陕西汉中高三数学下学期第二次教学质量检测试卷理

汉中市2019届高三年级教学质量第二次检测考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，若，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 5【答案】C【解析】【分析】先解不等式，根据，确定集合A，根据，就可以求出【详解】 而，所以，因此集合 ，所以，因此本题选C.【点睛】本题考查了集合的表示方法之间的转化、集合之间关系。2.设复数（是虚数单位），则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出复数的共轭复数，计算，根据结果写出虚部。【详解】复数z=1-3i，z=1+3i，zz=1+3i13i=(1+3i)(1+3i)(13i)(1+3i)=12+32i的虚部为32，因此本题选C。【点睛】本题考查了复数的共轭复数、复数的四种运算、虚部的概念。3.已知向量a、b的夹角为60，a=2，b=1，则ab=（ ）A. 3B. 5C. 23D. 7【答案】A【解析】【分析】求向量的模可以先求出模的平方，然后再开算术平方根。【详解】a-b= (ab)2=a22ab+b2=42abcos600+1=3，因此本题选A。【点睛】本题考查了向量求模的方法。一般的方法有二种：一是平方进行转化；另一个是利用向量加减法的几何意义进行求解。本题也可以利用第二种方法来求解。设a=OA,b=OB,则a-b=BA,利用余弦定理可以求出它的模。4.已知2,，sin=1717，则tan4=（ ）A. 53B. 34C. 34D. 53【答案】D【解析】【分析】由sin=17172,可以求出cos，进而可以求出tan的值。运用两角差的正切公式可以求出tan-4的值。【详解】 sin=17172, cos=1sin2=41717 所以tan=sincos=14，tan（4）=tantan41+tantan4=53 ，因此本题选D。【点睛】本题考查了同角三角函数之间的关系、两角差的正切公式。5.函数f(x)=xlnxx的图像是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】首先由函数解析式可知函数f(x)=xln|x|x|为奇函数，故排除A,C，又当x0 时，f(x)=xlnxx=lnx ，在(0,+) 上单调递增，故选B6.双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的离心率恰为它一条渐近线斜率的2倍，则离心率为（ ）A. 233B. 255C. 355D. 3【答案】A【解析】【分析】由题意根据离心率公式，列出等式，再由a,b,c之间的关系，最后求出离心率。【详解】由题意可知e=2ba，即ca=2bac=2bc2=4b2，而b2=c2a2得4a2=3c2e=233，因此本题选A.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法。7.函数f(x)=cos(x+)(0,0=2；图象过(3,0)，cos(23+)=023+=k+2=k6(kZ)，因为0,2 ，所以=6，f(x)=cos(2x6)，当2k2x62k(kZ)时，函数单调递增，化简得k512xk+12(kZ)，因此本题选D。【点睛】本题考查了三角函数图象及性质。解决此类问题的关键是通过函数的图象找到“关键点”，如最高点、最低点、零点等。8.九章算术是中国古代第一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就。“更相减损术”便出自其中，原文记载如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。”其核心思想编译成如示框图，若输入的a，b分别为45，63，则输出的a为（ ）A. 2B. 3C. 5D. 9【答案】D【解析】【分析】通过已知，可以判断这是在求两数的最大公约数。也可以按照循环结构的特点，先判断后执行，分别求出当前a,b的值，直到循环结束。【详解】通过阅读可以知道，这是利用更相减损术求45，63的最大公约数，63，45的最大公约数是9。也可以按照循环结构来求解，如下表：循环次数ab初始4563第一次4518第二次2718第三次918第四次99第五次输出a=9因此本题选D。【点睛】本题考查了算法和程序框图、更相减损术。解决此类问题的关键就是按照程序框图的结构进行，得出结论，当然对于一些经典的算法应该熟知，这样可以直接求解。9.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=AA1=2，BC=2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】B【解析】【分析】取B1C1的中点D1，连结A1D1,这样求异面直线AD与A1C所成的角就转化成求CA1D1的大小。【详解】取B1C1的中点D1，连结A1D1、CD1,在直三棱柱ABC-A1B1C1，点D为BC的中点,AA1=DD1 且AA1DD1，ADA1D1且AD=A1D1，所以CA1D1就是异面直线AD与A1C所成的角。AB=AC=2，BC=2可以求出AD=A1D1=1，在RtCC1D1中，由勾股定理可求出CD1=3，在RtAA1C中，由勾股定理可求出A1C=2，显然A1D1C是直角三角形，sinCA1D1=CD1AC1=32,所以CA1D1=3，因此本题选B。【点睛】本题考查了异面直线所成角的问题，解决的关键转化成相交线所成的角，但要注意异面直线所成角的范围是(0,2。10.汉中市2019年油菜花节在汉台区举办，组委会将甲、乙等6名工作人员分配到两个不同的接待处负责参与接待工作，每个接待处至少2人，则甲、乙两人不在同一接待处的分配方法共有（ ）A. 12种B. 22种C. 28种D. 30种【答案】C【解析】【分析】由题要将所有人分到两个不同的接待处A,B,则甲可能在A组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，甲可能在B组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，分别求出每一种分配的方法数目，有分类计数原理计算可得答案。【详解】由题可分两种情况讨论：甲可能在A组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，则有C41+C42+C43=14种分法；甲可能在B组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，则有C41+C42+C43=14种分法；一共有14+14=28种分法。故选C.【点睛】本题考查分类计数原理，解题的关键是分类列出所有可能情况，属于一般题。11.已知抛物线y2=8x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A、B两点，交准线于点C，若BC=2BF，则AB等于（ ）A. 12B. 14C. 16D. 28【答案】C【解析】【分析】分别过A,B作准线的垂线，利用抛物线的定义把A,B两点到F点的距离转化为A,B两点到准线的距离，结合已知可以求出BF和AF的长，最后求出AB。【详解】抛物线y2=8x，p=4，分别过A,B作准线的垂线，垂足为M,N，如下图：由抛物线的定义可知：AM=AF,BN=BF,BNx轴BNp=BCCF,因为BC=2BF，所以有BFp=2BF2BF+BF ，解得BF= 842。所以CF=CB+BF=42。AMx轴，所以pAM=CFCA,pAF=4242+AF,AF=8+42 所以 AB=16，因此本题选C.【点睛】本题考查了抛物线的定义，弦长的求法。12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=ex(x1) 函数f(x)有3个零点f(x)0的解集为(1,0)(1,+) x1,x2R，都有f(x1)f(x2)2其中正确命题的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】对于：根据奇函数的性质即可求解；对于：先求出当x0时，函数的零点，由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以有f0=0。对于:分类讨论，当x0的解集；当x0时,求出f(x)0的解集。对于：利用导数，求出函数f(x)的值域，就可以判断是否正确。【详解】对于：当x0时，有-x0,由奇函数定义可知：f(x)=f(x)，所以f(x)=ex(x+1)=ex(x1)本命题正确；对于：当x0时，fx=exx+1=0 ，解得x=1，即f(1)=0，根据奇函数的性质可知f(1)=0，又因为定义域是R，所以f(0)=0，因此函数f(x)有3个零点，本命题正确；对于：当x0，即exx+10,解得x1，1x0时，通过的分析，可知f(x)=ex(x+1)=ex(x1)，当f(x)0时，即ex(x1)0，解得x1，x1，本命题正确；对于：当x0，函数单调递增；当x(,2), f(x)0，函数单调递减， f(x)的极大值为f(2)=1e2，当x0时，f(x)1，根据可知，当1x0，当x1时，f(x)0，所以当x0时，1e2f(x)0时，1f(x)1e2，而f(0)=0，所以当xR时，1f(x)1，即f(x1)-f(x2)0，所以公比q=3.bn的通项公式bn=3n-1(nN+)，所以Sn=n(9-4n+13)2+1-3n1-3=3n-4n2+22n-12.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，前n项和公式。18.社区服务是高中学生社会实践活动的一个重要内容，汉中某中学随机抽取了100名男生、100名女生，了解他们一年参加社区服务的时间，按0,10)，10,20)，20,30)，30,40)，40,50（单位：小时）进行统计，得出男生参加社区服务时间的频率分布表和女生参加社区服务时间的频率分布直方图.（1）完善男生参加社区服务时间的频率分布表和女生参加社区服务时间的频率分布直方图.抽取的100名男生参加社区服务时间的频率分布表社区服务时间(h)人数频率0,10)0.0510,20)2020,30)0.3530,40)3040,50合计1001学生社区服务时间合格与性别的列联表不合格的人数合格的人数男女（2）按高中综合素质评价的要求，高中学生每年参加社区服务的时间不少于20个小时才为合格，根据上面的统计图表，完成抽取的这200名学生参加社区服务时间合格与性别的列联表，并判断是否有90%以上的把握认为参加社区服务时间达到合格程度与性别有关，并说明理由.（3）用以上这200名学生参加社区服务的时间估计全市9万名高中学生参加社区服务时间的情况，并以频率作为概率.（i）求全市高中学生参加社区服务时间不少于30个小时的人数.（）对我市高中生参加社区服务的情况进行评价.参考公式P(K2k)0.1500.1000.0500.0250.0100.0020.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（K2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其n=a+b+c+d）【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）根据公式：每小组的频率等于每小组的频数除以样本容量，进行求解。根据在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1，计算出女生在20,30)段小长方形的面积，最后补完整频率分布直方图。（2）按照每年参加社区服务的时间不少于20个小时才为合格这一要求，在100名男生参加社区服务时间频率分布表中求出男生合格人数、不合格人数；在100名女生参加社区服务时间频率直方图中，求出女生合格人数，不合格人数，填写列联表。求出K2,得出结论。（3）（i）根据100名男生参加社区服务时间频率分布表和100名女生参加社区服务时间频率直方图，可以求出这200名学生参加社区服务时间不少于30个小时的人数，然后求出全市高中生社区服务时间不少于30个小时的概率，最后求出求全市高中学生参加社区服务时间不少于30个小时的人数.（）可以从以下这四个方面做出分析：A全市高中生是不是都达到高中素质评价的要求方面；B全市所有学生参与社区服务的时间多少方面；C全市高中学生中，女生参与社区服务的时间比男生长短方面；D全市高中学生，参与社区服务时间的长短集中哪个时间段方面。【详解】（1）由每小组的频率等于每小组的频数除以样本容量，这个公式可以计算出每一时间段所需填写的内容。0,10)段：人数=0.05100=5；10,20)段：频率=20100=0.2；20,30)段：人数=0.35100=35； 30,40)段：频率=30100=0.3； 40,50段：人数=100-5-20-35-30=10，频率=1-0.05-0.2-0.35-0.3=0.1。补全抽取的100名男生参加社区服务时间的频率分布表，如下表：社区服务时间(h)人数频率0,10)50.0510,20)200.220,30)350.3530,40)300.340,50100.1合计1001根据在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1，所以有1-0.0110-0.02510-0.0210-0.0110=0.35，补完频率分布直方图如下图：（2）通过抽取的100名男生参加社区服务时间的频率分布表可知男生合格人数为75人，不合格人数为25人；通过抽取的100名女生参加社区服务时间频率直方图中可知合格人数为65人，不合格人数为35人， 列联表如下表。学生社区服务时间合格人数与性别的列联表不合格的人数合格的人数男2575女3565K2=200(2565-3575)2601401001002.380.A0,0,0，C32,a,0，E0,a2,12，D0,a,0，B32,0,0，AC=32,a,0，AE=0,a2,12.由题AB平面PAD，即平面AED的法向量为AB=32,0,0.设平面AEC的法向量为n=x,y,z，nAC=0nAE=0，即32x+ay=0a2y+12z=0得x=2ay=3z=3a.n=2a,3,3a.由二面角CAED的平面角为锐角，即cosn,AB=3a3213a2+9=12，解得a=3，即AD=3.又F为PC的中点，即F到平面ABCD的距离为PA2=12.VCAFD=VFACD=131232312=38.【点睛】本题考查立体几何的证明1、面面垂直的证明是由线线垂直证线面垂直，再由线面垂直证面面垂直。2、求锥体体积可以应用等体积转化的方法3、二面角可以借助向量法求出两个平面的法向量，则二面角为两个向量的夹角或补交。21.已知函数f(x)=exln(x+1)a的图像在x=0处与x轴相切.（1）求f(x)的解析式，并讨论其单调性.（2）若xt0，证明：ext+ln(t+1)ln(x+1)+1.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）先由题求出a值，再对fx求导，利用导函数讨论其单调性（2）可构造新函数，对新函数求导，利用单调性证明。【详解】（1）由题f(0)=1-a，即切点为(0,1-a)，1-a=0即a=1，f(x)=ex-ln(x+1)-1.求导f(x)=ex-1x+1，由题-1x0时ex1，则f(x)1时ex1，1x+10，即f(x)为(1,+)上的增函数.（2）方法一：要证原不等式，即证ex-t+ln(t+1)-ln(x+1)-10，构造函数g(x)=ex-t+ln(t+1)-ln(x+1)-1，x0，即证g(x)0，g(x)=ex-t-1x+1.xt0即x-t0，x+11，则ex-t1，1x+10即g(x)为0,+)的增函数.当x=t，g(t)=0时，由题xt0，g(x)g(t)=0即g(x)0，故原不等式得证.方法二：要证原不等式，即证ex-t-1ln(x+1)-ln(t+1)，由（1）知x0时，f(x)=ex-ln(x+1)-1f(0)=0，由题xt0即x-t0，f(x-t)=ex-t-ln(x-t+1)-10，即ex-t-1ln(x-t+1) 又ln(x-t+1)-ln(x+1)-ln(t+1) =ln(x-t+1)(t+1)x+1=lnt(x-t)+x+1x+1=lnt(x-t)x+1+10.ln(x-t+1)ln(x+1)-ln(t+1) 由得ex-t-1ln(x+1)-ln(t+1)，即得证.【点睛】本题考查利用导数解不等式，证明不等式可通过构造函数转化为函数的最值问题，属于偏难题目。22.已知直线l1的参数方程为x=t+ay=t3（为参数，a0），以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为=4cos.（1）若直线l1被圆截得的弦长为22时，求a的值.（2）直线l2的参数方程为x=2+tcosy=tsin（为参数），若l1l2，垂足为P，求P点的极坐标.【答案】（1）a=3（2）P2,4.【解析】【分析】（1）把直线l1的参数方程通过消参过程，化为直角坐标方程；利用公式把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，利用弦心距、弦长和圆关径的关系，建立等式，求出a的值。（2）把直线l2的参数方程通过消参过程，化为直角坐标方程，根据l1l2这一条件，可以确定l2，两直线方程联立，求出点P的坐标，最后化