黑龙江实验中学高三数学上学期第一次月考理

黑龙江省实验中学2020届高三数学上学期第一次月考试题 理（含解析）一、选择题。1.设全集为，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据补集定义求出，利用交集定义求得结果.【详解】由题意知： 本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中交集和补集运算，属于基础题.2.复数满足，则复数等于（）A. B. C. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可.【详解】复数满足，故选B.【点睛】本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题3.已知非零向量、满足且 则、的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设向量、的夹角为，将转化为，利用平面向量数量积的定义和运算律求出的值，可得出、的夹角.【详解】由于，且，则，即，得.，因此，、的夹角为，故选：D.【点睛】本题考查利用平面向量数量积计算平面向量的夹角，解题的关键在于将向量垂直转化为平面向量的数量积为零，考查化归与转化数学思想，属于中等题.4.已知命题，命题，则成立是成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别由命题p,q求得a的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解不等式可得，对于命题，当时，命题明显成立；当时，有：，解得：，即命题为真时，故成立是成立的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查不等式的解法，充分条件和必要条件的判定，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.设，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断三个数取值范围，再根据范围确定大小.【详解】因为，所以，选D.【点睛】比较大小：一般根据函数的单调性，确定各数取值范围，再根据范围判断大小.6.函数的图像大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性和函数的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】令，则，故函数为偶函数，图像关于轴对称，排除C选项.由，解得且.，排除D选项.，故可排除B选项.所以本小题选A.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，主要通过函数的奇偶性和函数图像上的特殊点进行排除，属于基础题.7.如图，为了测量某湿地两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点从点测得，从点测得，从点测得.若测得，（单位:百米），则两点的距离为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知易得EBC180756045，再由正弦定理求得,再由余弦定理AB2AC2+BC22ACBCcosACB9，所以AB3.【详解】根据题意，在ADC中，ACD45，ADC67.5，DC2，则DAC1804567.567.5，则ACDC2，在BCE中，BCE75，BEC60，CE，则EBC180756045，则有，变形可得BC，在ABC中，AC2，BC，ACB180ACDBCE60，则AB2AC2+BC22ACBCcosACB9，则AB3；故选：C【点睛】此题考查解三角形的实际应用，通过已知的角和边长通过余弦定理容易求得边长或者角度，属于简单题目。8.若函数有两个不同的零点，且，,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用换元法把问题转化为二次函数零点分布的问题，得到不等式组，解之即可.【详解】设t2x，函数f（t）t2mt+m+3有两个不同的零点，,，即，解得：故选：C【点睛】对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：一是，开口；二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；三是，判别式，决定于x轴的交点个数；四是，区间端点值.9.若定义在上的函数满足且时，则方程的根的个数是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意作出函数与的图象，两图象的交点个数即为方程的根的个数.【详解】因为函数满足，所以函数是周期为的周期函数.又时，所以函数的图象如图所示.再作出的图象，易得两图象有个交点，所以方程有个零点故应选A【点睛】本题考查函数与方程.函数的零点、方程的根、函数图象与轴交点的横坐标之间是可以等价转化的.10.如图所示，等边的边长为2，位边上的一点，且，也是等边三角形，若，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量表示以及向量数量积定义化简条件，解得结果.【详解】因为，所以，选A.【点睛】本题考查向量表示以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属中档题.11.如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，则的最大值为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】建立坐标系，写出相应的点坐标，得到的表达式，进而得到最大值.【详解】以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆；根据三角形面积公式得到，可得到内切圆的半径为 可得到点的坐标为： 故得到 故得到 ， 故最大值为：2.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.12.已知函数的导函数为，为自然对数的底数，对均有成立，且，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先构造函数，再利用导数研究函数单调性，最后根据单调性解不等式.【详解】原不等式等价于，令，则恒成立，在上是增函数，又，原不等式为，解得，故选.【点睛】本题考查利用导数解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题.13.已知函数的图像在点处的切线过点，则_【答案】【解析】【分析】求得函数f（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得a的值【详解】，又因为，切点是，切线方程是：，.故答案为【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两点的斜率公式，以及方程思想和运算能力，属于基础题14.已知向量，若，则实数_.【答案】-2【解析】分析】根据向量坐标运算可求得，根据平行关系可构造方程求得结果.【详解】由题意得： ，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查向量的坐标运算，关键是能够利用平行关系构造出方程.15.已知函数f（x）的值域为R，则a的取值范围为_【答案】【解析】【分析】讨论a的取值范围，分别求出两个函数的 取值范围，结合函数的值域是R，建立不等式关系进行求解即可【详解】当a0时，不满足条件当a0时，若0x2，则f（x）a+log2x（，a+1），当x2时，f（x）ax234a3，+），要使函数的值域为R，则4a3a+1，得a，即实数a的取值范围是（0，故答案为：（0，【点睛】本题主要考查分段函数的应用，求出函数的各自的取值范围，结合函数的值域建立不等式关系是解决本题的关键分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者。16.已知函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数在上的单调增区间是_.【答案】【解析】【分析】先由向右平移个单位得到，写出函数解析式；根据单调增区间列出不等式，再对取值，得到上的单调区间.【详解】向右平移个单位后得，令，则，由于，所以取，则，综上：.【点睛】向左（或右）平移个单位即可得到，而不是得到，这里需要注意的就是时，平移是在这个整体上进行的，并不是简单的在括号里加、减.三、解答题.17.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.（）求的值；（）求的值.【答案】（）；（）2【解析】【分析】（）根据三角函数定义求出、的值，再利用诱导公式将所求代数式化简，将角的三角函数值代入进行计算可得出结果；（）利用二倍角公式求出的值，利用半角公式求出的值，再代入所求代数式进行计算即可。【详解】（）由题意得：原式 （），=。【点睛】本题考查三角函数定义、诱导公式、二倍角公式以及半角公式，在三角求值时，充分利用相关公式进行化简，朝着已知角进行化简计算，着重考察学生对三角公式的掌握和应用水平，属于中等题。18.在中，的对边分别为，已知（1）判断的形状；（2）若，求【答案】（1）为直角三角形或等腰三角形（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理和题设条件，得，再利用三角恒等变换的公式，化简得，进而求得或，即可得到答案（2）在中，利用余弦定理，求得，即可求得的值【详解】（1）由正弦定理可知，代入，又由,所以，所以，所以，则，则或，所以或，所以为直角三角形或等腰三角形 （2）因为，则为等腰三角形，从而，由余弦定理，得，所以【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.19.已知函数 （）求的最小正周期；（）当时恒成立，求的取值范围【答案】（） ；（）【解析】【分析】（）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数f（x）的最小正周期；（）恒成立问题转化为求最值问题，通过求 的最小值，即可求解的取值范围【详解】（）所以最小正周期 ；（）因为 ，所以 ， 所以当 ，即 时， 有最小值 ，所以有最小值-1，因为当时， 恒成立，所以即m的取值范围是【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的最值的求法，考查计算能力20.在中，分别是三个内角的对边，若，且.（）求及的值；（）求的值.【答案】（）,;（）.【解析】【分析】（）由正弦定理可得，再利用二倍角的正弦公式可得，从而根据余弦定理可得；（2）利用二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式求得的值，再由两角和的余弦公式可得结果.【详解】（）在中，由正弦定理，得，即，解得,在中，由余弦定理，得，解得或，（），.【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.21.设函数.（1）求函数的单调区间及极值；（2）若函数在上有唯一零点，证明：.【答案】（1）的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数的定义域以及导数，利用导数求出函数的单调区间，并由单调性得出函数的极值；（2）利用参变量分离法得出关于的方程在上有唯一解，构造函数，得出，构造函数，求出该函数的导数，判断导数的符号，得出函数的单调性，求出函数的最小值转化即可。【详解】（1）的定义域为，当时，为减函数；当时，为增函数，有极小值，无极大值，故的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值；（2）函数在上有唯一零点，即当时，方程有唯一解，有唯一解，令，则令，则，当时，故函数增函数，又，在上存在唯一零点，则，且，当时，当时，在上有最小值.ly，.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值、以及利用导数研究函数的零点问题，构造新函数是难点，也是解题的关键，考查转化与化归数学思想，属于难题.22.已知函数，（）若在内单调递减，求实数的取值范围；（）若函数有两个极值点分别为，证明：【答案】（）（）见证明【解析】分析】（I）先求得函数的导数，根据函数在上的单调性列不等式，分离常数后利用构造函数法求得的取值范围.（II）将极值点代入导函数列方程组，将所要证明的