数学北师大版高中一年级必修3 等差数列求和

2.2等差数列的前n项和,1.理解等差数列前n项和公式的推导方法.2.掌握等差数列前n项和公式.3.能利用等差数列前n项和公式解决实际问题.,1.本课的重点是理解等差数列前n项和公式的推导方法，并会利用公式进行计算.2.本课的难点是利用等差数列前n项和公式解决实际问题.,高斯，德国著名数学家。是近代数学奠基者之一，高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称。高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家。一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最。高斯在历史上影响巨大，可以和阿基米德、牛顿并列,高斯上小学时，有一次数学老师给同学们出了一道题：计算从1到100的自然数之和.那个老师认为，这些孩子算这道题目需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书去了.谁知，他刚坐下，马上就有一个学生举手说:“老师，我做完了.”老师大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯.老师走到他身边，只见他在笔记本上写着5050，老师看了，不由得暗自称赞.为了鼓励他，老师买了一本数学书送给他.,思考：现在如果要你算，你能否用简便的方法来算出它的值呢？,100999821,对应相加,所以：,对于任意一个等差数列如何去求它的前n项和呢？,设Sn是等差数列an的前n项和，即,根据等差数列an的通项公式，上式可以写成：,再把项的次序反过来，Sn又可以写成,把，等号两边分别相加，得,（共n个）,于是，首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和,n个,这个公式表明：等差数列前n项的和等于首末两项的和与项数乘积的一半，参见下图.,倒序相加法,解：由等差数列前n项和公式，得,例1.求前n个正奇数的和.,将an=a1+(n-1)d代入，得,特别地，当a1=1,d=1时，n个连续正整数的和,Sn,a1,an,n,之间的关系,等差数列前n项和公式的理解在等差数列的前n项和公式中，共涉及5个量a1,d,n,an,Sn.其中a1和d为基本量.通过这两个公式及an=a1+(n-1)d可解决“知三求二”问题，即知道其中的三个量可求另外的两个量.联立方程组并解方程组是等差数列的基本解题方法.,例2.在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.请问：,（1）第9圈共有多少块石板？（2）前9圈一共有多少块石板？,解：（1）设从第1圈到第9圈石板数所成数列为an,由题意可知an是等差数列，其中a1=9，d=9,n=9.,由等差数列的通项公式，得第9圈有石板,（2）由等差数列前n项和公式，得前9圈一共有石板,答：第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板.,例3.在数列an中，an=2n+3,求这个数列自第100项到第200项之和S的值,例4.在新城大道一侧A处，运来20棵新树苗.一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10m栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵.要栽完这20棵树苗，并返回A处.植树工人共走了多少路程?,解：植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程（单位：m)组成了一个数列,0,20,40,60，380，,这是首项为0，公差为20，项数为20的等差数列，其和,答：植树工人共走了3800m的路程.,1等差数列an的前n项和为Sn,且S36,a34,则公差d等于_,解:设an首项为a1，公差为d，则S33a1d3a13d6，a3a12d4，a10，d2.,2记等差数列an的前n项和为Sn，若a1，S420，则S6_,解:S426d20，d3.故S6315d48.,3等差数列an的前n项和为Sn，且6S55S35，则a4_,解:由题意知S6S515a145d15(a13d)15a45，故a4.,4.已知等差数列an的前n项和记为Sn,a515,a1025.(1)求通项an；(2)若Sn112，求n.,解(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，a515，a14d15a1025，a19d25，解组成的方程组得：a17，d2.an7(n1)22n5.(2)Sn112，7nn(n1