集合与数学方法第七章人教

集合与数学方法第七章 湖南省衡南五中 龙诗春 邮编 421101近世代数、概率论、拓朴学、模糊数学等都以集合为基础，数学无处不隐藏着集合的影子。作为中学的数学方法，它与集合有着什么样的关联呢？请看一个例题：设P：函数y=ax22x1在1，）内单调递增。Q：曲线y=x22ax4a5与x轴没有交点。如果P与Q有且只有一个正确，求a的取值范围。分析：P与Q有且只有一个正确意味着P正确但Q不正确、P不正确但Q正确两种情形。从整体来看，P与Q还存在两种情况：P和Q都正确、P和Q都不正确。而P正确与P不正确在集合中体现为集合A与集合CUA。解法一：P正确a=0或者a0。P不正确a0Q正确=4a24(4a5)01a5。Q不正确a1或a5。则P正确但Q不正确a1；P不正确但Q正确0a5。P与Q有且只有一个正确 a1或0a5。解法二：P正确或Q正确的a的取值范围记为集合U，P和Q都正确的a的取值范围记为集合A，则P与Q有且只有一个正确的a的取值范围为CUA，而U=a| a5 ，A=a|1a0，CUA=a| a1或0a5。我们可以感受到：这一问题的解答过程处处闪耀着集合思想的光芒。集合与中学数学方法紧密联系，你中有我，我中有你，下面我们就一一地来欣赏它。1、集合与分类讨论例1.1、设函数f(x)=x2+xa+1，xR。(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求函数f(x)的最小值。分析：（1）判断函数f(x)的奇偶性主要是看f(x)与f(x)的关系，容易观察到当a=0时f(x)为偶函数。当a0时，验证f(x)在互为相反的两个自变量值上函数值的关系来帮助判断。（2）去绝对值使f(x)向二次函数转化，再考察对称轴与区间的关系求最值。解：(1)当a=0时，函数f(x)=(x)2+x+1=f(x)，此时f(x)为偶函数。当a0时，f(a)=a2+1，f(a)=a2+2a+1，f(a)f(a)，f(a)f(a)，此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数。（2）当xa时，函数f(x)=x2x+a+1=(x)2+a+。若a，则函数f(x)在(,a上单调递减，从而函数f(x)在（,a上的最小值为f(a)=a2+1。若a，则函数f(x)在（,a上的最小值为f()=+a，且f()f(a)。当xa时，函数f(x)=x2+xa+1=(x+)2a+若a，则函数f(x)在a,+）上的最小值为f()=a，且f()f(a)；若a，则函数f(x)在a,+)单调递增，从而函数f(x)在a,+）上的最小值为f(a)=a2+1。综上，当a时，函数f(x)的最小值为a；当a时，函数f(x)的最小值是a2+1；当a时，函数f(x)的最小值是a+。点评：运用数学观察力和直觉能力，先考察特殊值，再看一般值。将混合型的函数向单一的函数转化，因绝对值而分类，在此基础上，又因对称轴与区间的关系进行第二次分类。这里分类的层次分明，且做到不重不漏。从上面例题的解答中可以看出：分类讨论实际上就是将考察的对象作为一个全集U，按照一个确定的标准，把集合U划分为若干个子集(=1、2、)，且使=（），=U。只要就每个解决了问题，综合起来也就解决了U上的问题。如果对于每个仍然无法解决且还需要对进行划分，这时就每个(=1、2、)，按照另一确定的标准，把集合划分为若干个子集（=1、2、），且使=（），=。只要就每个解决了问题，综合起来就解决了，(=1、2、)解决了，相应地U上的问题也就解决了。例1.2、试证：集合1，2，3，2001，2002中存在一个由1602个元素组成的子集，其中没有一个元素是另一个元素的4倍。分析：问题的关键是要找到元素尽量多的集合，它是已知集的子集，并且没有一个元素是另一个元素的4倍。在1，2，3，2001，2002中，把4倍超过2002的元素全部找出来，显然这些数中没有一个能是另一个的4倍，它们组成集合，余下的元素中，4倍全在中的数全部去掉，这些数组成集合。再在余下的元素中进行挑选。证明：因20024=5002，故任何一个大于500的整数与4的乘积都大于2002，记=501，502，2002，中有1502个元素。5004=125，记=126，127，500，中有375个元素，且中每个元素的4倍都是中的元素。1254=311，记=32，33，125，中有94个元素，中元素的4倍都是中的元素，但不是中的元素。314=73，记=8，9，31，中有24个元素，中元素的4倍都是中的元素，但不是和中的元素。74=13，记=2，3，7，中有6个元素，中的每个元素的4倍都是中的元素，但不是、和中的元素。=1，中元素的4倍是中的元素。、是集合1，2，2001，2002的一个划分，由上面的关系知，就符合其中没有一个元素是另一个的4倍，这时中的元素个数为1602，故即为所求。点评：根据解题需要把集合A划分为n个两两不交的子集A1，A2，An，再找出满足条件的子集Ai(i=1,2,，n)。例1.3、设x0,，比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。分析：分区间，化同名，用单调性得结果。解：令x=0,，分别代入cos(sinx)和sin(cosx)易得cos(sinx)sin(cosx)。当x时，0sinx1，-1cosx0，则cos(sinx)sin(cosx)。当0x时，下面证明cos(sinx)sin(cosx)。要证明它，只要证明sin(-sinx)sin(cosx),0x，则0-sinx，0cosx，故只需证-sinxcosx，即证sinx+cosx，而sinx+cosx=sin(x+)，cos(sinx)sin(cosx)。综上知：x0,时，总有cos(sinx)sin(cosx)。点评：本题采用先易后难，先特殊后一般的方法，同时运用分析法找解题思路。实际上,集合的一个分类决定着一个等价关系,而一个等价关系同样决定着一个分类,即分类的标准数学上通常以等价为依据。练习一1、若的大小关系（ ）A B C D与x的取值有关2、如图，在三棱柱ABCABC中，点E、F、H、 K分别为AC、CB、AB、BC的中点，G为ABC的重心. 从K、H、G、B中取一点作为P， 使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（ ）AKBHCGDB3、若函数f(x)=lg(a+2)+sinxlg(a-2)的最大值为2，则a=_。4、某班星期一课表需要排数、理、化、语文、体育共五节课，若体育不排第一、二节，数学不排最后一节，不同的排法种数有_。5、设等比数列的公比为，前n项和。（）求的取值范围；(05年全国卷1)（）设，记的前n项和为，试比较与的大小。6、已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线.当nyn+1(n=0,1,2,)时，该图象是斜率为bn的线段（其中正常数b1），设数列xn由f(xn)=n(n=1,2,)定义。（1）求x1、x2和xn的表达式；（2）计算xn；（3）求f(x)的表达式，并写出其定义域。7、已知动圆过定点，且与直线相切，其中.（I）求动圆圆心的轨迹的方程；（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标。8、已知，讨论函数的极值点的个数。2、集合与正难则反例2.1、四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A.150种 B.147种 C.144种 D.141种分析：从正面入手，则要找出其中一个点不在另三点所在平面上的所有情况数，有些困难。若从反面考虑，先找出所有共面的情况数则答案可得。解：任取4个点共C=210种取法。四点共面的有三类：（1）每个面上有6个点，则有4C=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种。答案：C从上面例题的解答中不难看出：正难则反就是指在解决问题的过程中，原问题的对象构成一个集合A，直接解决A遇到障碍，转而从集合A的补集CUA入手，先解决CUA，进而解决A。例2.2、在x2+4mx4m+3=0、x2+(m1)x+ m2=0、x2+2mx2m=0三个方程中，至少有一个方程有实根，试求m的取值范围。分析：三个方程的实根情况为：恰有1个有实根，恰有2个有实根，恰有3个有实根，没有1个有实根。三个方程中至少有1个方程有实根记为集合A，则A的补集为“没有1个有实根”。求出A的补集中m的取值范围即可得到A时m的取值范围。解：三个方程没有1个有实根，则（4m）24（4m+3）0且（m1）24m20且（2m）2+8m0，解这个不等式组得m1。故符合条件的m的取值范围为（，1，+）。例2.3、有一个问题，在半小时之内，甲能解决它的概率是，乙能解决它的概率是。计算：问题得到解决的概率。分析：问题得到解决是指甲乙两人中至少有1人解决问题，“问题得到解决”记为A，“问题未得到解决”记为B，则P（A）=1P（B），只要解决P（B）就可以了。解：设在半小时内甲能独立解决该问题是事件A，乙能独立地解决该问题是事件B那么两个人都未解决该问题是事件，由于两人是相互独立地求解，于是得到： P（）=P（）P（）=（1）（1）=。从而“问题得到解决”这一事件的概率为1P（）=1=。例2.4、在一个平面上有100个点，其中任意三点均不共线，以这些点为顶点的所有可能的三角形中，证明其中最多有70的三角形是锐角三角形。分析：若能证明其中至少有30的三角形是非锐角三角形则原问题也就得证。证明：任给5个点，其中没有三点共线，则一定可以找到以它们为顶点的三个非锐角三角形。下面分三种情况讨论。若五个点组成一个凸五边形ABCDE，则这个五边形中至少有两个内角为钝角。它们可能相邻（例如A、B），也可能不相邻（例如A、C）。注意四边形ACDE中至少有一个内角非锐角，这样就找到了三个不同的非锐角，相应地得到三个非锐角三角形。若五个点中有四个点组成一个凸四边形ABCD，另一点E在ABCD内部，则EA、EB、EC、ED相互间的夹角至少有两个钝角。再加上ABCD中的非锐内角，至少也可找到三个非锐角三角形。若五个点中有三点组成一个三角形ABC，另外两点D、E均在ABC内，由于ADB、BDC、CDA中至少有两个钝角，我们可以找到四个钝角三角形。综合可得，任给五个点其中无三点共线，一定可以找到至少三个以它们为顶点的非锐角三角形。由于每个非锐角三角形至多属于个五点组，而五点组共有个，所以100个点组成非锐角三角形至少有个，它是三角形总数的=。因此，锐角三角形的个数不多于三角形总数的1=70，即最多有70的三角形是锐角三角形。 例2.5、某先生居住在城镇的A处,准备开车到单位B处上班。若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图( 例如：算作两个路段：路段C发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为)（1）请你为其选择一条由到的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望。分析：只要能求出由到各种路线不堵车的概率，不堵车的概率越大则堵车的概率就越小。问题即可得解。解：(1)记路段MN发生堵车事件为MN.因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线D中遇到堵车的概率P1为1()=1()() ()(AC)(CD)P(DB)；同理：路线中遇到堵车的概率P为1()=（小于）；路线中遇到堵车的概率P为1()= （大于）显然要使得由到的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择 。因此选择路线,可使得途中发生堵车事件的概率最小.(2) 路线中遇到堵车次数可取值为0,1,2,3()()，(1)(AC )()()， ()(AC )( )()， (3)( ) 。答:路线中遇到堵车次数的数学期望为。练习二1、以平行六面体ABCDABCD的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为（ ）ABCD2、在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有多少个。 3、设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125（）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为多少；（）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率。4、甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分.（）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和的数学期望；（）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率。5、设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点。 （）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由。6、甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率， （I）记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望E； （II）求乙至多击中目标2次的概率； （III）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率。3、集合与等价转化例3.1、(1)设a、b、c、dR，若为实数，则（ ）Abc+ad0 Bbcad0 Cbcad=0 Dbc+ad=0(2) 锐角三角形的内角A、B满足tanA=tanB，则有（ ）Asin2AcosB=0 Bsin2A+cosB=0 Csin2AsinB=0 Dsin2A+sinB=0分析：(1) 为实数当且仅当()()为实数，通过计算易得结果。（2）tanA=tanB当且仅当=tanB这样一直转化下去即可得到解决。解：（1）=为实数，则bcad=0，选C。（2）tanA=tanB当且仅当=tanBtan2A=tanBtan（2A）=tanB，A、B为锐角，2A（0，），2A=B，从而应该选C。例3.2、设函数取值范围。分析：2转化为含绝对值不等式求解。解：2或或。使2的取值范围是|。从上面的例子中我们可以感受到等价转化或者说等价变换的意义，那么如何用集合的观点来描述等价变换的意义呢？问题变换前的对象记为集合A，问题变换后的对象记为集合B，那么变换前的问题与变换后的问题等价A=B，即变换前的问题是变换后的问题的充要条件。运用等价变换解数学问题的基本思路是：原问题是否可用不同的形式改述，得它的等价问题，如利用定义改述原问题；利用逻辑关系改述原问题；利用参数改述原问题等。原问题可以运用哪些等价变换作有利的变形，使问题在变换过程中既能保持等价，又可逐步简化。例3.3、设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。（）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；（）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。分析：（）是的垂直平分线，且经过抛物线的焦点，意味着|FA|=|FB|，使条件实现转化。（）写出和AB的方程，由AB与抛物线有两个交点A、B得出A、B两点的横坐标满足的条件等即可求解。解：（）两点到抛物线的准线的距离相等， 抛物线的准线是轴的平行线，依题意不同时为0上述条件等价于，上述条件等价于即当且仅当时，经过抛物线的焦点。（）设在轴上的截距为，依题意得的方程为；过点的直线方程可写为，所以满足方程，得 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，即设的中点的坐标为，则，由，得，于是即得在轴上截距的取值范围为例3.4、已知函数f(x)lnx，g(x)ax2bx，a0. （）若b2，且h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； （）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。分析：（）h(x)存在单调递减区间当且仅当有区间使0。（）C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行当且仅当C1在点M处的切线的斜率与C2在点N处的切线斜率不相等，等价于C1在点M处的切线的斜率C2在点N处的切线斜率0。解：（I），则因为函数h(x)存在单调递减区间，所以0时，则ax2+2x10有x0的解。当a0时，y=ax2+2x1为开口向上的抛物线，ax2+2x10总有x0的解；当a0总有x0的解； 则=4+4a0,且方程ax2+2x1=0至少有一正根.此时，1a0。 综上所述，a的取值范围为（1，0）（0，+）。 （II）证法一 设点P、Q的坐标分别是（x1, y1），（x2, y2），0x1x2。 则点M、N的横坐标为 C1在点M处的切线斜率为 C2在点N处的切线斜率为 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2. 即，则 =所以 设则令则因为时，所以在）上单调递增。故则. 这与矛盾，假设不成立。故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。证法二：同证法一得因为，所以令，得 令因为，所以时，故在1，+上单调递增。从而，即于是在1，+上单调递增。故即这与矛盾，假设不成立。故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。等价变换是数学解题过程中常用的方法：对于问题A，我们可能无法直接解决，但可以去寻找与A等价的另一个问题B，考虑B时，我们又可能去联系与B等价的第三个问题C。如此继续下去，直到最后得到问题Z，问题Z的解答为已知或明显可知的。既然每一个问题都和前一个问题等价，则最后一个问题也必定和原问题A等价。于是我们可以从问题Z推出问题A的解答。练习三1、已知过点和的直线与直线平行，则的值为( ) A B C D 2、( )A B C D 3、若，则( )A B C D 4、已知双曲线的焦点为，点在双曲线上且，则点到轴的距离为（ ）A B C D 5、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则的概率为（ ）A B C D6、如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为（ ）A B C D 7、已知复数：，复数满足，则复数 。8、化简并求函数的值域和最小正周期。9、已知数列an满足a1=a, an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：（）求当a为何值时a4=0；（）设数列bn满足b1=1, bn+1=，求证a取数列bn中的任一个数，都可以得到一个有穷数列an；（）若，求a的取值范围。4、集合与映射反演 我们先看两个例子： 例4.1、计算：y= 解：1取对数 lgy=lg=lg0.6842。2查表计算 lgy=（0.83521）=10.9670。3取反对数 y=0.9268。上述计算过程用框图表示如下： 例4.2、在平行四边形ABCD中，AC和BD是它的两条对角线，求证：AC2BD2=2（AB2AD2）。解法1：建立以点A为原点，AB所在直线为x轴的直角坐标系。A（0，0），B（a，0），D（m，n），则C（a+m，n），AC2BD2=(a+m)2+n2+(am)2+n2=2(a2+m2+n2)，而2（AB2AC2）=2（a2+ m2+n2）。AC2BD2=2（AB2AD2）。解法2：AB对应复数z1，AD对应复数z2。AC对应复数z1+z2，BD对应复数z2z1。AC2BD2=|z1+z2|2+|z2z1|2，2（AB2AD2）=2（|z1|2+|z2|2）。由复数的运算得|z1+z2|2+|z2z1|2=2（|z1|2+|z2|2）。AC2BD2=2（AB2AD2）。上述证明过程可用下图表示：形数对应(映射)几何问题 代数问题 数形对应(映射)某几何问题求解 某代数问题求解从上面两例看，映射反演的基本含义是什么呢？简单地说，有两个集合A和B，A中的元素间有某些运算或关系，同样B中也有某些运算或关系，在A和B之间存在一个映射（最好是一个双射），能使A中的元素之间的运算或关系也能对应于B中的相应元素的运算或关系，从而使A中的问题甲映射到B中的相应的问题乙，在B中的问题乙得到解决，通过映射的逆映射-1把B中的问题乙反演到A中的问题甲，这样A中问题甲就得到了解决。对于映射反演方法的基本含义说明如下：该方法的核心思想是：利用两个系统间的联系、关系与相似性来解决问题，在具有结构的系统内，往往是同构映射或同态映射，同态映射不必一一对应。系统可大可小，情况多种多样。要点在于：通过系统间的对应，建立两系统的某类问题间的对应，以利于解决原问题。如果系统间的对应不是一一对应，那么利用这样的映射与逆映射反演解题后，应注意做一些弥补工作。例4.3、已知x、y满足x2+4y2=4，求函数u(x,y)=x2+2xy+4y2+x+2y的最大、小值。解：由于（x,y）是椭圆x2+4y2=4上的点，可令x=2cos，y=sin，u(cos,sin)=4+4sincos+2(sin+cos) 再令 sin+cos=t,(|t|) 原函数可表示为u(x,y)=u(t)=2t2+2t+2=2(t+)2+。故u(x,y)max=6+2，U(x,y)min=。这里借助参数把关系结构系统S映射到映象关系结构系统S*，由于在S*中对X*的解决比较简单，从而使S中的X得到解决。例4.4、证明不等式：设a、b、c、d为实数，求证：+ 这是一道证明不等式的代数题，直接证明比较困难，但从其结论中发现与两点间距离公式有相似之处，建立实数与点之间的对应关系，这样就将一个代数问题映射到了一个几何问题上。解：建立直角坐标系，设点A，B坐标分别为(a,c),(b,d)。则由两点间距离公式可得=，而 =，=。 1）当A、O、B不在一直线上时，根据三角形两边之和大于第三边有+ 2）当A、O、B在一直线上时，O为AB内分点，有=+；O为AB外分点，有+ 综上所述，总有+，即 + 通过引进适当坐标系，在点与实数之间建立对应关系，将代数问题映射成相应的几何问题，利用几何知识、几何方法解决之，再将结果翻译回去变成代数问题所需的答案。例4.5、设f(x)=ax2+bx，且1f(1)2，2f（1）4，求f（2）的范围。解：问题等价于下面的不等式问题：已知：1ab2，2a+b4，求4a2b的范围。令u=4a2b，则b=2a。如图，在四条直线ab=1，ab=2，a+b=2，a+b=4所围成的矩形ABCD中，穿过矩形ABCD内部且斜率为2的直线的截距必满足5，所以5u10，即54a2b10。这里把不等式问题通过构图这一映射关系使之向线性规划问题形式转化。例4.6、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EAEB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，BCC1=，求： （）异面直线AB与EB1的距离；（）二面角AEB1A1的平面角的正切值。分析：一般来说，求异面直线间的距离之关键是找出它的公垂线段，而公垂线段从几何角度一般是很难找。求二面角通常是作出其平面角，有时平面角的作出也不一定是一件易事。若能转化为用代数方法求解，则可避开作图这一难点！解：（I）以B为原点，、分别为y、z轴建立空间直角坐标系.由于BC=1，BB1=2，AB=，BCC1=，在三棱柱ABCA1B1C1中有B（0，0，0），A（0，0，），B1（0，2，0）， 设又AB面BCC1B1，故ABBE. 因此BE是异面直线AB、EB1的公垂线，则，故异面直线AB、EB1的距离为1.（II）由已知有故二面角AEB1A1的平面角的大小为向量的夹角.通过引进适当坐标系，在点与实数之间建立对应关系，将几何问题映射成相应的代数问题，利用代