北京市东城区2020届高三上学期期末教学统一检测数学试题

东城区 2019-2020 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学 2020.1 本试卷共 4 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束 后，将答题卡一并交回。 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 (1)已知集合 |1Ax x， |210Bxxx，那么AB (A) | 12xx (B) | 1 1xx (C) |12xx (D) | 11xx (2)复数 z=i(i 1)在复平面内对应的点位于 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (3)下列函数中，是偶函数，且在区间(0 + )，上单调递增的为 (A) 1 y x (B) lnyx (C) 2 x y (D) 1yx (4)设, a b为实数，则“0ab”是“ ab ”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (5)设, 是两个不同的平面，,m n是两条不同的直线，则下列结论中正确的是 (A) 若m，mn，则 n (B) 若 ，m，n，则mn (C) 若n ，m n ，则m (D) 若，m，n，则mn (6)从数字1,2,3,4,5中，取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于 6，这样的三位数的个数为 (A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 13 (7)设，是三角形的两个内角，下列结论中正确的是 (A) 若 2 ，则sinsin2 (B) 若 2 ，则coscos2 (C) 若 2 ，则sinsin1 (D) 若 2 ，则coscos1 (8) 用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆著名数学家 Dandelin 创立的双 球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且 与圆柱面和均相切.给出下列三个结论： 两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点； 若球心距 12 4OO ，球的半径为3，则所得椭圆的焦距为2； 当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是 (A) (B) (C) (D) 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 (9) 若双曲线 2 2 1 x y m 与 22 1 32 xy 有相同的焦点，则实数m . (10) 已知 n a是各项均为正的等比数列， n S为其前项和， 若 1 6a ， 23 26aa， 则公比q _， 4= S_ (11) 能说明“直线0 xym与圆 22 420 xyxy有两个不同的交点”是真命题的一个m的值为 . (12) 在平行四边形ABCD中，已知 uu u r uuu ruuu r uuu r AB ACAC AD，4AC uuu r ，2BD uuu r ，则四边形ABCD的面积是_ (13) 已知函数( )2sin()(0)f xx ，.曲线( )yf x与直线3y 相交，若存在相邻两个交点间的距离为 6 ，则的所有可能值为_. (14) 将初始温度为0 C的物体放在室温恒定为30 C的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n次次测量得到 的物体温度记为 n t，已知 1 0 Ct .已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k）. 给 出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为 ；(填写模型对应的序号） 1 30 nn n k tt t ； 1 (30) nnn ttkt ； +1= (30 ) nn tkt. 在上述模型下，设物体温度从5 C上升到10 C所需时间为mina，从 10 C上升到15 C所需时间为minb， 从15 C上升到20 C所需时间为minC，那么 a b 与 b c 的大小关系是 .(用“”，“”或“ ”号填 空） n 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (15)（本小题 13 分） 在ABC中，已知sin3 cos0cAaC （）求C的大小； （）若=22 3bc ，求ABC的面积. (16)（本小题 13 分） 2019 年 6 月，国内的 5G 运营牌照开始发放.从 2G 到 5G，我们国家的移动通信业务用了不到 20 年的时间，完 成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对 5G 的消费意愿，2019 年 8 月，从某地在校大学生中随机 抽取了 1000 人进行调查，样本中各类用户分布情况如下： 用户分类 预计升级到 5G 的时段 人数 早期体验用户 2019 年 8 月至 209 年 12 月 270 人 中期跟随用户 2020 年 1 月至 20121 年 12 月 530 人 后期用户 2022 年 1 月及以后 200 人 我们将大学生升级 5G 时间的早晚与大学生愿意为 5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系(例如早 期体验用户中愿意为 5G 套餐多支付 5 元的人数占所有早期体验用户的 40%). （I）从该地高校大学生中随机抽取 1 人，估计该学生愿意在 2021 年或 2021 年之前升级到 5G 的概率； （II）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取 1 人，以X表示这 2 人中愿意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上的人数，求X的分布列和数学期望； （III）2019 年底，从这 1000 人的样本中随机抽取 3 人，这三位学生都已签约 5G 套餐，能否认为样本中早期体验用 户的人数有变化？说明理由. (17)（本小题 14 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 1 BB 平面ABC，ABBC， 1 2AAABBC （）求证： 1 BC平面 11 A BC； （）求异面直线 1 BC与 1 AB所成角的大小； （）点M在线段 1 BC上，且 1 1 (0,1) B M BC ，点N在线段 1 AB上， 若MN 平面 11 A ACC ，求 1 1 A N AB 的值(用含的代数式表示) (18)（本小题 13 分） 已知函数 32 1 ( )3() 3 f xxxax aR. （）若( )f x在1x 时，有极值，求a的值； （）在直线1x 上是否存在点P，使得过点P至少有两条直线与曲线( )yf x相切？若存在，求出P点坐标；若 不存在，说明理由. (19)（本小题 14 分） 已知椭圆 2 2 2 :1 x Cy a 1a 的离心率是 2 2 （）求椭圆C的方程； （）已知 1 F， 2 F分别是椭圆C的左、右焦点，过 2 F作斜率为k的直线l，交椭圆C于,A B两点，直线 11 ,F A FB 分别交y轴于不同的两点,MN. 如果 1 MFN为锐角，求k的取值范围 (20)（本小题 13 分） 已知数列 n a，记集合 1 ( , )( , ),1, , iij TS ij S ijaaaij ij NL （）对于数列 n a：1 2