角,向量概率,函数,导数,立体线线成角,二面角,点面距离数列,函数导数,数归法,圆锥曲线,三角 浙江三角数列概率立体线面平行,线面成角,圆锥曲线,不等式圆锥曲线,三角福建三角概率,统计函数,导数,不等式立体线面垂直,二面角,点面距离圆锥曲线,直线,向量函数,不等式江西函数，不等式向量,函数,不等式概率立体线线垂直,点面距离,二面角圆锥曲线,直线 数列湖北向量,函数,导数三角数列立体点面距离,线段长度概率圆锥曲线,直线不等式湖南数列,不等式三角立体线线垂直,二面角函数,导数,不等式概率圆锥曲线,直线,向量重庆三角概率函数,导数,不等式立体线线距离，二面角圆锥曲线,直线,向量数列上海立体线线成角复数函数,向量,不等式数列应用题,不等式圆锥曲线,直线,圆的方程函数,三角以上是以数学教材的“章”为基础统计的，即使是只考查一章内容的试题，也注意本章的综合，例如，三角题，往往也是把三角恒等变形，三角函数的性质和图象，正弦定理，余弦定理综合在一起考查。数列题，则把等差数列，等比数列，递推公式，数列求和等综合在一起考查。2专题复习的选题建议（1）含参数的不等式问题(解含参数的不等式,已知不等式成立的条件求参数的范围,不等式的恒成立,能成立,恰成立问题,如此类试题在05年有十几道) （2）概率综合题(这是2005年高考试题的一个新视角) （3）数列不等式与点列问题(这类题在05年解答题中29套试卷出现了12道) （4）解析几何与向量的综合(这类题从03年开始有增强的趋势) （5）解析几何与函数,导数的综合(这类题从04年开始增多) （6）导数的应用(这类题的命题空间越来越大) （7）选择题的解法(这是拿分点,解答是否正确迅速,直接关系全卷) （8）数学思想与解题(这类问题在学校大多不系统讲)（9）数学应用题(从2000年新课程卷开始,连续6年解答题的应用题都是概率,今年是否变化,应有所准备)（10）高考数学创新题（这类题难度并不大，但题目新颖，考生不习惯，不适应）3专题复习举例 专题1. 含参数的不等式问题含有参数的不等式问题主要有三种主要类型.第一种类型：解含有参数的不等式. 第二种类型：已知含有参数的不等式成立的条件，求参数的范围. 第三种类型：已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立,能成立,恰成立或部分成立 ，求参数的范围.一.解含有参数的不等式如何解含有参数的不等式，解题时应该注意什么问题，我们将通过例题进行说明。【例1】(2004年,辽宁卷,18（1)解关于x的不等式【分析及解】由当时，解集是R；当时，解集是【例2】 解关于的不等式 【分析及解】原不等式化为 ， 若，有，原不等式的解集为 ；若，有，原不等式的解集为 ；【例3】解不等式,()若，有，原不等式的解集为 或【分析及解】 原不等式等价于移项，通分得 由已知，所以解得；解得或 【例4】已知,解关于的不等式: .故原不等式的解集为 【分析及解】是已知参数的范围,解不等式问题.由于给出了参数的范围,我们可以把已知不等式改写为以为主变量的不等式 记,由于是关于的一次函数,它的图象是一条线段,因此,只要它的两个端点的函数值小于零,则整条线段在轴的下方,于是, 关于的不等式 的解等价于解得 于是,不等式的解为.从以上几个例题可以看出,在解含有参数的不等式的时候,如果没有给出参数的范围,则要对参数进行分类讨论,如果给出参数的范围,则可以把参数看作主变量,进行研究. 二. 已知不等式成立的条件，求参数的范围.【例1】(2004年，上海卷，理19)记函数f(x)=的定义域为A, g(x)=lg(xa1)(2ax) (a1) 的定义域为B.() 求A；() 若BA, 求实数a的取值范围. 有些含参数的不等式是在给定的条件下成立的,所给出的条件可以是含参数的不等式的充分条件,也可以是充分必要条件,在解题时,要注意所给出的条件在含参数的不等式的作用,从而弄清给定的条件与含参数的不等式的解集的相互关系.【分析及解】() 的定义域满足不等式20, 得0, x 0, 得(xa1)(x2a)0.a2a, B=(2a,a+1).BA, 2a1或a+11, 即a或a2, 而a1,a1或a2, 故当BA时, 实数a的取值范围是. 【例2】设,又设是关于的不等式组的解集,若是的充分条件,试确定的取值范围.【分析及解】本题相当于对所有满足A的x的值,都满足B,为此,设.于是有不等式组 解得 【例3】(2005年，全国卷,理22)已知函数 （）求的单调区间和值域；（）设，函数,若对于任意,总存在使得成立，求a的取值范围.分析及解】（I）对函数求导，得 令解得当变化时，的变化情况如下表：0（0，）（，1）10+减函数4增函数3所以，当时，是减函数；当时，是增函数.当时，的值域为4，3.（II）对函数求导，得因为，当时，因此当时，为减函数，从而当时有又即时有任给，存在使得，则即解式得 ；解式得又，故a的取值范围为【例4】已知集合,求使和同时成立的的值.【分析及解】本题是寻找使与同时成立的充要条件,为此需要把集合具体化.由题设条件可知,不是空集,可设由有 由有所以有 即,因此, 三. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题如何解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题呢?它的操作程序如下：1.恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最小值大于,若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最大值小于.2. 能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立, ,则等价于函数在区间上的最大值大于,若在区间上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立, ,则等价于函数在区间上的最小值小于.3. 恰成立问题若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为,【例1】(2005年春考，北京卷，理14)若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ；若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是 【分析及解】第一个填空是不等式恒成立的问题,设.则关于的不等式的解集为在上恒成立,即解得【例2】(2005年，湖北卷，理，文17)已知向量若函数在区间（1，1）上是增函数，求t的取值范围.第二个填空是不等式能成立的问题. 设.则关于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或.【分析及解】 依定义在区间上是增函数等价于在区间上恒成立;而在区间上恒成立又等价于在区间上恒成立;设进而在区间上恒成立等价于考虑到在上是减函数,在上是增函数,则.于是, t的取值范围.是.【例3】(2005年，湖南卷，理21) 已知函数，. （）若，且存在单调递减区间，求a的取值范围； 【分析及解】只研究第（I）问.，则因为函数h(x)存在单调递减区间，所以0有解.由题设可知,的定义域是 ,因此,有解等价于在区间能成立,即, 成立, 进而等价于成立,其中.由得,.于是,由题设,所以a的取值范围是.【例4】(2000年,上海卷)()已知对任意恒成立,试求实数的取值范围;()已知当的值域是,试求实数的值.【分析及解】 本题的第()问是一个恒成立问题, 对任意恒成立等价于对任意恒成立,又等价于时,的最小值成立.由于在上为增函数,则,所以 .第(问是一个恰成立问题,这相当于的解集是.当时,由于时, ,与其值域是矛盾,当时, 是上的增函数.所以,的最小值为,令,即【例5】已知命题P：对实数，不等式: 对所有实数都成立,命题Q：满足，若命题“P或Q”为真，命题“P且Q”为假，求实数的取值范围.【分析及解】这是不等式的部分成立问题.解命题P得,解命题Q得,. 若命题“P或Q”为真，命题“P且Q”为假,则等价于命题P与Q一个为真,一个为假.把P和Q的解集画在数轴上,可直观地得出, 实数的取值范围是或. 专题2.概率综合题在2005年的高考数学试题中,概率试题及概率与统计试题出现了一些综合题,这些题目综合的角度与前几年有所不同,是今年高考试题命制的新亮点. 例如, 今年的试题中,出现了概率与方程的综合(江西卷,山东卷,全国卷)；概率, 离散变量的分布列,期望与函数综合(湖南卷),与线性规划综合(辽宁卷), 离散变量的分布列,期望等与数列的综合(广东卷)等等。【例1】(2005年，全国卷,文18)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.【分析及解】（）与常见的概率题不同的是,本题给出了复合事件的概率求单一事件的概率,所以需要通过列方程和解方程求解.记甲、乙、丙三台机器在一小时内需要照顾的事件为A,B,C.由题设,事件A,B,C是相互独立事件.由题意,可得方程组 解得 所以甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是【例2】(2005年，江西卷，文19)A,B两位同学各有五张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏,当出现正面朝上时A赢得B一张卡片,否则B赢得A一张卡片.如果某人已赢得所有卡片,则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率.（）记这个小时内至少有一台需要照顾的事件为D.则 所以这个小时内至少有一台需要照顾的概率为.【分析及解】本题的关键是掷硬币的次数不大于7次时,正面和反面各出现多少次,才能赢得所有卡片.为此,设表示游戏终止时掷硬币的次数,又设正面出现的次数为,反面出现的次数为.由题意,可得方程组 解得 【例3】(2005年，湖南卷，理18)某城市有甲，乙，丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别是，且客人是否游览哪个景点互不影响.设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（）求的分布列及数学期望;（）记“ 函数在区间上单调递增”为事件A，求事件A的概率.【分析及解】第（）问比较常见，的可能取值为1，3.当时,客人游览了2个景点,没有游览1个景点,或游览了1个景点,没有游览2个景点. 当时, 客人游览了3个景点或没有游览3个景点 1 3P 076 024的分布列是.第（）问是概率与函数的综合题,有两种思路:思路一是,由,所以在区间上单调递增,要使在区间上单调递增,当