2020届甘肃省会宁县第一中学高三第四次月考（12月）数学（理）试题

- 1 - 会宁一中会宁一中 20202020 届高三级第四次月考届高三级第四次月考 数学（理科）试题数学（理科）试题 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。要求的。 1.1.已知复数已知复数 i ia 2 是纯虚数（是纯虚数（i是虚数单位），则实数是虚数单位），则实数a等于（等于（ ） A.A.- -2 2 B.2B.2 C.C. 1 2 D.D.- -1 1 2.2.已知集合已知集合( , )|2Mx yxy，( , )|2Nx yxy，则，则集合集合NM （ ） A.A.0 , 2 B B0 , 2 C C)2 , 0( D D )0 , 2( 3.3.“0k ”是“直线”是“直线1ykx与圆与圆 22 1xy相切”的（相切”的（ ） A.A.充分而不必要条件充分而不必要条件 B B必要而不充分条件必要而不充分条件 C C充分必要条件充分必要条件 D D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 4.4.等差数列等差数列 n a中，中， 1 2019a ， 20192015 16aa，则数列，则数列 n a的前的前n项和项和 n S取得最大值时取得最大值时n的值为的值为 （ ） A A504504 B B505505 C C506506 D D507507 5.5.如图，我们从这个商标如图，我们从这个商标中抽象出一个函数图象，其对应的函数可能是（中抽象出一个函数图象，其对应的函数可能是（ ） A.A. 1 1 )( 2 x xf B B 1 1 )( 2 x xf C C 1 1 )( x xf D D 1 1 )( x xf 6.6.已知函数已知函数 fx满足满足 f xfx，且当，且当,0 x 时，时， 0f xxfx 成立，若成立，若 0.60.6 22af ，ln2ln2bf， 11 88 22 loglogcf ，则，则a a，b b，c c的大小关系是（的大小关系是（ ） A.aA.abc B.B.acb C.C.cba D.cD.cab - 2 - 7 7 设设 E,FE,F 分别是 正方体分别是 正方体 1111 ABCDA BC D的 棱的 棱DC上两 点上两 点, ,且且 1, 2EFAB, ,给出下列四个命题给出下列四个命题: : 三棱锥三棱锥 11 DB EF的体积为定值的体积为定值; ; 异面直线异面直线 11 D B与与 EFEF 所成的角为所成的角为 4545; ; 11 D B平面平面 1 B EF; ; 直线直线 11 D B与平面与平面 1 D EF所成的角为所成的角为 6060. .其中正确的命题为其中正确的命题为: : （ ） A A B B C C D D 8.8.已知直线已知直线310 xy 的倾斜角为的倾斜角为，则，则 1 sin2 2 （ ） A A 3 10 B B 3 5 C C 3 10 D D 1 10 9.9.若函数若函数( )sin(0) 6 f xx 在在0, 上的值域为上的值域为 1 ,1 2 ，则，则的最小值为的最小值为（ ） A.A. 2 3 B B 3 4 C C 4 3 D D 3 2 10.10.若把函数若把函数( )yf x的图象沿的图象沿x轴向左平移轴向左平移 4 个单位个单位, ,沿沿y y轴向下平移轴向下平移1 1个单位个单位, ,然后再把图象上每个点然后再把图象上每个点 的横坐标伸长到原来的的横坐标伸长到原来的 2 2 倍倍( (纵坐标保持不变纵坐标保持不变),),得到函数得到函数sinyx的图象的图象, ,则则( )yf x的一个对称中心为的一个对称中心为 （ ） A.A.(0,0) B B(,1) 4 C C(,1) 2 D D 3 (,0) 4 11.11.已知不等式组已知不等式组 022 01 01 yx yx yx 表示的平面区域为表示的平面区域为D，若对，若对任意的任意的 Dyx),( ，不等式，不等式 02tyx 恒成恒成 立，则实数立，则实数t的最大值为（的最大值为（ ） A.1 BA.1 B1 C C5 D D4 12.12.设定义在设定义在(0,)的函数的函数( )f x的导函数为的导函数为( )fx ，且满足，且满足 ( )( ) 3 fxf x x ，则关于，则关于x的不等式的不等式 3 1(3)(3)0 3 x f xf 的解集为（的解集为（ ） - 3 - A.A.)6 , 3( B.B.)3 , 0( C.C.)6 , 0( D.D.), 6( 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分共分共 2020 分分. . 13.13.若直线若直线)0(03: 1 mmyxl与直线与直线0362: 2 yxl的距离为的距离为10，则，则m . . 14.14.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，点中，点A在曲线在曲线lnyx上，且该曲线在点上，且该曲线在点A处的切线经过点处的切线经过点(, 1)e （e为自然对数的底数），则为自然对数的底数），则点点A的坐标是的坐标是 . . 15.15.在直三棱柱在直三棱柱 111 CBAABC内有一个与其各面都相切的球内有一个与其各面都相切的球 1 O，同时在三棱柱，同时在三棱柱 111 CBAABC外有一个外外有一个外 接球接球 2 O, ,若若BCAB , ,4, 3BCAB, ,则球则球 2 O的体积为的体积为 . . 16.16.已知函数已知函数 2 2 11 x x xf ， 记， 记mkd,为函数为函数 xfy 图像上的点到直线图像上的点到直线mkxy的距离的最的距离的最 大值，那么大值，那么mkd,的最小值为的最小值为 . . 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤. .第第 17172121 题为必考题，第题为必考题，第 2222、2323 题为题为 选考题选考题. . （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分 17.17.（本小题（本小题 1212 分）已知直线分）已知直线l：1 20kxyk ( (kR).). （）证明：直线证明：直线l过定点；过定点； （）若直线若直线l交交x轴负半轴于轴负半轴于A，交，交y轴正半轴于轴正半轴于B，AOB的面积为的面积为S( (O为坐标原点为坐标原点) )，求，求S的最的最 小值并求此时直线小值并求此时直线l的方程的方程 18.18.（本小题（本小题 1212 分）分）ABC的内角的内角CBA,所对的边长分别为所对的边长分别为cba,，且，且.cos3cos)32(CaAcb （）求角求角A的大小；的大小； （）若角若角 6 B, ,点点M为为BC边上靠近点边上靠近点C的一个四等分点，且的一个四等分点，且 21AM ，求，求ABC的面积的面积S. . 19.19.（本小题（本小题 1212 分）分）如图，在三棱柱如图，在三棱柱 111 CBAABC中，中，AB侧面侧面 11B BCC, , 1 ABAC （）求证：平面）求证：平面 1 ABC平面平面CAB1； （）若）若2 BCAB, , 60 1 BCC，求二面角，求二面角 11 BACB的余弦值的余弦值 20.20.（本小题（本小题 1212 分）已知数列分）已知数列 n a 满足满足.3 , 2 , 1, 53, 1 11 nnaaa nn . . （）证明：当证明：当2n时，时，3 11 nn aa； （）求和求和: : 12221254433221 . nnnn aaaaaaaaaaaa. . - 4 - 21.21.（本小题（本小题 1212 分）已知函数分）已知函数)0() 2 (ln)( 2 x x e x xaxf x . . （）若函数若函数)(xf在区间在区间)2 , 0(内有两个极值点内有两个极值点)(, 2121 xxxx，求实数，求实数a的取值范围；的取值范围； （）在在（）的基础上，求证：的基础上，求证：axxln2 21 . . ( (二二) )选考题：共选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 两题中任选一题做答，如果多做则按所做的第一题记分。两题中任选一题做答，如果多做则按所做的第一题记分。 22.22. （1010 分） 【选修分） 【选修 4 4- -4 4： 坐标系与参数方程】 已知在平面直角坐标系坐标系与参数方程】 已知在平面直角坐标系xOy中， 直线中， 直线l的参数方程为的参数方程为 ty tx 2 3 2 1 （t为参数），以坐标原点为极点，为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为的极坐标方程为 02cos2 2 ，点，点P的极坐标是的极坐标是) 3 2 , 3 152 ( . . （）求直线求直线l的极坐标方程及点的极坐标方程及点P到直线到直线l的距离；的距离； （）若直线若直线l与曲线与曲线C交于交于NM,两点，求两点，求PMN的面积的面积. . 23.23.（1010 分）【选修分）【选修 4 4- -5 5：不等式选讲】已知函数：不等式选讲】已知函数 Raxaxxf|,1|2|)( . . （）若若2a，解不等式，解不等式 5)(xf ； （）当（）当2a时，函数时，函数 )(xf 的最小值为的最小值为 3 3，求实数，求实数a的值的值. . - 5 - 会宁一中会宁一中 20202020 届高三级第四次月考届高三级第四次月考 数学（理科）答案数学（理科）答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。要求的。 CDCBD CAAAB CACDCBD CAAAB CA 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分共分共 2020 分分. . 13.13. 2 17 14.14.( ,1)e 15.15. 6 2929 16.16. 8 2 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤. .第第 17172121 题为必考题，题为必考题， 第第 2222、2323 题为选题为选考题考题. . （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分 17.17.（本小题（本小题 1212 分）分）(1)证明：直线l的方程可化为(2)(1)0k xy， 令 20 10 x y ，解得： 2 1 x y ， 无论k取何值，直线总经过定点( 2,1). (2)解：由题意可知0k ，再由l的方程，得 1 2 (,0) k A k ，(01 2 )Bk， 依题意得： 12 0 120 k k k ，解得0k 2 11 1 2(1 2 )111 1 2(44)(2 24)4 22222 kk SOA OBkk kkk ， 当且仅当 1 40k k ，即 1 2 k ，取“” min 4S，此时直线l的方程为240 xy 18.18.（本小题（本小题 1212 分）分） (1) 6 （2）34 19.19.（本小题（本小题 1212 分）分） (1)如图，设，连接 AG. 因为三棱柱的侧面为平行四边形，所以 G 为的中点， 因为， 所以为等腰三角形，所以， - 6 - 12221254433221 nnnn aaaaaaaaaaaa 又因为 AB侧面，且平面， 所以 又因为， 所以平面 AB，又因为平面， 所以平面平面； （2）由（1）知平面 AB，所以B 以 G 为坐标原点，以的方向为 x 轴正方向，以的方向为 y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系 G-xyz. 由B易知四边形为菱形，因为 所以， 则可得， 所以 设平面的法向量， 由得：，取 z=1，所以， 由（1）知=为平面 AB的法向量， 则 易知二面角的余弦值. 20.20.（本小题（本小题 1212 分）分） （1） 3 , 2 , 1, 53 1 nnaa nn 4 , 3 , 2, 5) 1(3 1 nnaa nn 得 3 , 2, 3 11 naa nn （2） - 7 - 12221254433221 nnnn aaaaaaaaaaaa )()()( 12122534312 nnn aaaaaaaaa )(3( 2642n aaaa 由（1）得 n a2为公差为 3 的等差数列，又由7, 8 221 aaa得 2 33 2 9 )3 2 ) 1( 7)(3( 2 nnnn n 21.21.（本小题（本小题 1212 分）已知函数分）已知函数)0() 2 (ln)( 2 x x e x xaxf x . （1）若函数)(xf在区间)2 , 0(内有两个极值点)(, 2121 xxxx，求实数a的取值范围； （2）在（1）的基础上，求证：axxln2 21 . - 8 - ( (二二) )选考题：共选考题：共 1010 分。