高一数学函数人教

高一数学函数2、1 函数（值域、二次函数）课程难点与解析 1函数的值域与求函数的定义域相比，求函数的值域往往比较困难，我们只能求一些比较简单的函数的值域. 例题解析 例1 求下列函数的值域：（1）； （2）.解 （1）.， .函数的值域为.（2）. .函数的值域为.评析 对于第（1）题，还可以由求得，.即由已知函数解析式，求出用表示的式子，从而得到的取值范围，即函数的值域.例2 求函数的值域. 解 令 ，则 ，且 . . 函数的值域为. 评析 本题采用了换元的方法求函数的值域，在把表示成关于新变量的函数后，必须注意的取值范围，否则可能得出错误的结论.2二次函数在已知某些条件求二次函数的解析式时，常用待定系数法.常见的二次函数的表示形式有：标准式：；顶点式：；零点式：（式中、为一元二次方程的两个实数根）. 例题解析 例3 已知二次函数有最小值，且当和时的值都是，求. 解一 设，由题设 得即 解之得解二 ， 抛物线的对称轴为即，抛物线的顶点坐标为.设， ， . 解三 由已知，x=3和x=2是一元二次方程的两个实数根.设，则.又当时， ， ，.评析 由三种解法可见，已知某些条件求二次函数的解析式时，可以从不同的角度出发，用不同的方法求解，因此在解此类问题时，应寻求一种比较简便的方法去解.例4 已知抛物线的顶点是，抛物线与轴两个交点之间的距离是6，求、的值.解一 设二次函数为，即.若抛物线与轴的交点为和，则.由， ， ，求得.， .解二 由抛物线的对称轴为，抛物线与轴两个交点之间的距离为6,知 ， .二次函数为 .抛物线过点 . ， ， 抛物线为 . ， ， . 3 一元二次方程实根的分布设 ，则一元二次方程实根的分布情况，可以由的图象或由韦达定理来确定. 如果 ，由二次函数的图象知，一元二次方程在区间内必有一个实数根. 二次方程的两个实数根、的分布情况，可有如下几种（、为常数）：（1） （1）若，则应有 或（2）若，则应有 或（3）若，则应有 或.（4）若，则应有 （5）若，则应有 例题解析 例5 （1）若关于的方程的两根一根比1大，一根为比1小，求实数的取值范围；（2）若关于的方程的两根均大于1，求实数的取值范围；（3）若关于的方程的两根一根在内，另一根在内，求实数的取值范围. 解（1） 由已知，设，应有.（2）设，因两根均大于1，应有 ， ， ， (3) 设因一根在区间(0,1)内,另一根在区间(1,3)内, 若k0,应有 . 若k0,应有 . 例6、设且求实数a、b 的取值范围. 解 即若的两根一根小于1，另一根大于1； 的两根一根小于1，另一根大于1 同步习题1、 求函数的值域.2、 二次函数的图象与坐标轴分别交于点和，且抛物线的顶点在第四象限，求 的取值范围.3、 已知关于x的方程至少有一个正根，求实数m的取值范围4、 求抛物线在x轴上截得最短线段的长,求此时实数a的值. 答案解析 1、解 去分母，得.（1） （1）若，等式化为 .（2）若，可以看成是关于的二次方程，因， 所以，即 ， . ， 或 . 由（1）（2）知，函数的值域为. 评析 求可以化为关于的二次函数的分式函数的值域，通常可以采用判别式法.但必须注意，当的二次项系含有时，方程不一定是二次方程，这时应对的取值进行讨论.2、解 由题设， ， . . 抛物线顶点在第四象限， 的取值范围为 3、解 若m1=0, 方程为x1=0, x=1, 符合条件 若 如方程有异号两实根,则 如方程有两个正根, 则 由上可知,实数m的取值范围是评析 上述解法应用了韦达定理，本题也可以按二次项系数m1的符号，根据抛物线开口方向及抛物线与x轴交点至少有一点在原点右边来解. 4、解 设、, 则 当a=2时,在x轴上截得的线段最短,其长为2. 评析 一般地,若抛物线与x轴交于两点,则线段 AB的长2、2 函数的表示法（1）课程难点与解析教材总体分析：函数的解析法、列表法、图象法中，以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换这也是个难点内容详讲一、函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例如，s=60，A=，S=2,y=a+bx+c(a0),y=(x2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.例如，学生的身高 单位：厘米学号123456789身高125135140156138172167158169数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质. 例题解析 例1某种笔记本每个5元，买 x1,2,3,4个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像。解：这个函数的定义域集合是1,2,3,4，函数的解析式为y=5x，x1,2,3,4.它的图象由4个孤立点A (1， 5)B (2， 10)C (3， 15)D (4， 20)组成，如图所示。例2 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(00时，值域为；当a0，=，当x0时，则当时，其最小值；当a0）时或最大值（a0恒成立(为什么？)，函数的定义域为R，原函数可化为2y-4yx+3y-5=0，由判别式0，即16-42y(3y-5)=-8+40y0(y0),解得0y5，又y0, 00(或0且a1)解：(1)f(x)6x26x12，令f(x)0则x12，x21列表格单调增区间为：(，2)及(1，)，单调减区间为：(2，1)点评：写单调区间时，区间端点有意义时，可开可闭(2)f(x)log2(4x2)的定义域为(2，2)f(x)log2e，令f(x)0，x0列表：单调增区间为：(2，0)，单调减区间为：(0，2)点评：写单调区间时，一定要考虑函数的定义域，在满足定义域的前提下，讨论单调区间(3)f(x)axax，f(x)axlnaaxlna(x)lna(axax)当a1时，f(x)0，函数单调递增当0a1时，f(x)0)在(0，)上是单调函数解：f(x)a，(0，1)当a1时，f(x)0，恒成立，单调递减当a0时，xln(1x)证明：令f(x)xln(1x)x0，f(x)10，f(x)f(x)在(0，)是单调增函数f(x)f(0)，则xln(1x)0ln10 xln(1x)点评：构造一个函数，用求导的方法判断其单调性，再利用单调性证明不等式，要注意这种方法的运用 同步习题1yxlnx的增区间为()A(0，1) B(1，) C(0，2) D(0，)2yx(a0)的减区间为()A(a，a) B(a，0)(0，a)C(，a)及(a，) D(a，0)及(0，a)3当x0 B1a1 D0a0)为增函数，则()Ab24ac0 Bb0，c0 Cb0，c0 Db24ac1x(x0)10f(x)ax3x恰好有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间 答案解析 1B2D3A4A5D6D7(，)为增区间，(0，)及(，2)为减区间8证明：f(x)当0x1时，f(x)0f(x)为增函数当1x2时f(x)0，f(x)为减函数9证明：令f(x)ex1xf(x)ex1若x0则ex1f(x)0，f(x)为增函数，f(x)f(0) 即ex1xe0100，ex1x若x0则ex1f(x)0，f(x)为减函数， 仍有f(x)f(0)ex1x10解：f(x)ax3xf(x)3ax21令f(x)0若a0时，a0时方程f(x)0无解 而此时f(x)0恒成立f(x)为增函数，与已知有三个单调区间矛盾若a0时，x显然有三个单调区间(，)，(，)，(，)当x时f(x)0， f(x)为增区间当x或x时f(x)0， f(x)为减区间综上，a0时，恰好有三个单调区间(，)递减，(，)递减，(，)增区间2、4 反函数课程难点与解析1. 反函数 (1) 如函数yf(x)存在反函数，则f(x)对应的映射f:AB必须满足两个条件： B中的每一个元素在A中都有原像； B中的每一个元素在A中的原像只有一个，（即要求映射f:AB是一一映射.(2) 原函数与其反函数互为反函数如一个函数存在反函数，常常通过求其反函数的定义域来求这个函数的值域(3) 求一个函数的反函数一般分为三步： 用y表示x，将yf(x)变形为xf -1(y)； 将xf -1(y)中的字母x、y互换，改写成yf -1(x)； 由yf (x)的值域得yf -1(x)的定义域 例题解析 例 给出下列函数的图像，判断其中哪些函数存在反函数： 图 121分析 一个函数是否存在反函数，关键在这个函数是否是一一映射，或者说函数的值域中每一个元素在定义域中的原像是否唯一，也即对yf(x)来讲，必须有“x1x2 f(x1)f(x2)”.从图像上看，要求所有与y轴垂直的直线和函数的图像最多只有一个公共点解 作与y轴垂直的直线(图中均用虚线表示)，可见(1)、(3)不满足直线与图像最多只有一个公共点的条件，所以存在反函数的是yf2(x)和yf4(x).评析 (1) 有些函数不存在反函数，如f(x)x2 (xR),但如果适当改变其定义域，变为g(x)x2 (x0),则g(x)存在反函数但必须注意，这时的函数g(x)与f(x)的解析式虽然相同，但定义域不同，它们已不是同一个函数了(2) 由上述方法可见，在定义域上单调增（或单调减）的函数一定存在反函数当然，存在反函数的函数在其整个定义域上不一定是单调的例 已知定义在区间(a,b)上的函数yf(x)是增函数，求证：(1) f(x)存在反函数；(2) f(x)的反函数yf-1(x)在它的定义域上也是增函数证 (1) 假设对于f(x)的值域中的某个值y0，在f(x)的定义域中有两个不同的值x1、x2使f(x1)f(x2)y0. x1x2 必有x1x2或x1x2.由f(x)在定义域上是增函数，得f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)，都与f(x1)f(x2)矛盾所以对于f(x)值域中每一个值，在其定义域中只有唯一的一个值与之对应，由此得f(x)存在反函数(2) 不妨设f(x)的值域为(m,n)，即f -1(x)的定义域为(m,n).对于任意的y1y2,如y1、y2(m,n),f -1(y1)x1，f -1(y2)x2，则y1f(x1)，y2f(x2).如果x1x2，由f(x)是增函数，则y1y2，与y1y2矛盾；如果x1x2，由函数的定义，必有y1y2，也与y1y2矛盾所以当y1y2时，必有x1x2，即f -1(y1)f -1(y2).也就是说f -1(x)在它的定义域上也是增函数评析 (1)欲证明函数f(x)存在反函数，也可以证明对于f(x)定义域中任意的x1和x2，若x1x2则f(x1)f(x2).(2) 同本题类似，可以证明在定义域上的减函数一定存在反函数，且其反函数也是减函数2. 互为反函数的函数图像间的关系在求一个函数的反函数时，按习惯字母x表示自变量，y表示自变量的函数，因此在第二步时将字母x、y互换，由此得反函数yf -1(x)如注意到在直角坐标平面中，若将x轴和y轴互换，可以看成是整个坐标平面绕直线yx翻转180o而得，从这个角度考虑，就不难理解函数yf(x)和它的反函数yf -1(x)的图像关于直线yx对称 例题解析 例3 求证：函数f(x)的图像关于直线yx对称 分析 证明一个函数的图像关于直线yx对称，只要证明图像上任意一点P关于直线yx的对称点PM也在图像上，或证明函数yf(x)的反函数f -1(x)即f(x)本身证 设yf(x)的图像上有一点P(a,b)，则bf(a).P点关于直线yx的对称点为PM(b,a). 2ab4b4a7, a, 即 af(b).由此点PM(b,a)也在函数yf(x)的图像上，所以函数yf(x)的图像关于直线yx对称证2 由f(x)(x2)， y2, y2.又y2, 2x4，x(4), f -1(x)(x2)， f -1(x)f(x) yf(x)与yf -1(x)的图像关于直线yx对称 yf(x)的图像关于直线yx对称例4 (1) 已知f(x2)x24x6 (x2),求f -1(3)；(2) 已知点(2,3)在函数f(x)的图像上，又在其反函数的图像上，求f(x)的解析式解 (1) f(x2)(x2)22， x2 f(x)x22 （x）设f -1(3)x，则f(x)3.x223, x21. x0, x1,即f -1(3)1（2）由已知，得 3, 2ab9, 2, 3ab4. a5,b19， f(x).评析 (1) 本题(1)也可以先求出f -1(x)，再计算f -1(3)1.(2) 本题(2)中（2,3）在f -1(x)的图像上，即f -1(2)3,由此得出f(3)2.*3. 常见的几种图像变换(1) 平移变换 yf(xa)的图像，当a0时，可以由yf(x)的图像向右平移a个单位得到；当a0时，可以由yf(x)的图像向左平移|a|个单位得到 yf(x)b的图像，当b0时，可以由yf(x)的图像向上平移b个单位得到；当b0时，可以由yf(x)的图像向下平移|b|个单位得到(2) 对称变换 yf(x)的图像与yf(x)的图像关于x轴对称； yf(x)的图像与yf(x)的图像关于y轴对称； yf(x)的图像与yf(x)的图像关于原点对称； 若f -1(x)存在，yf -1(x)的图像与yf(x)的图像关于直线yx对称； 若对于定义域中的一切x，有f(ax)f(ax),yf(x)的图像关于直线xa对称； y|f(x)|的图像，是使yf(x)的图像在x轴上方部分及x轴上的点保持不变，将其在x轴下方部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方； yf(|x|)的图像，是除去yf(x)的图像在y轴左边部分，使该图像在y轴右边部分和y轴上的点保持不变，并根据偶函数的性质，再将yf(x)的图像在y轴右边部分以y轴为对称轴翻折到y轴左边. 例题解析 例5 知f(x)x22x，画出下列函数的图像：(1) yf(x1)； (2)yf(x)1； (3) yf(x)； (4) yf(x)； (5) y|f(x)|； (6) yf(|x|)分析 当然可以分别求出这些函数的解析式再画图像，这里运用图像变换画出它们的图像解 f(x)(x1)21，其图像是顶点在(1,1),开口向上的一条抛物线 图 122【高考试题剖析】1（2003年春季高考上海）已知函数f（x）1，则f1（3）_解：利用原函数与反函数的定义域与值域的对应关系，反函数定义域中的x3，应是原函数值域中y3而求f1（3）即求原函数的函数为3时，所对应的自变量的值即13，x4 答案42设函数f（x）log2x3（x1，），则f1（x）的定义域是（）A（0，1） B1，C3， DR解析：x1，ylog2x33，因反函数的定义域就是原函数的值域f1（x）的定义域为x3 答案C3函数ym和ynx6互为反函数，则m、n的值分别是（）A2、3 B3、2 C2、3 D3、2解析：先求出第一个函数的反函数，所求出的反函数式应与题中所给的第二个函数是同一个函数，对照系数可得结果 答案A4函数ylog2（x21）（x0）的反函数是_解析：x0，x211，ylog2（x21）0由ylog2（x21）（x0）得x212y，x， f1（x）（x0） 答案f1（x） （x0）5若函数f（x），则f1（）_解：由，解得x1，f1（）1 答案1 同步习题1、设函数f（x）是函数g（x）的反函数，则f（4x2）的单调递增区间为（）A0， B（，0C0，2 D（2，0）2、求函数f（x）的反函数3、设yf（x），yg（x）的图象与yf1（x1）的图象关于直线yx对称，求g（3）的值4、（2003年高考新课程）函数yln， x（1，）的反函数为（）Ay，x（0，）By，x（0，）Cy，x（，0）Dy，x（，0）5、如果f（x）， g（x）f1（x），那么g（x）（）A在（，）上是增函数B在（，1）上是增函数C在（1，）上是减函数D在（，1）上是减函数6、函数f（x）与g（x）3x的图象关于直线yx对称，则函数f（x1）的定义域为_7、若点（2，）既在函数y2axb的图象上，又在它的反函数的图象上，则a_，b_8、已知函数f（x）的图象关于直线yx对称，求实数m9、若函数f（x）lgx2（x0）的值域是1，1，求它的反函数的值域 答案解析 1、解析：f（4x2）log2（4x2），x（2，0）时，4x2单调递增，x0，2时，4x2单调递减答案：C2、解：当x1时，yx212，且有x，此时反函数为y（x2）当x1时，yx12，且有xy1，此时反函数为yx1（x2）f（x）的反函数f1（x）3、解：yf1（x1）x1f（y）xf（y）1，将该方程中的x、y互换，应该就是g（x），即yf（x）1， g（3）f（3）14、解：在f（x）图象上取点M（2，ln2），则点N（ln2，2）在f1（x）图象上，即满足f1（x） 答案B5、解：易知g（x）f1（x）即g（x）与f（x）是同一个函数 又f（x），如图所示 答案：D6、解：由g（x）的值域为（0，）知f（x）的定义域为（0，），从而f（x1）的定义域为（1，） 答案：（1，）7、解点（2， ）在函数y2axb的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系点（，2）在函数y2axb的图象上把点（2， ）与（，2）分别代入函数y2axb可得 答案： 8、解：f（x）的图象关于直线yx对称，又点（5，0）在f（x）的图象上，点（0，5）也在f（x）的图象上，即5，得m19、解：由反函数的定义知，反函数的值域就是原函数的定义域1lgx21x210x0，x 反函数的值域为2、5 指数 2、6指数函数课程难点与解析1.指数（1）根式若xn=a(n1,且),则x叫做a的n次方根.当n为奇数时，a的n次方根是.当n为偶数时，若a0，a的n次方根有2个，这两个方根互为相反数，即，其中正的一个叫做a的n次算术根；若a=0，0的n次方根只有一个，是0；若a0，a的n次方根不存在（在实数范围内）当n为奇数时，.(a0 ,p是无理数，则ap也表示一个实数（因知识的原因，教材中对具体的规定已省略）（3）指数运算法则若a0,b0,则有下列指数运算法则：； ； .实际上上述法则当r,s为无理数时也成立. 例题解析 例1、化简根式：（1）；（2）； （3）; （4）.解（1）= =.（2）=.（3）=.（4）=.评析 化简形如的根式，若=，则.因此需要找出两个数x,y，使它们满足关系式xy=b及x+y=a.如化简，因7+2=9，所以=|= .例2、计算： （1）（2）.解 （1）原式= = =10 =231-. （2）原式= = =.评析 指数运算法则的条件是a0，因此计算时应先化为再运用指数运算法则例3、化简（a0） （1）（2）解（1）原式= = = =. （2）原式= = = =.例4、（1）已知a0,且求的值； （2）已知a0，且求的值.解（1） , . , . . （2）14= =. 令，则 14=t(t2 +3), t3+3t-14=0, (t-2)(t2+2t+7)=0. , . . , . 评析 两数和（差）的立方公式有时也可以写成 .2指数函数 （1）形如y=ax的函数叫做指数函数，因此都是指数函数，而均不能称为指数函数. （2）在y=ax中，当时ax可能无意义，当a0时x可以取任何实数，当a=1时，无研究价值，且这时不存在反函数，因此规定y=ax中 （3）指数函数y=ax的性质可以由的图像这三条曲线来记忆.由图11-1可见，当a1时，指数函数y=ax的底数越大，它的图象在第一象限部分越 “靠近y轴”，在第二象限部分越“靠近x轴”.又因函数y=ax和的图像关于y轴对称，实际上,因此当0a0.解（1）由, 函数的定义域为(,关于原点对称. . =. 函数f(x)是偶函数.（2）当x0时，, . 当x0, f(x)=f(-x)0, .例7、 已知，求函数的最值.解 由已知， , .令t=,即.函数的图像总开口向上，对称轴为t=2的抛物线.,，函数有最大值，为; 当t=1,即x=0时，函数有最小值，为 同步习题1.的大小关系是 （ ） A B C D2.将表示成根式的形式是 ( ) A B C D3.函数的值域是（ ） A B C D4.已知，则 .5.函数的定义域是 ，值域是 .6.已知，求下列各式的值：（1）； （2）.7.求函数的单调区间和值域. 答案解析 1.A 2.B 3.A 4. 15 5. ， 6.（1）3； （2）187.当，函数在区间上递增，在区间上递减，值域为. 当，函数在区间上递减，在区间上递增，值域为.提示3. , .或由，得4. 5.6.(1)令，则. ，.(2)7. 令，在区间上递增，在区间上递减.当，递增，在区间上递增，在区间上递减，当时，又，函数的值域为.当递减， 在区间上递减，在区间上递增，当时，函数的值域为2、7 对 数课程难点与解析1若a0且a1，则abN logaNb2设a0且a1，则abN可化为logaNb，logaNb可化为abN将abN中的b用blogaN中的logaN代替可得N将logaNb中的N用Nab中的ab代替可得logaabN3 3，10lg55， ， log392，lg1033，lne774如果a0且a1，M0，N0，那么(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logalogaMlogaN；(3)logaMnnlogaM(nR)5对数的运算性质用语言叙述为：两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和；两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；一个正数的n次幂的对数等于这个正数的对数的n倍6如果a0且a1，M0，那么由幂的对数的运算性质可得(1)logaMlogaM，logaMlogaM(2)logaMlogaM，logaMlogaM(3)loganMnlogaM，loganMmlogaM(4)loglogaM，loglogaM7如果a0且a1，那么可利用指数式与对数式的互化可得到：logab(m0且m1)，logab其中当bm时有logab 学习指导 1在指数式abN和对数式logaNb(a0且a1)中已知a、b、N中的两个值可求另外一个的值，应怎样求？若已知a，b的值求N，利用指数式求，即Nab若已知a，N的值求b，利用对数式求，即blogaN若已知b，N的值求a，则利用abN解关于a的方程但应注意a的范围及问题对a的范围的要求2运用对数运算性质时应注意什么？运算性质只有当M0，N0，a0且a1时才有意义，如log220log2(4)(5)是成立的，但log2(4)(5)log2(4)log2(5)就不成立，这是因为log2(4)和log2(5)没有意义3.指数式和对数式可以相互转化，那么指数运算性质和对数运算性质有什么联系？指数的运算性质说明同底的指数幂的乘、除、乘方的运算可以化为幂指数的加、减、乘运算；对数的运算性质说明对真数进行乘、除、乘方运算后求对数可以转化为先求对数再进行加、减、乘法运算它们都使运算简单化，指数的三条运算性质和对数的三条运算性质是对应的，它们也可以相互转化如am anamn与loga(MN)logaMlogaN对应令amM，anN，则logaMm，logaNn由amnMN知loga(MN)mnlogaMlogaN，这是对数运算性质的又一证明 例题解析 例1、计算：(1) (2)log(32)解：(1) 5102520(2)