高中数学第5周平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算每周一练新人教必修4

第5周 平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算本卷考试内容：2.1平面向量的实际背景及基本概念、2.2平面向量的线性运算高频考点突破1向量及其概念向量是既有大小又有方向的量，记作，向量的大小也叫是向量的模记作，向量的模是非负实数，可以比较大小，而向量不能比较大小2两个特殊的向量零向量是模为的向量，它的方向是任意的，一般规定所以的零向量均相等；而单位向量是模为一个单位的向量，单位向量方向不确定。注意与实数是不同的，单位向量与实数1是不同的。3向量间的关系(1)共线（平行）向量：与方向相同或相反，注意。(2) 相等向量： 且方向相同，(3)相等向量一定共线，但共线向量不一定相等；平行向量与共线向量是一回事，没有区别。表示平行（或共线）向量的有向线段可以在一条直线上，也可以平行；而直线平行与共线是不同的，两条直线平行就一定不共线。4向量的线性运算(1)向量的线性运算包加法、减法与数乘三种运算，它们运算的结果仍然是向量。向量的加法与实数的加法类似，满足交换律、结合律与分配律；(2)向量加法遵循平行四边形法则或三角形法则，同时多边形法则也成立，即(3)向量的减法：，注意顺序不要错5共线问题（1）证明向量：（2）证明点共线：、三点共线自我能力检测A基础训练（40分钟，60分） 一选择题1以下说法错误的是（ ）A零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 解析：本题考查零向量、单位向量、平行向量及共线向量等平面向量的概念方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任意向量平行，平行向量也共线向量，因而C是错误的，选C.2.（2012太原五中高一下期中）如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是w.w.w.k.s.5 u.c.o.m （ ）AB CD 解析：本题考查共线向量、相等向量及向量的模由于是平行四边形，所以；线段线段，所以；与的模都等于正六边形外接圆的直径，所以；与模相等，但是方向不同，所以，选D.3. （2009湖南卷文）如图， D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则（ ）ABCD 解析: 本考查向量的三角形法则、共线向量及零向量得，故选A. 或.4（2012日照一中高一下期中）下列命题正确的个数是（ ）； ； ； .A、1 B、2 C、3 D、4解析：正确，错误，所以选B5（2012亳州一中学年高一期中）是的边上的中点，则向量（ ）A B C D解析：本题考查平面向量的线性运算、三角形法则等，选B6（2012广东执信中学高一期中）已知是ABC所在平面内一点，D为BC 边中点，且，那么(A) = (B) = 2(C) = 3 (D) 2= 解析：本题考查平面向量的加法、数乘及减法运算等，即，选A7设四边形中，有，且，则这个四边形是（ ）A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形解析：本题考查平面向量的数乘运算及向量共线判别法由，得线段与平行且不相等，又，所以四边形是等腰梯形，选C.8已知三个顶点及平面内一点，若，则（ ）A.在内部 B.在外部 C.在边所在直线上 D.在线段上解：本题考查平面向量的线性运算及共线向量.则，得，所以在线段上，选D二填空题9 若，且，则解析：本题考查向量的加法、向量的数乘、共线向量、零向量等由可知，点在线段上且得，所以向量与反向，且，因而，填10已知、是平面上的三个点，直线上有一点，满足，若，用与表示向量，则 解析：本题考查向量的加法、减法及数乘运算，所以11已知向量，不共线，且与共线，则实数 .解析：本题考查向量共线的的判别方法由，由，不共线，得，且，解得，填12. 已知直线与圆交于A、B两点，且,其中为原点，则实数的值为 解析:本题考查平面向量的的概念、平行四边形法则得以OA、OB为邻边作AOBC，则，四边形AOBC为矩形，又，四边形AOBC为正方形，于是得直线经过点或,或.填或三解答题13 化简：（1） （2）解析：本题考查向量的线性运算及其运算律（1）原式（2）原式14如图的方格纸由若干个边长为1的小方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A、B.AB点C为小正方形的顶点，且.(1)画出所有的向量；(2)求的最大值与最小值.解析：本题考查平面向量的基本概念及向量的几何表示ABC1C2CCC6CCC5(1)画出所有的向量如图所示；(2)由(1)所画的图知，当点C在于点C1或C2时，取得最小值；当点C在于点C5或C6时，取得最大值；的最大值为，最小值为.15. 在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，用与表示解析：本题考查向量的加法与减法、平行四边形法则及三角形法则，即从而16已知，是两个不共线的向量，（1）若，求证：、三点共线；（2）若与共线，求实数的值解析：本题考查向量的线性运算、向量共线的判别法及运用向量证明点共线的方法（1），又 ，又与有相同公交点，、三点共线（2）与共线，存在，使 即 ，是两个不共线的向量， 解得或从而B能力提升一选择题1已知平面内不共线的四点O,A,B,C,满足，则（ ）A. B. C. D.解析：本题考查平面向量的加法、减法及数乘运算，所以，选2已知和点满足，若存在实数m使得成立，则实数A2 B3 C4 D5解析：题考查平面向量的线性运算及三角形法则由题目条件可知，为的重心，连接并延长交于，则 为的中线，联立可得，故选B3（2011银川一中高三次月考），是不共线的向量，若，若、三点共线则有（ ）ABC D解析：本题考查向量共线的条件若、三点共线，则共线，所以存在实数使得，即，由于不共线， 且，消掉得选D二填空题4在平行四边形中，和分别是边和的中点，或，其中 ，则 _。. 解析：本题考查向量线性运算及相等向量设、则 , ,代入条件得5已知,且,AOB=,则_. _. 解析：本题考查平面向量的三角形法则及平行四边形法则由,AOB=，得是等边三角形，取中点，则，填，10若，则的取值范围是 A B C D解析：本题考查三角形法则及向量加法的三角形不等式由得, ，并且当，同向时，；当，反向时，；当，不共线时，即.综合上述情况可得，。从而填三解答题6（由2012 余姚中学高一月考改编）如右图，在中，设，的中点为，的中点为，的中点为，试用向量与表示解析：本题考查平面向量的线性运算及三角法法则第6题，且的中点为，的中点为又 的中点为，的中点为而， ，即+，得，即C高考对接本周知识在高考中主要考查平面向量的基本概念、性质和线性运算，向量概念所含内容较多,如单位向量、零向量、共线向量等基本概念和向量的加、减、数乘运算，这些主要以选择题和填空题的形式出现。而共线向量定理则是考查的重点，常常与以后的知识结合起来以解答题的形式考查。1. （2012浙江）设a，b是两个非零向量A若|ab|a|b|，则ab ，B若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得abD若存在实数，使得ab，则|ab|a|b|【解析】利用排除法可得选项C是正确的，|ab|a|b|，则a，b共线，即存在实数，使得ab如选项A：|ab|a|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若ab，由正方形得|ab|a|b|不成立；选项D：若存在实数，使得ab，a，b可为同向的共线向量，此时显然|ab|a|b|不成立【答案】C2.（2011四川）如图，正六边形ABCDEF中，=A0 BCD【答案】D【解析】3.（2011山东）设是平面直角坐标系中两两不同的四点，若，且,则称调和分割，已知平面上的点C，D调和分割点A，B则下面说法正确的是（ ）AC可能是线段AB的中点 BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上 DC，D不可能同时在线段AB的延长线上【答案】D解析：本题考查平面向量的数乖及共线向量由题意，若点C，D调和分割点A，B，则，且.若C是线段AB的中点，则，此时，又，所以，不可能成立；因此不对，同理也不对.若C，D同时在线段AB上时，由，知，此时，与矛盾，因此不对.若C，D同时在线段AB的延长线上时，由，知，此时，与矛盾，因此，C，D不可能同时在线段AB的延长线上，选D4（2010全国卷2理数）（8）中，点在上，平方若，则（A） （B） （C） （D）【答案】B 【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.【解析】因为平分，由角平分线定理得，所以D为AB的三等分点，且，所以，故选B.5